1、页 1 第2018 届河南省天一大联考高三上学期阶段性测试（二） 数学（理） （解析版）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合 ， ，则集合 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】集合 ， ，则 。故答案为 D。2. 在平面直角坐标系 中，角 的终边经过点 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】角 的终边经过点 ,根据三角函数的定义得到 ，故答案选 B。3. 已知 是公差为 2 的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则 （ ）A. 24 B. 22 C. 20 D. 18【答案】
2、C【解析】已知 是公差为 2 的等差数列， ，即 故答案为：C。4. 已知点 在幂函数 的图象上，设 ， ， ，则 的大小关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】点 在幂函数 的图象上，页 2 第将点代入得到 故函数为 ， ， ， 故大小关系是 。故答案为 A。5. （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】根据积分的应用得到 故答案为：B。6. 函数 的大致图象为（ ）A. B. C. D. 【答案】Bf（x）为奇函数，排除 A，f（0）=0，排除 D，f（ ）=0，排除 C，故选 B页 3 第7. 已知实数 满足 ，且 的最大值为 6，则实数 的值为（ ）A. 6 B.
3、 5 C. 4 D. 3【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分） 由 z=x+y 得 y=x+z，平移直线 y=x+z，由图象可知当直线 y=x+z 经过点 A 时，直线 y=x+z 的截距最大，此时 z 最大为 6，即 x+y=6即 A（3，3），同时 A 也在直线 y=k 上， k=3，故答案为 D。8. 张丘建算经中载有如下叙述:“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问末日行几何.”其大意为:“现有一匹马行走速度越来越慢，每天行走的距离是前一天的一半，连续行走 7 天，共走了 700里，问最后一天行走的距离是多少?”根据以上叙述，则问题的答案大约为( )里(四
4、舍五入，只取整数).A. 10 B. 8 C. 6 D. 4【答案】C【解析】由题意，设该匹马首日路程（即首项）为 a1，公比 S7=700，解得： ， 故结果为 C。页 4 第9. 已知在等边三角形 中， ， ，则 （ ）A. 4 B. C. 5 D. 【答案】D【解析】由条件知 M，N 是 BC 的三等分点，故 展开得到 ，等边三角形 中，任意两边夹角为六十度，所有边长为 3 ， ， 代入表达式得到 。故答案为 D。10. 已知正项等比数列 ，第 1 项与第 9 项的等比中项为 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】正项等比数列 ，第 1 项与第 9 项的等比中项为 ，故得
5、到 故答案为 C。11. 已知 是定义在 上的单调函数，满足 ，且 .若 ，则与 的关系为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 是定义在 上的单调函数，满足 ，故得 是常数，设为 t， ， ，故得到 所以 所以函数是增函数，故 ，化简得到 。故答案为 A。点睛：这个题目主要考查函数的单调性及其性质，还有就是对数的运算；函数的单调性能保证函数的值和自变量是一一对应的关系，通过比较函数值的大小就能区分自变量的大小关系，再就是对数运算的规律的应用，换底公式的应用。页 5 第12. 设函数 ，若函数 有 6 个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】设
6、 原式变为 ， 故原函数在 上增，在 上减，在 增；画出函数图像，先增后减，再增，当 ，时函数无限靠近 x 轴的上方，当 ，极大值大于 0，极小值小于 0.根据题意有 6 个根，故每一个 t 对应 3个，故两个 t 都在 之间，转化为函数 在 间有两个不等根。满足故答案为 A。点睛：本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，一般对于这种复合函数题目，利用换元法转化为一元二次方程，是解决本题的关键，这样内层是分式型的函数，外层是二次型的，对应内外层函数找对应的根的个数即可。二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在
7、答题纸上）13. 已知向量 ， ，若 ，则 _【答案】-1 或 2【解析】已知向量 ， ，因为 ，两边平方得到 根据向量的坐标运算公式得到： 故答案为：-1 或 2。14. 已知函数 的图象如图所示，则 _页 6 第【答案】【解析】根据函数图像知道：函数周期为 ， ，再代入特值 化简得到 又因为 ，故 .故答案为： 。点睛：根据函数图像求解析式，一般是先求 w，和 ，由图像中的最值点可以求出周期，进而得到 w 值，由图像中的零点，或者最值点，代入原式子求 值，振幅也可以由图像中的最高点求出。15. 已知函数 ，若 ，且 ，则 的最小值为_【答案】9【解析】由条件知函数 ， ，则两者是轴对称的关
8、系，故得到， 等号成立的条件为： 故答案为：9.16. 已知“整数对”按如下规律排一列: ，设第 2017 个整数对为 .若在从到 的所有整数中(含 )中任取 2 个数，则这两个数之和的取值个数为 _【答案】125故答案为：125.页 7 第三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 在 中，角 的对边分别为 ，且 .(1)求 ；(2)若 ， 的面积为 ，求 的周长.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）根据正弦定理边化成角 ，两边约去公因式得到 （2）根据面积公式得到 ，再由余弦定理得到 ，结合两式能得到或 ，进而求得周长。(1)由 ，得 .由正弦定理可得
9、.因为 ，所以 .因为 ，所以 . (2)因为 ，所以 ，又 ，所以 ，所以或 ，则 的周长为 . 18. 设等差数列 的前 项和为 ，首项 ，且 .(1)求 ；(2)求数列 的前 项和 .【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）先由等差数列的概念得到 为一个等差数列，根据等差数列的通项公式得到，所以 ；（2）由第一问知 ，裂项求和即可。(1)设 的公差为 ，因为 ，所以 为一个等差数列，所以，所以 ，故 ，所以 .(2)因为 ，所以 页 8 第19. 已知向量 ， ，其中 .函数 图象的相邻两对称轴之间的距离是 ，且过点 .(1)求函数 的解析式；(2)若 对任意 恒成立，求的取值
10、范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）根据三角函数中两角和差公式得到 ，根据题意得到周期，进而解出未知量 w；又函数 的图象过点 ，代到曲线中，得到 A。（2）恒成立求参的问题，直接变量分离，对任意 恒成立，求函数 在 上的最小值即可。(1) 由题意得 ， ， ，又函数 的图象过点 ，即 时， ，即 ，解得 ，即 (2) 对任意 恒成立，即 对任意 恒成立，即求 在 上的最小值， ， ， ， ， ， ，即的取值范围是 20. 已知函数 为定义在 上的奇函数.(1)求 的值；(2)若不等式 对任意 恒成立，求 的取值范围.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）根据函
11、数奇偶性的定义得到 ，所以 ，化简求值即可；（2）先证明函数的单调性，利用函数的单调性，得到 ，所以 ，转化为一个恒成立求参的问题，变量分离，转化为函数最值问题。(1)因为 是奇函数，所以 ，所以 ，化简得页 9 第，要使上式对任意的 成立，则 ，解得 或 因为 的定义域是 ，所以 (舍去).所以 .(2) ，对任意 ，有 ，因为 ，所以 ，所以 ，因此 在 上递减，因为，所以 ，即 对任意 恒成立，即 ，因为在 上为增函数，所以 ，解得 ，所以 的取值范围为 21. 近几年，电商行业的蓬勃发展也带动了快递业的高速发展.某快递配送站每天至少要完成 1800 件包裹的配送任务，该配送站有 8 名
12、新手快递员和 4 名老快递员，但每天最多安排 10 人进行配送.已知每个新手快递员每天可配送 240 件包裹，日工资 320 元；每个老快递员每天可配送 300 件包裹，日工资 520 元.(1)求该配送站每天需支付快递员的总工资最小值；(2)该配送站规定:新手快递员某个月被评为“优秀” ，则其下个月的日工资比这个月提高 12%.那么新手快递员至少连续几个月被评为“优秀” ，日工资会超过老快递员?(参考数据: ， ， .)【答案】 （1）2560；（2）新手快递员至少连续 5 个月被评为“优秀” ，日工资会超过老快递员【解析】试题分析：（1）安排新手快递员 人，老快递员 人，根据题目列出二者所
13、满足的关系式，是二元不等式组设目标函数为 ，画出可行域，分析图像得到最值即可，注意最值点必须是整数点；（2）设新手快递员连续 个月被评为 “优秀，根据题意列出式子得到 ，解出不等式即可。(1)设安排新手快递员 人，老快递员 人，则有 ，即 ，该配送站每天需支付快递员总工资为 .作出可行域如图所示.页 10 第作直线 ，平移可得到一组与平行的直线 ，由题设 是可行域内的整点的横、纵坐标.在可行域内的整点中，点 使取最小值，即当过点 时，最小，即 (元)，即该配送站每天需支付快递员的总工资最小值为 2560 元. (2)设新手快递员连续 个月被评为 “优秀” ，日工资会超过老员工，则由题意可得 .
14、转化得，两边求对数可得 ，所以 ，又因为，所以 最小为 5，即新手快递员至少连续 5 个月被评为“优秀” ，日工资会超过老快递员.点睛：这个题目是实际应用题目，考查了学生构建模型的能力，处理实际问题的能力，问题转化的能力，解决线规的问题的能力；一般先根据题目条件，建立数学模型，用数学表达式表示题目中的条件。注意结合实际，分析问题，自变量的取整问题等。22. 已知曲线 在点 处的切线与曲线 也相切.(1)求实数的值；(2)设函数 ，若 且 ，证明: .【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义得到 ，先求出 在 处的切线方程是 ，再根据题意这个直线也是 的切线，联立判别
15、式等于零解出参数即可；（2）研究函数的单调性得到当时， 是减函数；当 时， 是增函数，再证当 时， 恒成立，即 ，赋值法得到 ，证得即可。(1) ，当 时， ，故 在 处的切线方程是 ，联立 ，消去 得 ， ， 或 1，故 (2)由(1)知 ，由 ，则 又，当 时， 是减函数；当 时，是增函数，令 ， ，再令页 11 第，则 ， 又 ，当 时， 恒成立，即 恒成立令，即 ，有 ，即 ， ， .又 ，必有 ，又当 时， 是增函数， -，即 .点睛：这个题目较难，考查了函数的单调性，导函数的几何意义，图像的公切线问题等。这个题目中抽象函数的单调性的应用，在 2016 年的全国一卷中考查到过，可以成为极值点偏移，利用的是函数单调性，通过比较函数值的大小，直接得到自变量的大小关系。
