1、3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加减运算及几何意义教学目标：知识与技能：掌握复数的加法运算及意义过程与方法：理解并掌握实数进行四则运算的规律，了解复数加减法运算的几何意义情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念；画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用教学重点：复数加法运算，复数与从原点出发的向量的对应关系教学难点：复数加法运算的运算率，复数加减法运算的几何意义。教具准备：多媒体、实物投影仪 。教学设想：复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平
2、面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应。复数 z=a+bi(a、bR )与有序实数对 (a，b)是一一对应关系这是因为对于任何一个复数 z=a+bi(a、bR) ，由复数相等的定义可知，可以由一个有序实数对( a，b)惟一确定.教学过程：学生探究过程：1.虚数单位 :(1)它的平方等于-1，即 ; (2)实数可以与它进行四则运算，进i 21i行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立2. 与1 的关系: 就是1 的一个平方根，即方程 x2=1 的一个根，方程 x2=1 的ii另一个根是3. 的周期性： 4n+1=i, 4n+2=-1, 4n+3=-i, 4n=1ii4.复数的定义：形如 的数叫复
3、数， 叫复数的实部， 叫复数的虚部(,)abiRab全体复数所成的集合叫做复数集，用字母 C 表示* 3. 复数的代数形式: 复数通常用字母 z 表示，即 ，把复数表示成(,)ziRa+bi 的形式，叫做复数的代数形式4. 复数与实数、虚数、纯虚数及 0 的关系：对于复数 ，当且仅当 b=0(,)abi时，复数 a+bi(a、bR)是实数 a；当 b0 时，复数 z=a+bi 叫做虚数；当 a=0 且 b0 时，z=bi 叫做纯虚数；当且仅当 a=b=0 时，z 就是实数 0.5.复数集与其它数集之间的关系：N Z Q R C.6. 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我
4、们就说这两个复数相等即：如果 a，b，c，dR ，那么 a+bi=c+di a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 7. 复平面、实轴、虚轴：点 Z 的横坐标是 a，纵坐标是 b，复数z=a+bi(a、bR)可用点 Z(a，b) 表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x 轴叫做实轴， y 轴叫做虚轴b Z(a，b)aoyx实轴上的点都表示实数 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0) ， 它所确定的复数是 z=0+0i=0 表示是实数
5、.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数 复平面内的点zabi 一 一 对 应 (,)Zab这是因为，每一个复数有复平面内惟一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有惟一的一个复数和它对应.这就是复数的一种几何意义.也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法8.若 ， ，则(,)Axy(0,)O,Axy9. 若 ， ，则 ，1a),2bba),(2121yx,(2yx两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差10. 若 ， ，则),(1A),(2B1212,yxA一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去
6、始点的坐标即 = =( x2, y2) (x1,y1)= (x2 x1, y2 y1) O讲解新课：一复数代数形式的加减运算复数 z1 与 z2 的和的定义：z 1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2. 复数 z1 与 z2 的差的定义：z 1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3. 复数的加法运算满足交换律: z 1+z2=z2+z1.证明：设 z1=a1+b1i，z 2=a2+b2i(a1，b 1，a 2，b 2R ).z 1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.z2+z1=(a2+b2i)+(a
7、1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.又a 1+a2=a2+a1，b 1+b2=b2+b1.z 1+z2=z2+z1.即复数的加法运算满足交换律.4. 复数的加法运算满足结合律: (z 1+z2)+z3=z1+(z2+z3)证明：设 z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z 3=a3+b3i(a1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3R).(z 1+z2)+z3=(a 1+b1i)+(a2+b2i)+(a 3+b3i)=(a 1+a2)+(b1+b2)i+(a 3+b3)i=(a 1+a2)+a3+(b 1+b2)+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z1+(z
8、2+z3)=(a1+b1i)+(a 2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)+(a 2+a3)+(b2+b3)i=a 1+(a2+a3)+b 1+(b2+b3)i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i(a 1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b 1+b2)+b3=b1+(b2+b3).(z 1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即复数的加法运算满足结合律讲解范例：例 1 计算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)(5-2-3)+(-6-1-4) i=11 i例 2 计算：(12i)+(2+3 i)+(34i)+(4+5 i
9、)+(2002+2003i)+(20032004i)解法一：原式=(12+34+ 2002+2003)+( 2+34+5+20032004i)=(20031001)+(10012004)i =10021003i .解法二：(12i)+(2+3 i)=1+i， (34i)+( 4+5i)=1+ i，(20012002i)+(2002+2003) i=1+i.相加得(共有 1001 个式子)：原式=1001(1+i )+(20032004i)=(20031001)+(10012004)i =10021003i二.复数代数形式的加减运算的几何意义复数的加(减) 法 (a+bi)(c+di)=(ac)
10、+(bd)i. 与多项式加(减)法是类似的.就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加 (减). 复平面内的点 平面向量,Zb 一 一 对 应 OZ2. 复数 平面向量zai 一 一 对 应3.复数加法的几何意义：设复数 z1=a+bi，z 2=c+di，在复平面上所对应的向量为 、1Z，即 、 的坐标形式为 =(a，b) ， =(c，d)以2OZZ1OZ2、 为邻边作平行四边形 OZ1ZZ2，则对角线 OZ 对应的向量1是 ， = + =(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d) (a+c)+(b+d)iZ124. 复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设 z=(ac)+( bd)i，
11、所以zz 1=z2，z 2+z1=z，由复数加法几何意义，以 为一条对角线， 为一条边画平行四OZ1Z边形，那么这个平行四边形的另一边 OZ2 所表示的向量 就与复数 zz 1 的差(ac)2+(b d)i 对应由于 ，所以，两个复数的差 zz 1 与连接这两个向量终点并指向被21OZ减数的向量对应.例 3 已知复数 z1=2+i，z 2=1+2i 在复平面内对应的点分别为 A、B，求 对应的复数z，z 在平面内所对应的点在第几象限？解：z=z 2z 1=(1+2i)(2+i)=1+i，z 的实部 a= 10，虚部 b=10，复数 z 在复平面内对应的点在第二象限内.点评：任何向量所对应的复数
12、，总是这个向量的终点所对应的复数减去始点所对应的复数所得的差. 即 所表示的复数是 zBz A. ，而 所表示的复数是 zAz B，故切不AB可把被减数与减数搞错尽管向量 的位置可以不同，只要它们的终点与始点所对应的复数的差相同，那么向量 所对应的复数是惟一的，因此我们将复平面上的向量称之自由向量，即它只与其方向和长度有关，而与位置无关例 4 复数 z1=1+2i，z 2=2+i ，z 3=12i ，它们在复平面上的对应点是一个正方形的三个顶点，求这个正方形的第四个顶点对应的复数.分析一：利用 ，求点 D 的对应复数.BCA解法一：设复数 z1、z 2、z 3 所对应的点为 A、B、C，正方形
13、的第四个顶点 D 对应的复数为 x+yi(x，y R)，是：=(x+yi)(1+2i)=(x1)+(y2) i;OD=(12i)(2+ i)=13i.BC ，即(x1)+(y 2) i=13i，A 解得,32y.1,故点 D 对应的复数为 2i.分析二：利用原点 O 正好是正方形 ABCD 的中心来解.解法二：因为点 A 与点 C 关于原点对称，所以原点 O 为正方形的中心，于是(2+i)+(x+yi)=0，x=2，y=1.故点 D 对应的复数为 2i.点评：根据题意画图得到的结论，不能代替论证，然而通过对图形的观察，往往能起到启迪解题思路的作用巩固练习：1.已知复数 z1=2+i,z2=1+
14、2i,则复数 z=z2z 1 在复平面内所表示的点位于A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限2.在复平面上复数32i, 4+5i,2+i 所对应的点分别是 A、B、C，则平行四边形ABCD 的对角线 BD 所对应的复数是A.59i B.53i C.711i D.7+11i3.已知复平面上AOB 的顶点 A 所对应的复数为 1+2i,其重心 G 所对应的复数为 1+i,则以 OA、 OB 为邻边的平行四边形的对角线长为A.3 B.2 C.2 D.2254.复平面上三点 A、B、C 分别对应复数 1，2i,5+2i,则由 A、B、C 所构成的三角形是A.直角三角形 B.等腰三角形
15、 C. 锐角三角形 D.钝角三角形5.一个实数与一个虚数的差（ ）例 2 图A.不可能是纯虚数 B.可能是实数 C.不可能是实数 D.无法确定是实数还是虚数6.计算( =_.)23()()23()2 iii 7.计算：(2x+3 yi)(3x 2yi)+(y2xi)3xi=_(x、yR ).8.计算（12i)(23i)+(3 4i)(2002 2003i ).9.已知复数 z1=a23+(a+5)i,z 2=a1+(a 2+2a1) i(aR) 分别对应向量 、 （O1Z2为原点） ，若向量 对应的复数为纯虚数，求 a 的值.Z解： 对应的复数为 z2z 1，则21z2z 1=a1+(a 2+
16、2a1)i a23+(a+5)i =(aa 2+2)+(a2+a6) iz 2z 1 是纯虚数 解得 a=1.0610已知复平面上正方形的三个顶点是 A（1，2） 、B（2，1） 、C（1，2） ，求它的第四个顶点 D 对应的复数 .解：设 D（x,y),则对应的复数为(x+yi) (1+2i )=(x1)+(y2) iOA对应的复数为：(12i)( 2+i )=13 iBC (x 1)+(y 2)i =13i ,解得32y1D 点对应的复数为 2i。答案：1.B 2.C 3.A 4.A 5.C 6.2 i 7.(yx)+5(yx) i8.解：原式=(12+34+ +20012002）+(2+
17、34+ 2002+2003)i=1001+1001i 课后作业：课本第 112 页 习题 3.2 1 , 2 , 3教学反思：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，dR ，那么 a+bi=c+di a=c，b=d 一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小 复数的加法法则：(a+bi)+(c +di)=(a+c)+(b+d)i(a，b，c，dR). 复数的加法，可模仿多项式的加法法则计算，不必死记公式。复数加法的几何意义：如果复数 z1，z 2 分别对应于向量 、 ，那么，以1OP来源：高考资源网高考资源网()OP1、OP 2 为两边作平行四边形 OP1SP2，对角线 OS 表示的向量 就是 z1+z2 的和所对应OS的向量 复数减法的几何意义：两个复数的差 zz 1 与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应.版权所有：高考试题库()
