1、教学设计23.1 离散型随机变量的均值整 体 设 计教材分析 本课是一节概念新授课，数学期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数学习数学期望将为今后学习概率统计知识做铺垫同时，它在市场预测、经济统计、风险与决策等领域有着广泛的应用，对今后学习数学及相关学科产生深远的影响具体做法如下：(1)先通过创设情境激发学生学习数学的情感，引导学生分析问题、解决问题经历概念的建构这一过程，培养学生归纳、概括等合情推理能力(2)再通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识培养其严谨治学的态度，积极探索的精神，从而实现自我的价值“授之以鱼，不如授之以
2、渔” ，注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题课时分配 1 课时教学目标 知识与技能了解离散型随机变量的均值或数学期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或数学期望过程与方法理解公式“E(aX b) aE(X)b”，以及“若 XB(n，p)，则 E(X)np” ，能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的均值或数学期望情感、态度与价值观培养学生对新知识的科学态度，勇于探索和敢于创新的精神体现数学的文化功能与人文价值重点难点 教学重点：离散型随机变量的均值或数学期望的概念教学难点：根据离散型随机变量的分布列求出均值或数学期望教 学 过 程Error!1分布
3、列：设离散型随机变量 X 可能取的值为 x1，x 2，x i，x n，X 取每一个值 xi(i1,2，n)的概率为 P(Xx i)p i，则称表X x1 x2 xi xnP p1 p2 pi pn为随机变量 X 的概率分布，简称 X 的分布列2分布列的两个性质：(1)p i0，i 1,2，n；(2) i1.ni 1p教师指出：前面，我们认识了随机变量的分布列对于离散型随机变量，确定了它的分布列，可以方便地得出随机变量的某些特定的概率，也就掌握了随机变量取值的统计规律但在实际上，分布列的用途远不止于此，提出问题：已知某射手射击所得环数 X 的分布列如下X 4 5 6 7 8 9 10P 0.02
4、 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22设计意图：抛砖引玉，引出课题教师指出：在 n 次射击之前，可以根据这个分布列估计 n 次射击的平均环数这就是我们今天要学习的离散型随机变量的均值或数学期望提出问题：如何估计该射手 n 次射击的平均环数，还需知道哪些信息？如何得到？学情预测：学生联系以前所学样本平均数的求法，自然想到需要估计各射击成绩的项数活动结果：根据射手射击所得环数 X 的分布列，我们可以估计，在 n 次射击中，预计大约有P(X4)n 0.02n 次得 4 环；P(X5)n 0.04n 次得 5 环；P(X10)n 0.22n 次得 10 环故 n 次射击的总环数大
5、约为40.02n50.04n100.22n (40.0250.04 100.22)n ，从而，预计 n 次射击的平均环数约为 40.0250.04100.228.32.这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的，只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关的常数，它反映了射手射击的平均水平Error!推而广之，对于任一射手，若已知其射击所得环数 X 的分布列，即已知各个 P(Xi)(i0,1,2 ，10)，我们可以同样预计他任意 n 次射击的平均环数：0P(X0) 1P(X1)10P(X10) 接下来我们一起学习一下均值的定义1均值(或数学期望)：一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为X x1 x
6、2 xi xnP p1 p2 pi pn则称 E(X)x 1p1x 2p2 xipix npn 为 X 的均值或数学期望教师补充：(1)区别 与 E.随机变量 是可变的，可取不同的值；均值 E 是不变的，它是离散型随机变量的一个特征数，由 的分布列唯一确定，它反映了 取值的平均水平(2)区别随机变量的均值与相应数值的算术平均数均值表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义上的平均值，不同于相应数值的算术平均数Error!章首问题回顾：商场内的促销活动可获得经济效益 2 万元；商场外的促销活动，如果不遇雨天则带来经济效益 10 万元，如果遇到雨天则带来经济损失 4 万元假设国庆节有雨的概
7、率是 40%，请问商场应该选择哪种促销方式较好？( 商场外)解：商场外平均效益为 10P(10) (4)P(4) 100.6 40.4 4.4.提出问题：离散型随机变量 X 的数学期望 E(X)与 x1，x 2，x i，x n 的平均数(x 1x 2x n) ，有何关系？x1n活动结果：一般地，在有限取值的离散型随机变量 X 的概率分布中，若p1p 2p n，则有 p1p 2p n ，E(X)(x 1x 2x n) ，所以此时 X 的数学1n 1n期望就是 x1，x 2，x i， ，x n 的平均数继续探究：根据以前所学我们知道，若一组数据 xi(i1,2，n) 的平均数为 ，那么x另一组数据
8、 axib(a、b 是常数且 i1,2，n)的平均数为 a b.x类似地，我们可以联想得到离散型随机变量 X 的均值也具有类似的性质：2均值的一个性质：若 Y aXb(a、b 是常数)，X 是随机变量，则 Y 也是随机变量，它们的分布列为：X x1 x2 xi xnY ax1b ax2b axib axnbP p1 p2 pi pn于是 E(Y)(ax 1b)p 1(ax 2b)p 2(ax ib)p i (axnb)p na(x 1p1x 2p2x ipix npn)b(p 1p 2p ip n)aE(X)b，由此，我们得到了期望的一个性质：E(aX b)aE(X)b.Error!例 1 篮
9、球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，罚不中得 0 分，已知他命中的概率为0.7，求他罚球一次得分 的均值解：因 P(1)0.7，P(0)0.3，所以 E10.700.30.7.活动结果：此为两点分布，可猜想当 X 服从两点分布时，有 E(X)p.继续发问：两点分布是一个特殊的二项分布，那么一般地，若 XB(n，p) ，则 E(X)？活动结果：若 XB(n，p)，则 E(X)np.证明如下：设 1pq.P(Xk) C pk(1p) nk C pkqnk ，kn knE(X) 0C p0qn1C p1qn1 2C p2qn2 kC pkqnk nC pnq0.0n 1n 2n kn n又 kC
10、 k nC ，knn！k！ (n k)！ n(n 1)！(k 1)！ (n 1) (k 1)！ k 1nE(X) np(C p0qn1 C p1qn2 C pk1 q(n1)(k1) C pn1 q0)0n 1 1n 1 k 1n n 1np(p q)n1 np.故若 XB(n，p)，则 E(X)np.例 2 袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n1,2,3,4) 现从袋中任取一球 表示所取球的标号()求 的分布列，均值；()若 a 4，E 1，求 a 的值解：() 的分布列为： 0 1 2 3 4P 12 120 110 320 15 的均
11、值：E0 1 2 3 4 .12 120 110 320 15 32()E aE41，又 E ，32则 a 41，a2.32例 3 为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类这三类工程所含项目的个数分别占总数的 、 .现有 3 名工人独立1213 16地从中任选一个项目参与建设()求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；()记 为 3 人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求 的分布列及数学期望解：记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件 Ai，B i，C i， i1,2,3.由题意知 A1，A 2
12、，A 3 相互独立，B 1，B 2，B 3 相互独立，C1，C 2，C 3 相互独立，A i，B j，C k(i，j，k1,2,3，且 i，j ，k 互不相同) 相互独立，且 P(Ai) ，P(B i) ， P(Ci) .12 13 16(1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率P3！P(A 1B2C3)6P(A 1)P(B2)P(C3)6 .121316 16(2)解法 1：设 3 名工人中选择的项目属于民生工程的人数为 ，由已知，B(3， )，13且 3.所以 P(0)P(3) C ( )3 ，313 127P(1)P(2) C ( )2( ) ，2313 23 29P(2)P(1) C
13、( )( )2 ，1313 23 49P(3)P(0) C ( )3 .0323 827故 的分布列是 0 1 2 3P 127 29 49 827 的数学期望 E0 1 2 3 2.127 29 49 827解法 2：记第 i 名工人选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程分别为事件 Di，i1,2,3.由已知，D 1，D 2，D 3 相互独立，且P(Di)P(A iC i)P(A i)P(C i) .12 16 23所以 B(3， )，即 P(k)C ( )k( )3k ，k0,1,2,3.23 k323 13故 的分布列是 0 1 2 3P 127 29 49 827 的数学期望 E0
14、1 2 3 2.127 29 49 827【变练演编】 有场赌博，规则如下：如掷一个骰子，出现 1，你赢 8 元；出现 2 或 3 或 4，你输 3 元；出现 5 或 6，不输不赢这场赌博对你是否有利？解：E 8 (3) 0 .16 12 13 16对你不利，劝君莫赌博！变式：准备一个布袋，内装 6 个红球与 6 个白球，除颜色不同外，六个球完全一样每次从袋中摸 6 个球，输赢的规则为：6 个全红 赢得 100 元5 红 1 白 赢得 50 元4 红 2 白 赢得 20 元3 红 3 白 输 100 元2 红 4 白 赢得 20 元1 红 5 白 赢得 50 元6 个全白 赢得 100 元这一
15、次你动心了没有？略解：结果 出现的概率6 个全红 0.1%5 红 1 白 3.9%4 红 2 白 24.4%3 红 3 白 43.2%2 红 4 白 24.4%1 红 5 白 3.9%6 个全白 0.1%【达标检测】 1随机地抛掷一个骰子，求所得骰子的点数 的数学期望解：抛掷骰子所得点数 的概率分布为 1 2 3 4 5 6P 16 16 16 16 16 16所以 E1 2 3 4 5 616 16 16 16 16 16(123456) 3.5.16抛掷骰子所得点数 的数学期望，就是 的所有可能取值的平均值2某城市出租汽车的起步价为 10 元，行驶路程不超出 4 km 时租车费为 10 元
16、，若行驶路程超出 4 km，则按每超出 1 km 加收 2 元计费(超出不足 1 km 的部分按 1 km 计)从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为 15 km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程( 这个城市规定，每停车 5 分钟按1 km 路程计费)，这个司机一次接送旅客的行车路程 是一个随机变量设他所收租车费为 .()求租车费 关于行车路程 的关系式；()若随机变量 的分布列为 15 16 17 18P 0.1 0.5 0.3 0.1求所收租车费 的数学期望()已知某旅客实付租车费 38 元，而出租汽车实际行驶了 15 km，问出租
17、车在途中因故停车累计最多几分钟？解：() 依题意得 2(4)10，即 22；()E 150.1160.5 170.3180.116.4.22，E2E 234.8.故所收租车费 的数学期望为 34.8 元()由 3822，得 18,5(1815)15.所以出租车在途中因故停车累计最多 15 分钟Error!1离散型随机变量的均值，反映了随机变量取值的平均水平；2求离散型随机变量 的均值的基本步骤：理解 的意义，写出 可能取的全部值；求 取各个值的概率，写出分布列；根据分布列，由均值的定义求出 E.公式 E(ab) aEb，以及服从二项分布的随机变量的均值 Enp.Error!【基础练习】1随机变
18、量 的分布列是 1 3 5P 0.5 0.3 0.2(1)则 E_.(2)若 21，则 E_.答案：(1)2.4 (2)5.82随机变量 的分布列是 4 7 9 10P 0.3 a b 0.2E 7.5，则 a _，b_.答案：0.1 0.43(1)若 E4.5，则 E()_.(2)E(E)_.答案：(1)4.5 (2)0【拓展练习】1某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响已知某学生只选修甲的概率为 0.08，只选修甲和乙的概率是 0.12，至少选修一门的概率是 0.88，用 表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积()记“函数 f(x)x 3 为 R 上的奇函数
19、” 为事件 A，求事件 A 的概率；()求 的分布列和数学期望解：设该学生选修甲、乙、丙的概率分别为 x、y、z.依题意得Error!解得Error!()若函数 f(x)x 3 为 R 上的奇函数，则 0.当 0 时，表示该学生选修三门功课或三门功课都没选P(A) P(0)xyz (1x)(1y)(1z)0.40.50.6(1 0.4)(1 0.5)(10.6)0.24.事件 A 的概率为 0.24.()依题意知 0 或 2，则 的分布列为： 0 2P 0.24 0.76 的数学期望为 E00.2420.76 1.52.2春节期间，小王用私家车送 4 位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为 ，用 表示 4 位朋友在第三个景点下车的人数，求：13()随机变量 的分布列；()随机变量 的均值解法一：() 的所有可能值为 0,1,2,3,4.由等可能性事件的概率公式得P(0)( )4 ，P(1) ，23 1681 C142334 3281P(2) ，P(3) ，C242234 827 C34234 881
