2017年福建省莆田七中高三上学期期中数学试卷（理科）.doc-道客多多

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1、1 页2016-2017 学年福建省莆田七中高三（上）期中数学试卷（理科）一、选择题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合 A=x|x2 ，B=x|（x1）（x3）0，则 AB=（）Ax |x1 Bx|2x3 Cx|1x 3 Dx|x 2 或 x12函数 y=2x+的最小值为（）A1 B2 C2 D43A ，B 是ABC 的两个内角， p：sinAsinB cosAcosB；q：ABC 是钝角三角形则 p 是 q成立的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件4抛物线 y2=2x 与直线 y=

2、x4 围成的平面图形面积（）A18 B16 C20 D145已知命题 p：c0，方程 x2x+c=0 有解，则p 为（）A c0，方程 x2x+c=0 无解 Bc0，方程 x2x+c=0 有解C c0，方程 x2x+c=0 无解 Dc0，方程 x2x+c=0 有解6已知向量=（1，2），=（2，4）若与（）A垂直 B不垂直也不平行C平行且同向 D平行且反向7设 tan（+）= ，tan（）=，则 tan（ +）的值是（）A B C D8已知 a=4，b=4，c=（）则（）Aa b c Bbac Cacb Dcab9如图是函数 y=Asin（x+）在一个周期内的图象，此函数的解

3、析式为可为（）Ay=2sin（2x +） By=2sin（2x+） Cy=2sin （） Dy=2sin（2x）10函数 f（ x）=|x3|ln（x+1）在定义域内零点的个数为（）2 页A0 B1 C2 D311已知函数 f（x ）=cos 4x+sin2x，下列结论中错误的是（）Af （x）是偶函数 B函 f（x）最小值为C 是函 f（x）的一个周期 D函 f（x）在（0，）内是减函数12设函数 f（x ）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为 f（x ），且有 3f（x）+xf（x ）0，则不等式（x+2015 ） 3f（x +2015）+27f（3）0 的解集（）A

4、（ 2018，2015） B （，2016） C （ 2016，2015） D （，2012）二、填空题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13若角的终边过点 P（3，4），则 sin（）= 14函数 f（ x）=sinx 4sin3cos的最小正周期为 15设，则= 16已知函数 f（x ）=|cosx|sinx，给出下列五个说法：f（）=；若|f（x 1）|=|f（x 2）|，则 x1=x2+k（kZ）；f（ x）在区间，上单调递增；函数 f（x ）的周期为 f（ x）的图象关于点（，0）成中心对称其中正确说法的序号是三、解答题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字

5、说明、演算步骤或证明过程17已知函数 f（x ）=cos（2x ）cos2x（）求 f（）的值；（）求函数 f（x）的最小正周期和单调递增区间18如图，ABC 是等边三角形，点 D 在边 BC 的延长线上，且 BC=2CD，AD=（）求 CD 的长；（）求 sinBAD 的值3 页19在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边长分别为 a，b ，c，且 cos=（1）若 a=3，b=，求 c 的值；（2）若 f（A）=sin（cossin）+，求 f（A）的取值范围20已知函数 f（x ）=x 2+alnx（1）当 a=1 时，求函数的单调区间和极值（2）若 f（x）在1，+ ）上是增函数，求实

6、数 a 的取值范围21已知函数 f（x ）=x 39x，函数 g（x）=3x 2+a（）已知直线 l 是曲线 y=f（x ）在点（0，f（0））处的切线，且 l 与曲线 y=g（x ）相切，求a 的值；（）若方程 f（x）=g（ x）有三个不同实数解，求实数 a 的取值范围4 页2016-2017 学年福建省莆田七中高三（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1已知集合 A=x|x2 ，B=x|（x1）（x3）0，则 AB=（）Ax |x1 Bx|2x3 Cx|1x 3 Dx|x 2

7、或 x1【考点】交集及其运算【分析】求出 B 中不等式的解集确定出 B，找出 A 与 B 的交集即可【解答】解：由 B 中不等式解得： 1x3，即 B=x|1x 3，A=x|x2 ，AB=x |2x3，故选：B2函数 y=2x+的最小值为（）A1 B2 C2 D4【考点】基本不等式【分析】直接利用基本不等式化简求解即可【解答】解：函数 y=2x+2=2 ，当且仅当 x=时，等号成立故选：C3A ，B 是ABC 的两个内角， p：sinAsinB cosAcosB；q：ABC 是钝角三角形则 p 是 q成立的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【考点】必

8、要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由两角差的余弦公式，结合充分必要条件的定义判断即可【解答】解：在ABC 中，由 sinAsinBcosAcosB ，得 cos（A+B）0，则 cosC0，C 为钝角，5 页则ABC 是钝角三角形，充分性成立，反之，不成立，故选：A4抛物线 y2=2x 与直线 y=x4 围成的平面图形面积（）A18 B16 C20 D14【考点】抛物线的简单性质；定积分【分析】方法一：根据题目信息，作出图形，如图所示：联立，解得：，或，则所求的面积为 S=dx+（x+4 ）dx ，求出原函数，即可求得平面区域的面积，方法二：对 y 进行积分，所求的面积为 S=（ y+

9、4）dy，即可求得平面区域的面积【解答】解：方法一：根据题目信息，作出图形，如图所示：联立，解得：，或，则所求的面积为 S=dx+（x+4）dx =，S=+4x =18故抛物线 y2=2x 与直线 y=x4 所围成的图形的面积是 18，故选 A方法二：根据题目信息，作出图形，如图所示：联立，解得：，或，则所求的面积为 S=（y+4 ）dy=（y 2+4y）= （8+162+8 ）=18 ，故选 A5已知命题 p：c0，方程 x2x+c=0 有解，则p 为（）A c0，方程 x2x+c=0 无解 Bc0，方程 x2x+c=0 有解C c0，方程 x2x+c=0 无解 Dc0，方程 x2x+c=

10、0 有解【考点】命题的否定【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可6 页【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 p：c0，方程 x2x+c=0 有解，则p 为c 0，方程 x2x+c=0 无解故选：A6已知向量=（1，2），=（2，4）若与（）A垂直 B不垂直也不平行C平行且同向 D平行且反向【考点】平行向量与共线向量；数量积判断两个平面向量的垂直关系【分析】直接利用向量关系，判断即可【解答】解：向量=（1，2），=（2，4） =2，所以两个向量共线，反向故选：D7设 tan（+）= ，tan（）=，则 tan（ +）的值是（）A B C D【考点】两角和

11、与差的正切函数【分析】由条件利用两角差的正切公式，求得 tan（ +）=tan （ +）（）的值【解答】解：tan（+）=，tan （）=，则 tan（ +）=tan （+）（）= = =，故选：B8已知 a=4，b=4，c=（）则（）Aa b c Bbac Cacb Dcab【考点】指数函数的图象与性质【分析】利用指数函数的图象及性质进行比较即可【解答】解：由题意：a=4= =；b=4=；c=（） =；4.1 210 2.7 2；7 页；所以：ac b故选：C9如图是函数 y=Asin（x+）在一个周期内的图象，此函数的解析式为可为（）Ay=2sin（2x +） By=2sin

12、（2x+） Cy=2sin （） Dy=2sin（2x）【考点】由 y=Asin（x+ ）的部分图象确定其解析式【分析】由函数的最值求出 A，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而求得函数的解析式【解答】解：由于最大值为 2，所以 A=2；又y=2sin（2x+ ），将点（，2）代入函数的解析式求得，结合点的位置，知，函数的解析式为可为，故选 B10函数 f（ x）=|x3|ln（x+1）在定义域内零点的个数为（）A0 B1 C2 D3【考点】函数零点的判定定理【分析】先求出函数的定义域，再把函数转化为对应的方程，在坐标系中画出两个函数y1=|x2|，y 2=lnx（x0）的图象

13、求出方程的根的个数，即为函数零点的个数【解答】解：由题意，函数 f（x ）的定义域为（0 ，+）；由函数零点的定义，f（x ）在（0，+）内的零点即是方程 |x3|ln（x+1）=0 的根令 y1=|x3|， y2=ln（x+1）x（x 0），在一个坐标系中画出两个函数的图象：由图得，两个函数图象有两个交点，故方程有两个根，即对应函数有两个零点故选：C8 页11已知函数 f（x ）=cos 4x+sin2x，下列结论中错误的是（）Af （x）是偶函数 B函 f（x）最小值为C 是函 f（x）的一个周期 D函 f（x）在（0，）内是减函数【考点】三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值【分

14、析】根据奇偶性的定义，判断函数 f（x ）是偶函数；化简函数 f（x），求出它的最小值为；化简 f（ x），求出它的最小正周期为；判断 f（ x）在 x（0，）上无单调性【解答】解：对于 A，函数 f（x）=cos 4x+sin2x，其定义域为 R，对任意的 xR，有 f（x） =cos4（x）+sin 2（ x）=cos 4x+sin2x=f（x ），所以 f（ x）是偶函数，故 A 正确；对于 B，f（x）=cos 4xcos2x+1=+，当 cosx=时 f（x）取得最小值，故 B 正确；对于 C，f （x）=+=+=+=+=+，它的最小正周期为 T=，故 C 正确；对于 D，

15、f（x）= cos4x+，当 x（0，）时，4x （0，2 ），f（x）先单调递减后单调递增，故 D 错误故选：D12设函数 f（x ）是定义在（，0）上的可导函数，其导函数为 f（x ），且有 3f（x）+xf（x ）0，则不等式（x+2015 ） 3f（x +2015）+27f（3）0 的解集（）A （ 2018，2015） B （，2016） C （ 2016，2015） D （，2012）【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算9 页【分析】根据条件，构造函数 g（x）=x 3f（x），利用函数的单调性和导数之间的关系即可判断出该函数在（，0）上为增函数，然后将所求不

16、等式转化为对应函数值的关系，根据单调性得出自变量值的关系从而解出不等式即可【解答】解：构造函数 g（x）=x 3f（x），g（x）=x 2（3f（x）+xf （x））；3f（x ）+xf （x ）0 ，x 20；g（x）0；g （x）在（，0）上单调递增；g（ x+2015） =（x+2015） 3f（x+2015），g（3）=27f（3）；由不等式（x+2015 ） 3f（x +2015）+27f（3）0 得：（x+2015） 3f（x +2015） 27f（ 3）；g （x+2015 ）g（3）；x+2015 3，且 x+20150；2018x2015；原不等式的解集为（20

17、18， 2015）故选 A二、填空题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13若角的终边过点 P（3，4），则 sin（）= 【考点】任意角的三角函数的定义【分析】利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值【解答】解：角的终边过点 P（3，4），x=3，y=4，r=|OP|=5，sin=，则 sin（）=sin=，故答案为：14函数 f（ x）=sinx 4sin3cos的最小正周期为【考点】三角函数的周期性及其求法10 页【分析】由已知利用倍角公式，降幂公式化简可得 f（x ）=sin2x，进而利用周期公式即可计算得解【解答】解：f（x）=sinx4sin 3c

18、os=sinx2sin2（2sin cos）=sinx2sin 2sinx=sinx（1cosx）sinx=sinxcosx=sin2x，最小正周期 T=故答案为：15设，则= 【考点】微积分基本定理【分析】由于函数 f（x）为分段函数，则 =，再根据微积分基本定理，即可得到定积分的值【解答】解：由于，定义当 x1，e 时，f（x ）=，则=，故答案为16已知函数 f（x ）=|cosx|sinx，给出下列五个说法：f（）=；若|f（x 1）|=|f（x 2）|，则 x1=x2+k（kZ）；f（ x）在区间，上单调递增；函数 f（x ）的周期为 f（ x）的图象关于点（，0）成中心对称其

21、它的最小正周期与单调递增区间【解答】解：（）函数 f（x ）=cos（2x） cos2x，f（） =cos（）cos=（）=1；（）函数 f（x）=cos（2x） cos2x=cos2xcos+sin2xsincos2x=sin2xcos2x=sin（2x）；函数 f（x ）的最小正周期为 T=；由 y=sinx 的单调递增区间是2k ，2k+，（kZ ）；令 2k2x 2k+，k Z，解得 kxk +；12 页函数 f（x ）的单调递增区间为 k，k+，（kZ） 18如图，ABC 是等边三角形，点 D 在边 BC 的延长线上，且 BC=2CD，AD=（）求 CD 的长；（）求 si

22、nBAD 的值【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（）由已知及等边三角形的性质可得 AC=2CD，ACD=120，由余弦定理即可解得CD 的值（）由（）可求 BD=3CD=3，由正弦定理即可解得 sinBAD 的值【解答】（本题满分为 13 分）解：（）ABC 是等边三角形，BC=2CD ，AC=2CD，ACD=120，在ACD 中，由余弦定理可得：AD 2=AC2+CD22ACCDcosACD，可得：7=4CD 2+CD24CDCDcos120，解得：CD=1（）在ABC 中，BD=3CD=3 ，由正弦定理，可得：sinBAD=3= 19在ABC 中，角 A，B ，C 所对的边长分别为 a

23、，b ，c，且 cos=（1）若 a=3，b=，求 c 的值；（2）若 f（A）=sin（cossin）+，求 f（A）的取值范围【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用【分析】（1）由三角形内角和定理表示出，利用诱导公式化简求出 B 的度数，再利用余弦定理求出 c 的值即可；（2）f（A）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的三角函数，由 A 的范围求出 f（A ）的范围即可【解答】解：（1）在ABC 中，A+C= B，13 页cos=cos=sin=，= ，即 B=，由余弦定理：b 2=a2+c22accosB，得 c23c+2=0，解得：

24、c=1 或 c=2；（2）f（A）= sinA+=sinA+cosA=sin（A+），由（1）A+C= B=，得到 A（0，），A+ （，），sin （A+）（，1，则 f（A）的范围是（，1 20已知函数 f（x ）=x 2+alnx（1）当 a=1 时，求函数的单调区间和极值（2）若 f（x）在1，+ ）上是增函数，求实数 a 的取值范围【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】（1）先求出函数的导数，得出 f（x ），从而判断函数的单调性和极值，（2）由 f（x ）=2x +，且 f（x）在1，+）上是单调增函数，解不等式从而求出 a 的范围【解答】解：（1）a=1 时：f（x

25、）=x 2lnx，（x 0），f（x）=2x=，令 f（x）0，解得：x ，令 f（x ）0，解得：0x，f（ x）在（0，）递减，在（，+）上单调递增，f（ x）的极小值是 f（）=（1+ln2 ）；（2）f（x ）=2x +，若 f（x）在1，+）上是单调增函数，则：f（1）=2+a 0，a 214 页21已知函数 f（x ）=x 39x，函数 g（x）=3x 2+a（）已知直线 l 是曲线 y=f（x ）在点（0，f（0））处的切线，且 l 与曲线 y=g（x ）相切，求a 的值；（）若方程 f（x）=g（ x）有三个不同实数解，求实数 a 的取值范围【考点】利用导数研究曲线

26、上某点切线方程；根的存在性及根的个数判断【分析】（）求出 f（x）的导数和切线的斜率和方程，设 l 与曲线 y=g（x）相切于点（m，n），求出 g（x）的导数，由切线的斜率可得方程，求得 a 的值；（）记 F（x）=f（x）g（x）=x 39x3x2a，求得导数和单调区间，极值，由题意可得方程f（x）=g（x）有三个不同实数解的等价条件为极小值小于 0，极大值大于 0，解不等式即可得到所求范围【解答】解：（）函数 f（x ）=x 39x 的导数为 f（x ）=3x 29，f（0）=0，f（0）=9，直线 l 的方程为 y=9x，设 l 与曲线 y=g（x ）相切于点（m，n ），g（x

27、）=6x，g（m ）=6m= 9，解得 m=，g（ m）= 9m，即 g（）=+a=，解得 a=；（）记 F（x）=f（x）g（x）=x 39x3x2a，F（ x）=3x 26x9，由 F（ x）=0，可得 x=3 或 x=1当 x1 时，F（x）0， F（x ）递增；当1 x3 时，F（x） 0，F （x ）递减；当 x3 时，F（x）0，F （x）递增可得 x=1 时， F（x ）取得极大值，且为 5a，x=3 时，F（x）取得极小值，且为 27a，因为当 x+ ，F（x ） +；x ，F（x）则方程 f（x ）=g（x）有三个不同实数解的等价条件为：15 页5a0，27 a0，解得27a 516 页2017 年 1 月 13 日

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