1、第页 12017 届福建省数学基地校高三毕业班总复习 概率与统计平行性测试数学（理）试题（解析版）一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰，在研究比率方面的应用十分丰富，其中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来 1 534 石，验其米内杂谷，随机取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约( )A. 134 石 B. 169 石 C. 268 石 D. 338 石【答案】B【解析】设这批米内夹谷约为 x 石，根据随机抽样事件的概率得 ，得 x169.本题选择 B 选
2、项.2. 某校在 2016 年的中学数学挑战赛中有 1 000 人参加考试，数学考试成绩 N (90，2)(0，试卷满分150 分)，统计结果显示数学考试成绩在 70 分到 110 分之间的人数约为总人数的，则此次数学考试成绩不低于 110 分的考生人数约为( )A. 200 B. 400 C. 600 D. 800【答案】A【解析】依题意得 P(70110)0.6， P(110)0.30.50.8， P(110)0.2，于是此次数学考试成绩不低于 110 分的考生约有 021 000200(人)本题选择 A 选项.点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法熟记 P(n Snn【答案】C【解
3、析】试题分析：由 (3x1)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+anxn可令 得；x=0 (301)n=a0+a10+.+a70=1,a0=(1)n可令 得； ，x=1 (311)n=a0+a1+.+a7=2n,a0=(1)n，而二项式系数和n=a1+a2+a3+an=2n+(1)n Sn=2n则比较易得； 为奇数时， ， 为偶数时，n Snn第页 6考点：二项式定理的性质与赋值法12. 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，乙也从该正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线，则所得的两条直线相互垂直的概率是( )A. B. 418C. 518D. 【答案】C【解析】甲共得 6 条，乙
4、共得 6 条，共有 6636(对)，其中垂直的有 10 对， .P=1036=518本题选择 C 选项.二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分.13. 在一次马拉松比赛中，35 名运动员的成绩(单位：分钟 )如图所示：13 0 0 3 4 5 6 6 8 8 8 914 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 5 5 5 6 6 7 815 1 1 2 2 3 3 3若将运动员按成绩由好到差编为 135 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩在区间139,151上的运动员人数为_人.【答案】4【解析】根据茎叶图中的数据，得成绩在区间139,151上的运动员人数是 20，用系统
5、抽样方法从 35 人中抽取 7 人，成绩在区间139,151 上的运动员应抽取 7 4( 人).点睛：茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以随时记录；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作14. 有 10 件产品，其中 3 件是次品，从中任取 2 件，若 表示取到次品的件数，则 _.X第页 7【答案】【解析】试题分析：根据题意可知，从 件产品中任取 件，一共有 种选法，对于 的取值有10，且 , , ,所0,1,2P(X=0)=C27C210=2145=715P(X=1)=C1
6、7C13C210=715P(X=2)=C23C210=115以 考点：离散型随机变量的期望15. 某商场在儿童节举行回馈顾客活动，凡在商场消费满 100 元者即可参加射击赢玩具活动，具体规则如下：每人最多可射击 3 次，一旦击中，则可获奖且不再继续射击，否则一直射满 3 次为止.设甲每次击中的概率为 p(p0)，射击次数为 ，若 的均值 E()，则 p 的取值范围是_.【答案】 (0,12)【解析】由已知得 P(1)p， P(2)(1p)p，P(3)(1p) 2，则 E()p2(1p) p3(1p) 2p 23p3 ，解得 p或 pk) 0.05 0.01 0.001k 3.841 6.635
7、 10.828(I)从乙班随机抽取 2 名学生的成绩 ,记“ 成绩优秀”的个数为，求的分布列和数学期望 ；(II)根据频率分布直方图填写下面 2 x2 列联表,并判断是否有 95的把握认为:“成绩优秀”与教学方式有关.甲班（A 方式） 乙班(B 方式） 总计成绩优秀成绩不优秀总计附： K2= n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d).【答案】()答案见解析；()答案见解析.第页 10【解析】试题分析：(1)结合题意可得的可能值为 0,1,2.，结合超几何分布求得分布列，然后计算数学期望可得 ；E（ ） =425(2)首先完成列联表，结合列联表计算可得： 根据列联表中数据可得有
8、95%的把K24.762.握认为“成绩优秀 ”与教学方式有关 .试题解析：（I）由频率分布直方图可得“成绩优秀” 的人数为 4.的可能值为 0,1,2.， ，P(=0)=C246C250=207245 P(=0)=C24C250= 61225故的分布列为0 1 2P 207245 1841225 61225所以， E（ ） =0207245+11841225+2 61225=425（II）由频率分布直方图可得，甲班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为 12、38，乙班成绩优秀、成绩不优秀的人数分别为 4、46.甲班(A 方式)乙班(A 方式)总计成绩优秀 12 4 16成绩不优秀 38 46 84
9、总计 50 50 100K2=100(1246-438)2168450504.762.根据列联表中数据，由于 4.7623.481，所以有 95%的把握认为“ 成绩优秀”与教学方式有关第页 1119. 某篮球队对篮球运动员的篮球技能进行统计研究，针对篮球运动员在投篮命中时，运动员到篮筐中心的水平距离这项指标，对某运动员进行了若干场次的统计，依据统计结果绘制如下频率分布直方图：(I)依据频率分布直方图估算该运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离的中位数；(II)在某场比赛中，考察他前 4 次投篮命中时到篮筐中心的水平距离的情况，并且规定：运动员投篮命中时，他到篮筐中心的水平距离不少于 4 米的
10、记 1 分，否则扣掉 1 分.用随机变量 X 表示第 4 次投篮后的总分，将频率视为概率，求 X 的分布列和均值.【答案】()4.25；()答案见解析.【解析】试题分析：(1)由题意结合中位数将频率分布直方图分成左右面积相等的两部分列出方程，解方程可得：运动员到篮筐中心的水平距离的中位数是 4.25 米.(2)由题意可知随机变量 X 的所有可能取值为4， 2，0，2，4. 利用二项分布公式首先求得概率值，然后得出分布列，结合分布列计算可得均值为 .E(X)=45试题解析：(I)设该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数为 x，0.2010.200.5 ；x4，5.由 0.40(5x)0.201 0
11、.5，解得 x4.25，该运动员到篮筐中心的水平距离的中位数是 4.25 米.(II)由频率分布直方图可知投篮命中时到篮筐中心距离超过 4 米的概率为 p ，随机变量 X 的所有可能取值为4，2， 0，2，4. 第页 12，P(X=4)=(25)4=16625，P(X=2)=C14(25)3(35)1=96625，P(X=0)=C24(25)2(35)3=216625，P(X=4)=(35)4=81625X 的分布列为：X 4 2 0 2 4PE(X)(4) ( 2) 0 2 4 点睛：判断一个随机变量是否服从二项分布，要看两点：一是是否为 n 次独立重复试验在每次试验中事件 A 发生的概率是
12、否均为 p.二是随机变量是否为在这 n 次独立重复试验中某事件发生的次数且 表示P(X=k)=Cknpk(1p)nk在独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率.20. 甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束.因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入 40 万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加 10 万元.(I)求总决赛中获得门票总收入恰好为 300 万元的概率；(II)设总决赛中获得门票总收入为 X，求 X 的均值 E(X).【答案】(1)；(2)377.5 万元.【解析】试题分析：
13、(1)由题意结合等差数列的性质可得总决赛共比赛了 5 场，结合二项分布公式可得总决赛中获得门票总收入恰好为 300 万元的概率是；(2)由题意可知随机变量 X 可取的值为 220，300， 390，490.结合随机变量的值求得概率值，然后求解均值可得 E(X)=377.5 万元.试题解析：(1)依题意，每场比赛获得的门票收入组成首项为 40，公差为 10 的等差数列.第页 13设此数列为a n，则易知 a140，a n10n30，所以 Sn 300.解得 n5 或 n12(舍去)，所以总决赛共比赛了 5 场则前 4 场比赛的比分必为 13，且第 5 场比赛为领先的球队获胜，其概率为 .所以总决
14、赛中获得门票总收入恰好为 300 万元的概率为.(2)随机变量 X 可取的值为 S4，S5，S6，S7，即 220，300，390，490.,P(X=220)=2(12)4=18,P(X=390)=C35(12)5=516,P(X=490)=C36(12)6=516所以 X 的分布列为X 220 300 390 490P所以 X 的均值为 E(X)220 300 390 490 377.5(万元). 21. 在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的 6 次模拟测试成绩( 百分制)的茎叶图.(I)若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(
15、II)若从甲的 6 次模拟测试成绩中随机选择 2 个，记选出的成绩中超过 87 分的个数为随机变量 ，求 的分布列和均值.【答案】()答案见解析；()答案见解析.【解析】试题分析：(1)由题意考查两人的平均值均为 82，方差甲乙分别为 ，结合方差可知乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛. 第页 14(2)由题意可知： 的所有可能取值为 0，1，2，结合超几何分布概率公式求得概率值，得到分布列，然后计算可得均值为 .E()=23试题解析：(I)学生甲的平均成绩 x 甲 82，学生乙的平均成绩 x 乙 82，又 s (68-82)2(76-82) 2(79-82) 2(86-82
16、) 2(88-82) 2(95-82) 277，s (71-82)2(75-82) 2(82-82) 2(84-82) 2(86-82) 2(94-82) 2 ，则 x 甲 x 乙 ，s s ，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛. (II)随机变量 的所有可能取值为 0，1，2，且P(0) ，P(1) ，P (2) ，则 的分布列为 0 1 2P所以均值 E()0 1 2 . 22. 某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 A，B 两种奶制品.生产 1 吨 A 产品需鲜牛奶 2 吨，使用设备 1 小时，获利 1 000 元；生产 1 吨 B 产品需鲜牛奶
17、1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1 200 元.要求每天 B产品的产量不超过 A 产品产量的 2 倍，设备每天生产 A，B 两种产品时间之和不超过 12 小时.假定每天可获取的鲜牛奶数量 W(单位：吨)是一个随机变量，其分布列为W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 Z(单位：元)是一个随机变量.(I)求 Z 的分布列和均值；第页 15(II)若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10 000 元的概率.【答案】()答案见解析；()0.973.【解析】 （）设每天 两种
18、产品的生产数量分别为 ，相应的获利为 ，A,B x,y则有 （1）目标函数为 z=1000x+1200y当 时， （ 1）表示的平面区域如图 1，三个顶点分别为 W=12 A(0,0),B(2.4,4.8),C(6,0)将 变形为 ，当 时，直线： 在 轴上的截距最大，最大获利 当 时， （ 1）表示的平面区域如图 2，三个顶点分别为 W=15将 变形为 ，当 时，直线： 在 轴上的截距最大，x=3,y=6 y最大获利 当 时， （ 1）表示的平面区域如图 3，W=18四个顶点分别为 A(0,0),B(3,6),C(6,4),D(9,0)将 变形为 ，z=1000x+1200y当 时，直线： 在 轴上的截距最大，x=6,y=4 y最大获利 故最大获利 的分布列为y 8160 10200 10800Z 0 3 0 5 0 2第页 16因此，（）由（）知，一天最大获利超过 10000 元的概率 ，由二项分布，3 天中至少有 1 天最大获利超过 10000 元的概率为 p=1(1p1)3=10.33=0.973.考点：线性规划的实际运用，随机变量的独立性，分布列与均值，二项分布
