1、第页 12018 届山东省济宁市高三上学期期末考试数学（理）试题（解析版）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 集合 ， ，则 ( )A=x|x23x0 B=x|y=lg(2x) AB=A. B. C. D. x|0x0,a1) f(x)=x M的值等于( )( )A. B. C. 2 D. 3112【答案】B【解析】令 ，得 .此时 ,所以函数 .x-3=1 x=4 g(4)=2 g(x)的 图 象 经 过 定 点 M(4,2)由题意得 ，解得 .选 B.2=4 =124. 命题 ：若
2、，则 ， ；命题 ： ，使得 ，则下列命题中为真命a0 lnx0=1x0题的是( )A. B. C. D. pq p(q) (p)q (p)(q)【答案】C【解析】对于命题 ，当 时不成立，故命题 为假命题；p c=0第页 2对于命题 ，当 时成立，故命题 为真命题.q x0=1 q故 为真命题.选 C.(p)q5. 中国古代数学著作算法统宗中记载了这样的一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还” ，其大意为：有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天其因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达了目的地，问此
3、人第二天走的路程里数为( )A. 76 B. 96 C. 146 D. 188【答案】B，解得 ，a1(1126)112 =378 a1=192 .即此人第二天走的路程里数为 96.选 B.a2=19212=966. 已知实数 满足条件 ，则 的最大值为( )x,y xy0x+y0x1 z=y(12)xA. B. C. 1 D. 32 1 12【答案】D【解析】画出不等式组表示的可行域（如图所示） ，由 ，得 .平移曲线 ，由图形可得，当曲线经过可行域内的点 A 时，z 有最大值.z=y-(12)x y=(12)x+z y=(12)x+z由条件可得 A(1，1)，所以 .选 D.zmax=11
4、2=127. 已知 ， ，则 ( )cos(2+)=33 (201a 12 1b a+9bA. 16 B. 9 C. 5 D. 4【答案】A【解析】 ， ， 成等差数列，1a 12 1b .1a+1b=19. 函数 ， 的图象大致为( )y=2cos2x+cosx+1 x2,2A. B. C. D. 【答案】B【解析】 ，f(x)=2cos2(x)+cos(x)+1=2cos2x+cosx+1=f(x)函数 为偶函数 .故排除选项 A，D.f(x)，f(x)=2cos2x+cosx+1=2(cosx14)2+98,x2,2第页 4 ，当 时， 取得最大值 ；当 时， 取得最小值 0.故排除 C
5、.cosx=14 f(x) 98 cosx=1 f(x)选 B.10. “ ”是函数 为奇函数”的( )a=1A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若函数 为奇函数，则 ，f(x)=ln(2x1+x+a) f(-x)=-f(x)即 ，所以 ，即-2x1-x+a= 12x1+x+a 1-(a+2)x1-x = 1+x1+(a+2)x整理得 ,故 ，解得 或 .(a+2)2=1 a=1 a=3当 时， ，无奇偶性，不合题意 .a=3 f(x)=ln(2x1+x-3)=ln(-3-x1+x)当 时， ，符合题意.a=1 f(x)=l
6、n(2x1+x-1)=ln(x-11+x)总上可得， “ ”是“函数 为奇函数”的充分必要条件.选 C.a=-1 f(x)=ln(2x1+x+a)11. 已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ，线段 被双曲线C1:y2=2px(p0) F x E EF的顶点三等分，且两曲线 的交点连线过曲线 的焦点 ，曲线 的焦C2:x2a2y2b2=1(a0,b0) C1,C2 C1 F C2距为 ，则曲线 的离心率为( )211 C2A. B. C. D. 2322 113 222【答案】D【解析】设双曲线的左右顶点分别为 ，由题意得可得两曲线 在第一象限内的交点为 ,由点 PA1,A2 C1,C2
7、 P(p2,p)在双曲线上可得 .p24a2p2b2=1由线段 被双曲线的顶点三等分，可得 ，即 .EFp2a=2a p=6a故 ，化简得 ，(6a)24a2(6a)2b2=1 b2a2=92第页 5所以 .选 D.e=ca= 1+b2a2= 1+92=222点睛：求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量 的方程或不等式，利a,b,c用 和 转化为关于 e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围对于b2 c2 a2 e=ca出现的多种圆锥曲线的问题，在解题时要注意分清各个量之间的联系，并利用得到的关系进行化简求解.12. 设 ，若函数 在区间 上有
8、三个零点，则实数的取值范围是 ( )f(x)=|lnx| g(x)=f(x)ax (0,e2)A. B. C. D. (1e2,1e) (2e2,2e) (2e2,1e)【答案】D【解析】令 ，可得 .g(x)=f(x)-ax=0 f(x)=ax在坐标系内画出函数 的图象（如图所示）.f(x)=|lnx|当 时， .由 得 .x1 f(x)=lnx y=lnx y=1x设过原点的直线 与函数 的图象切于点 ，y=ax y=lnx A(x0,lnx0)则有 ，解得 .lnx0=ax0a=1x0 x0=ea=1e所以当直线 与函数 的图象切时 .y=ax y=lnx a=1e又当直线 经过点 时，
9、有 ，解得 .y=ax B(e2,2) 2=ae2 a=2e2结合图象可得当直线 与函数 的图象有 3 个交点时，实数的取值范围是 .y=ax f(x)=|lnx|即函数 在区间 上有三个零点时，实数的取值范围是 .选 D.g(x)=f(x)-ax (0,e2) (2e2,1e)点睛：已知函数零点的个数（方程根的个数）求参数值（取值范围）的方法(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解，对于第页 6一些比较复杂的函数
10、的零点问题常用此方法求解.二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 直线过抛物线 的焦点且与 轴垂直，则与抛物线 所围成的图形的面积等于_.C:x2=4y y C【答案】83【解析】抛物线 的焦点为 ,故直线的方程为 .C:x2=4y (0,1) y=1当 时， .y=1 x=2所以直线与抛物线 所围成的图形的面积 .C S=22(1x24)dx=(xx312)|22=83答案：8314. 函数 的部分图象如图所示，则将 的图象向右平移 个单位f(x)=Asin(x+) (A0,0,|=|nB1M|n|B1M|= |1(-2)+(-1)2+2(-2)|12+(-1)
11、2+22 (2)2+(-2)2+(-2)2= 6652-4+8 652-4+8.当 时， .=25 (sin)max=306所以直线 与平面 所成角正弦的最大值为 .B1M AEF306点睛：（1）求直线和平面所成的角时，可通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余角就是斜线与平面所成的角（2）解本题的关键是确定点 M 的位置，为此可通过引入参数并根据向量的共线得到点 M 的坐标，再由线面角公式得到关于的函数关系式，根据函数求最值的方法求解.这种解题方法体现了向量的立体几何中的工具性作用，也体现了转化方法在数学中的应用.20. 如图，点 是圆 内的一
12、个定点，点 是圆 上的任意一点，线段 的垂直平分B( 3,0) A:(x+ 3)2+y2=16 A BP线和半径 相交于点 ，当点 在圆 上运动时，点 的轨迹为曲线 .AP Q P A Q C第页 12(1)求曲线 的方程；C(2)点 ， ，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，求 的值.E(2,0) F(0,1) QE y M QF x N |EN|FM|【答案】(1) (2) x24+y2=1 |EN|FM|=4【解析】试题分析：本题考查曲线方程的求法和直线与圆锥曲线的位置关系.（1）由条件根据定义法求解曲线方程.（2）设出直线的方程，然后根据根与系数的关系求得点 的坐标.由点 ，
13、， 共线可得点 的横坐标 ，可得直线QE Q F N Q N xN与 轴的交点纵坐标为 ，由此可得 ， ，计算后可得结果.QE y yM |EN|=|2-xN|=4|2k+1| |FM|=|1-yM|=|1+2k|试题解析：(1)由题意得点 在 的垂直平分线上，Q BP所以 ，|QB|=|QP| .|QA|+|QB|=|QA|+|QP|=4|AB|点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，Q A,B设椭圆的方程为 ,x2a2+y2b2=1(ab0)则 ， ，a=2 c= 3 .b=1所以曲线 的方程为 .Cx24+y2=1(2)由题设知直线的斜率存在.设直线 的方程为 ，QE y=k(x-
14、2)由 消去 整理得y=k(x-2)x24+y2=1 y，(1+4k2)x2-16k2x+16k2-4=0设 ， ，Q(x1,y1) E(x2,y2)则 ，x1x2=16k2-41+4k2又 ，x2=2第页 13所以 ，x1=8k2-21+4k2所以 ，Q(8k2-21+4k2, -4k1+4k2)因为点 ， ， 共线，故 ，F N Q kFN=kFQ即 ，-1xN= -41+4k2-18k2-21+4k2所以 ，xN=8k2-21+4k+4k2=2(2k-1)2k+1又直线 与 轴的交点纵坐标为 ，QE y yM=-2k所以 ， ，|EN|=|2-xN|=4|2k+1| |FM|=|1-yM
15、|=|1+2k|所以 .|EN|FM|=4点睛：（1）定义法求轨迹方程的步骤：分析题意，判断动点的运动轨迹满足某种曲线的定义；设出曲线的标准方程，并根据题意求出方程中的参数；求出轨迹方程，并判断是否有特殊点需要去掉（或补上） （2）由于解析几何中涉及到较多的运算，因此在解题时要注意运算的准确性和运算的技巧，学会运用“设而不求” 、 “整体代换”等方法.21. 设函数 .f(x)=x+lnxaa2x(aR)(1)讨论函数 的单调性；f(x)(2)当 时，记 ，是否存在整数，使得关于 的不等式 有解？若存在，请求出的最小值；a=1 g(x)=xf(x) x tg(x)若不存在，请说明理由.【答案】
16、(1) 当 时，函数 的单调减区间是 ； 单调增区间是 ；当 时，函数a1 f(x) (0,a1).(2) 存在整数满足题意，且的最小值为 0.(a1,+)【解析】试题分析：本题考查用导数讨论函数的单调性和用导数解决函数中的能成立问题.（1）求导后根据导函数的符号判断函数的单调性.（2）由题意只需求出函数 的最小值即可，根据函数的单调性求解即可.g(x)试题解析：由题意得函数的定义域为 .(0,+) ，f(x)=x+lnx-a-a2x第页 14 ，f(x)=1+1x+a-a2x =x2+x+a-a2x2 =(x+a)(x+1-a)x2当 时，a0 f(x)当 时， 恒成立， 上单调递增.0a1
17、 f(x)0 f(x)在 (0,+)当 时，a1则当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.x(0,a-1) f(x)0 f(x)综上，当 时， 上单调递减，在 上单调递增；a1 f(x)在 (0,a-1)上 单 调 递 减 (a-1,+)(2)当 时， ，a=1 g(x)=xf(x)=x2+xlnx ，g(x)=2x+lnx+1函数 单调递增，g(x)又 ， ，g(12)=2-ln20 g(16)=43-ln60 g(x)所以 ，g(x)min=g(x0)=x20+x0lnx0=x20+x0(-2x0-1)=-x20-x0设 ，(x0)=-x20-x0，x0(16,12)则 在 上单调
18、递减，(x0) (16,12)所以 ，即 .(12)f(x) tf(x)mintf(x) tf(x)max（2）对于导函数的零点存在但不可求的问题，可根据零点存在定理确定出零点所在的区间，在求函数的最值时可利用整体代换的方法求解，这是在用导数解决函数问题中常见的一种类型 .22. 在直角坐标系 中，以坐标原点 为极点， 轴xOy O x第页 15的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线的参数方程为 (为参数)，曲线 的极坐标方程是x=ty=3t+1 C.cos2=2sin(1)写出直线的普通方程和曲线 的直角坐标方程；C(2)设直线与曲线 相交于 两点，点 为 的中点，点 的极坐标为 ，求 的值
19、.C A,B MAB P (23,6) |PM|【答案】(1) (2)y=3x+1x2=2y 10- 3【解析】试题分析：本题考查参数方程与普通方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及应用.（1）把参数方程消去参数，根据转化公式求解即可.（2）由直线方程和抛物线方程可得点 A,B 的坐标，进而得到点 的坐标，把点 的极M P坐标化为直角坐标可得所求距离.试题解析：(1)由 消去参数得 ，x=ty=3t+1 y=3x+1由曲线 的极坐标方程 ，得 ，C cos2=2sin 2cos2=2sin所以曲线 的直角坐标方程为 .C x2=2y(2)由 消去 整理得 ，y=3x+1x2=2y y x2
20、-6x-2=0设 ， ， ，A(x1,y1) B(x2,y2) M(x0,y0)则 ，x1+x2=6 ，x0=x1+x22 =3 ，y0=3x0+1=10所以 ，M(3,10)点 的极坐标为 ，P (23,6)点 的直角坐标为 .P (3, 3) .|PM|=10- 3即 的值为 .|PM| 10- 323. 设函数 .f(x)=|xa|+2x(1)当 时，求不等式 的解集；a=1 f(x)0(2)若 时，恒有 成立，求的取值范围.x1 f(x)0第页 16【答案】(1) (2) ，或x|x13 a3 a1【解析】试题分析：本题考查绝对值不等式的解法和分类讨论方法.（1）将绝对值不等式化为不等式组求解.（2）去掉绝对值，将问题化为函数的问题处理，根据单调性求得函数的最小值，根据最小值大于等于 0 可得解.试题解析：(1)因为 ，|x+1|+2x0所以 或 ，x+103x+10 x+10x-10 解得 或 ，-1x-13 x-1所以原不等式的解集是为 .x|x-13(2)因为 为增函数，f(x)=|x-a|+2x=3x-a (xa)x+a (xa) 当 时，得 ，a-1 3(-1)-a0解得 ，a-3当 时，得 ，a-1 -1+a0解得 ，a1综上可得的取值范围为 或 .a|a-3, a1
