1、页 1 第2018届广西玉林市陆川中学高三期中考试数学（理）试题（解析版） 第 I卷(选择题，共 60分）一、选择题（本大题共 12个小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 ，故选 A2. 设为虚数单位，复数 ，则的共轭复数在复平面中对应的点在（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】D【解析】复数 ，则的共轭平面复数 在复平面中对应的点 在第四象限，故选 D.3. 已知向量 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 ,故选：C4. 已
2、知命题 ；命题 ；则下列命题为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意易知：命题 为假命题，命题 为真命题， 为真命题， 为假命题， 为真命题.故选：C5. 已知 ，且 为第二象限角，则 （ ）页 2 第A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，且 为第二象限角 ， 故选：D6. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ，过 的直线交椭圆 于 、 两点，若 的周长为 ，则椭圆 的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】 的周长为 ， 的周长 ，离心率为 ， 椭圆 的方程为 ，故选 A.7. 若 ， ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解
3、析】试题分析：用特殊值法，令 ， ， 得 ，选项 A 错误， ，选项 B 错误， ，选项 C 正确， ，选项 D 错误，故选 C【考点】指数函数与对数函数的性质【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.8. 九章算术中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？ ”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为 步和 步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A. B. C. D. 页 3 第【答案】D【解析】由题意可知：直角
4、三角向斜边长为 17，由等面积，可得内切圆的半径为：落在内切圆内的概率为 ，故落在圆外的概率为9. 已知 的三个内角 所对的边长分别是 ，且 ，若将函数 的图像向右平移 个单位长度，得到函数 的图像，则 的解析式为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由 ，利用正弦定理得： ，整理得： ，利用余弦定理：，则 ， ，将图象向右平移 个单位长度单位，得到，故选 D.【方法点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形图象的平移变换，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 除了直接利用两定理求边和角以外，恒等变形过程中，一般来说 ,当条件中同时出现 及
5、 、 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.10. 已知函数 在 处有极值 ，则 （ ）A. B. C. 或 D. 或【答案】A【解析】 ，若 在 处有极值 ，故 ，解得 ，故选 A.11. 一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）页 4 第A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可知：该几何体为三棱锥，其底面 ABC 为等边三角形，平面 SAB平面 ABC，.AB= ，SA=SB= ，在SAB 中， 设其外接圆半径为 r，易得： ，解得： ，ABC 的外接圆半径为
6、 1，取过 SC且垂直的截面， ， ，外接球半径为 点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.12. 设函数 ,若关于 的方程 恰好有六个不同的实数解,则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B页 5 第【解析】作出函数 的图象如图，令 ，则方程 化为 ，要使关于 的方程 ，恰好有六个不同的实数根，则方程 在 内有两个不同实数根， ，解得 实数的取值范围是 ，故选 B.【方法点睛】已知函数有
7、零点(方程有根) 求参数取值范围的三种常用的方法： (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解一是转化为两个函数 的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为 的交点个数的图象的交点个数问题 .二、填空题（本大题共 4小题,每小题 5分,共 20分）13. 已知 ，若在 上投影为 ，则 _.【答案】【解析】由题意可得， ，可得 在 上的投影是，故答案为 .【方法点睛】
8、本题主要考查向量坐标表示及平面向量数量积公式、平面向量的投影，属于中档题.平面向量数量积公式有两种形式，一是 ，二是 ，主要应用以下几个方面:(1) 求向量的夹角， （此时 往往用坐标形式求解） ；（ 2）求投影， 在 上的投影是 ；（3） 向量垂直则 ;(4)求向量 的模（平方后需求 ）.14. 函数 为奇函数， 则_.【答案】页 6 第【解析】由题意， ， ，可得 ，故答案为 .15. 已知 ，则 _.【答案】【解析】 ，等式两边同时除以，故答案为 .16. 已知 为常数，对任意 ,均有 恒成立.下列说法： 的周期 为 ；若 为常数）的 图像关于直线 对称，则 ；若 且 ，则必有 ；已知定
9、 义在 上的函数 对任意 均有 成立，且当 时， ；又函数为常数），若存在 使得 成立， 则的取值范围是 .其中说法正确的是_.（填写所有正确结论的编号）【答案】【解析】 对任意的 恒成立， ，解得 ， 不是周期为 的函数，故错误； 函数 为常数）的图象关于直线 对称 ， ，对于任意实数恒成立，化为对于任意实数恒成立， ，故正确； 由 ，得 或 ，又 ，且 ， ，故 正确；当 时，可得 定义在 上的函数 对任意 均有 成立， 是偶函数，当 时， ，可得 ，综上可得： 时， ，由函数 ，可得 存在 ，使得 成立， 只要，且 ，解得 且 ，因此 ，故正确，正确命题是： ，故答案为 .三、解答题(本
10、大题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17. 已知 .页 7 第（1）若 是等差数列，且 ，求 ；（2）若 是等比数列， ，求 .【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据 列出关于首项 、公差 的方程组，解方程组可得 与 的值，从而可得数列 的通项公式；（2）据题意列出关于首项 ，公比 的方程组，解得 、 的值，得到等比数列的通项公式，代入 ，由错位相减法求得 .试题解析：（1）设数列 的公差为 ，则 ，.（2）设数列 的公比为 ，则 ， ， -得，.18. 某互联网理财平台为增加平台活跃度决定举行邀请好友拿奖励活动，规则是每邀请一位好友在该平台
11、注册，并购买至少 1万元的 12月定期，邀请人可获得现金及红包奖励，现金奖励为被邀请人理财金额的，且每邀请一位最高现金奖励为 300元，红包奖励为每邀请一位奖励 50元假设甲邀请到乙、丙两人，且乙、丙两人同意在该平台注册，并进行理财，乙、丙两人分别购买 1万元、2 万元、3 万元的 12月定期的概率如下表：理财金额 万元 万元 万元乙理财相应金额的概率丙理财相应金额的概率页 8 第（1）求乙、丙理财金额之和不少于 5万元的概率；（2）若甲获得奖励为 元，求 的分布列与数学期望【答案】 （1） ；（2） .【解析】试题分析：（1）根据互斥事件的概率公式以及独立事件同时发生的概率公式，可以计算乙、
12、丙理财金额之和不少于 5 万元的概率值；（2）根据题意， 的所有可能取值 ，互斥事件的概率公式以及独立事件同时发生的概率公式计算对应的概率值，写出随机变量 的分布列，计算数学期望值.试题解析：(1)设乙、丙理财金额分别为 万元、 万元，则乙、丙理财金额之和不少于 5万元的概率为P( 5) P P P P P P .(2)X的所有可能的取值为 300，400，500，600，700.P P P ，P P P P( 2) P( 1) .P P P P( 3) P( 1) P P = ,P P P P( 3) P( 2) = ,P P( 3) P( 3) = .所以 X的分布列为X 300 400
13、500 600 700PE(X)300 400 500 600 700 .【方法点睛】本题主要考查互斥事件的概率公式以及独立事件同时发生的概率公式以及离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首项要理解问题的关键，其次要准确无误的随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.19. 如图所示， 与四边形 所在平面垂直，且 .页 9 第（1）求证： ；（2）若 为 的中点，设直线 与平面 所成角为，求 .【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】试题分析
14、：（1）由三角形全等即等腰三角形的性质可得 由线面垂直的性质可得 ，从而 平面 ，由此能证明 .（2）分别以 所在直线为 轴，过 且平行于 的直线为轴建立空间直角坐标系，求出平面 的一个法向量及直线 的方向向量，根据空间向量夹角余弦公式及同角三角函数之间的关系，可得结果.试题解析：(1)证明：由 PA平面 ABCD， AB AD，可得 PB PD，又 BC CD， PC PC，所以 PBC PDC，所以 PBC PDC.因为 PD DC，所以 PB BC.3分因为 PA平面 ABCD， BC平面 ABCD，所以 PA BC.又 PA PB P，所以 BC平面 PAB.因为 AB平面 PAB，所
15、以 AB BC.5分(2)由 BD BC CD， AB BC，可得 ABD30，又已知 AB AD， BD PA ，所以 AB1.如图所示，分别以 BC， BA所在直线为 x， y轴，过 B且平行于 PA的直线为 z轴建立空间直角坐标系，则 B(0，0，0)， P(0，1， )， C( ，0，0)， E（ ， ， ） ， D（ ， ，0） ，所以 （ ， ， )，( ， ， )， ( ， ，0).设平面 BDE的法向量 n( x， y， z)， 则 ,即 取 z2，得n(3， ，2)，页 10 第所以 sin .20. 已知椭圆 右顶点与右焦点的距离为 ，短轴长为 （1）求椭圆的方程；（2）过
16、左焦点 的直线与椭圆分别交于 两点，若三角形 的面积为 求直线 的方程.【答案】 （1） ；（2） 或 .【解析】 （1）由 ；（2）利用直线与椭圆的位置关系，研究三角形的面积，利用韦达定理求解直线的方程。解：（）由题意， -1 分解得 -2 分即：椭圆方程为 -4 分（）当直线 与 轴垂直时， ，此时 不符合题意故舍掉；当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为： ，代入消去 得： -5 分设 ，则 ，所以 -7 分原点到直线的 距离 ，页 11 第所以三角形的面积 由 ， -11 分所以直线 或 -12 分21. 已知函数 ，函数 的图像在点 处的切线平行于 轴（1）求函数 的极小值； （2
17、）设斜率为 的直线与函数 的图象交于两点 ，证明： 【答案】 （1） ；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）求出 的导数， 得到函数 的导数， 求出函数的解析式，利用导数研究函数的单调性，从而求出函数 的极小值；（2）表示出 ，问题转化为即证 ，令，即证 ，令 ，根据函数的单调性证明即可.试题解析：（1）依题意得 ，则，得函数 的定义域为 ，令 得 或函数 在 上单调递增，在 单调递减；在 上单调递增故函数 的极小值为.（2）依题意得 ， 令 则页 12 第由 得 ，当 时， ，当 时， ，在 单调递增，在 单调递减，又即 .请考生在 22、23 两题中任选一 题作答，如果多做，则按所做
18、的第一题记分选修 4-4:坐标系与参数方程22. 在平面直角坐标系 中，直 线过点 ，倾斜角为 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 (1)写出直线的参数方程和曲线 的直角坐标方程；(2)设直线与曲线 交于 两点，证明: 【答案】 （1） ；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）以为参数直接利用直线参数方程，利用两边同乘以 利用即可得曲线 的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，利用韦达定理、直线参数方程的几何意义可得结果. 试题解析：（1）直线 的参数方程为（ 为参数），曲线 的直角坐标方程为 .（2）设直线 与曲线 交于 两点所对应的参数为 ，则 ，即，而 .选修 45：不等式选讲23. 设 均为正数，且 ，证明：(1) ；(2) .【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析.页 13 第【解析】 （）由 ， ， 得：，由题设得 ，即，所以，即 .（）因为 ， ， ，所以 ，即 ，所以 .本题第（） （）两问，都可以由均值不等式,相加即得到.在应用均值不等式时,注意等号成立的条件:一正二定三相等.【考点定位】本小题主要考查不等式的证明,熟练基础知识是解答好本类题目的关键.
