1、一平面直角坐标系的建立 思考 :声响定位问题 某中心接到其正东 、 正西 、 正北方向三个观测点的报告：正西 、 正北两个观测点同时听到一声巨响 ， 正东观测点听到巨响的时间比其他两个观测点晚 4s， 已知各观测点到中心的距离都是 1020m， 试确定该巨响的位置 。 （ 假定当时声音传播的速度为 340m/s， 各相关点均在同一平面上 ） (2004年广东高考题 ) y x B A C P o 以接报中心为原点 O，以 BA方向为 x轴，建立直角坐标系 .设 A、 B、 C分别是西、东、北观测点， 设 P（ x,y） 为巨响为生点 ， 由 B、 C同时听到巨响声 ， 得 |PC|=|PB|，
2、 故 P在 BC的垂直平分线 PO上 ， PO的方程为 y= x， 因 A点比 B点晚 4s听到爆炸声 ， y x B A C P o 则 A(1020,0), B( 1020,0), C(0,1020) 故 |PA| |PB|=340 4=1360 由双曲线定义知 P点在以 A、 B为焦点的 双曲线 上 ， 12222byax)0(13405680340568010201020,6802222222222xyxacbca故双曲线方程为10680),5680,5680(,5680,5680POPyx故即答：巨响发生在接报中心的西偏北450距中心 处 . m10680用 y= x代入上式，得 ，
3、 |PA|PB|, 5680x解决此类应用题的关键： 1、建立平面直角坐标系 2、设点 （点与坐标的对应） 3、列式 （方程与坐标的对应） 4、化简 5、说明 坐 标 法 例 1.已知 ABC的三边 a,b,c满足 b2+c2=5a2,BE,CF分别为边 AC,CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探究 BE与 CF的位置关系。 (A) F B C E O y x 以 ABC的顶点为原点 ， 边 AB所在的直线 x轴，建立直角 坐标系，由已知，点 A、 B、 F的 坐标分别为 解： A ( 0, 0 ) , B ( c ,0 ) , F ( ,0 ). 2cC xy设 点 的 坐 标 为 (x
4、,y), 则 点 E 的 坐 标 为 （ ， ） .222 2 2 2 2 25 | | | | 5 | |b c a A C A B B C 由 ， 可 得 到 ，2 2 2 2 25 ( ) .x y c x c y 即 2 2 22 2 2 5 0 .x y c c x 整 理 得( , ) , ( , ) ,2 2 2x y cB E c C F x y 因 为2( ) ( ) 0 .2 2 2x c yB E C F c x 所 以因此， BE与 CF互相垂直 . 具体解答过程见书本 P4 你能建立不同的直角坐标系解决这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过程，建立直角坐标系应
5、注意什么问题？ 演 示 文 稿 1 2 3 后 等 催乳师通乳师培训学校 嵱吆夻 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系。 （ 1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； （ 2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； （ 3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。 二 .平面直角坐标系中的伸缩变换 思考： （ 1）怎样由正弦曲线 y=sinx得到曲线 y=sin2x? x O 2 y=sinx y=sin2x 在正弦曲线 y=sinx上任取一点 P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标 x缩为原来的 ，就得到正弦曲线 y=sin2x. 12上述的变换实质上就是一个坐标的压缩变换
6、，即： 设 P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点， 保持纵坐标不变，将横坐标 x缩为原来 ， 得到点 P(x,y).坐标对应关系为： 12x= x y=y 12 1 通常把 叫做平面直角坐标系中的一个压缩变换。 1 坐标对应关系为： （ 2）怎样由正弦曲线 y=sinx得到曲线 y=3sinx?写出其坐标变换。 设点 P（ x,y）经变换得到点为 P(x,y) x=x y=3y 2 通常把 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换。 2 在正弦曲线上任取一点 P（ x,y），保持横坐标 x不变，将纵坐标伸长为原来的 3倍，就得到曲线 y=3sinx。 （ 3）怎样由正弦曲线 y=sinx得到曲
7、线 y=3sin2x? 写出其坐标变换。 在正弦曲线 y=sinx上任取一点 P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标 x缩为原来的 ，在此基础上，将纵坐标变为原来的 3倍，就得到正弦曲线 y=3sin2x. 12设点 P（ x,y）经变换得到点为 P(x,y) x= x y=3y 12 3 通常把 叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸缩变换。 3 定义：设 P(x,y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 ( 0 ): ( 0 )xxyy的作用下，点 P(x,y)对应 P(x,y).称 为 平面直角坐标系中的伸缩变换 。 4 注 （ 1） （ 2）把图形看成点的运动轨迹，平面图形的伸缩变换可以用坐标
8、伸缩变换得到； （ 3）在伸缩变换下，平面直角坐标系不变，在同一直角坐标系下进行伸缩变换。 0 , 0练习： 1.在直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 x=x y=3y 后的图形。 （ 1） 2x+3y=0; (2)x2+y2=1 2.在同一直角坐标系下，求满足下列图形的伸缩变换：曲线 4x2+9y2=36变为曲线 x2+y2=1 3.在同一直角坐标系下，经过伸缩变 换 后， 曲线 C变为 x2 9y2 =1，求曲线 C的方程并画出图形。 x=3x y=y 思考：在伸缩 下，椭圆是否可以变成圆？抛物线，双曲线变成什么曲线？ 4 课堂小结： （ 1）体会坐标法的思想，应用坐标法解决几何问题； （ 2）掌握平面直角坐标系中的伸缩变换。 作业： P8 1, 4, 5 预习： 极坐标系（书本 P9-P11）
