2018年河南省林州市第一中学高三12月调研考试数学（理）试题.doc

1、页 1 第2018 届河南省林州市第一中学高三 12 月调研考试数学（理）试题（解析版）一、单选题（每题 5 分，共 60 分）1. 已知集合 ，则满足 的集合 的个数是（ ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 8【答案】C【解析】由题意可得结合 ，其中集合 是集合 的子集，利用子集个数公式可得：集合 的个数是 个.本题选择 C 选项.2. “ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 “ ”能推出“ ”，反过来， “ ”不能推出“ ”，因为 ，所以是充分不必要条件，故选 A.3. 已知点 在角 的终边上，且 ，则

2、 的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意可得 ，可得 ，解得 或 （舍去），可得 ，可得 ，故选 .4. 已知函数 ，则 的值为（ ）A. 6 B. 12 C. 24 D. 36【答案】C页 2 第【解析】 ， ， ， ， 选 C。5. 已知曲线 ，则曲线在点 P(2,4)的切线方程为( )A. 4xy40 B. xy20 C. 2xy 0 D. 4xy80【答案】A【解析】由题意可得： ，则： ，据此可得切线方程为： ，整理成一般式为： .本题选择 A 选项.6. 上的偶函数 满足 ，当 时， ，则 的零点个数为（ ）A. 4 B. 8 C. 5 D. 10【答案】C【

3、解析】 ， ，故函数的周期 T=2。0x1 时 ，且 是 R 上的偶函数，1x1 时， ， 令 ，画出函数 的图象，如下图所示：由图象得函数 和 的交点有 5 个，函数 的零点个数为 5 个。选 C点睛：对于判断函数零点个数的问题，常转化为两函数图象的公共点的个数的问题处理，解题时要合理构页 3 第造出两个函数，然后在同一坐标系中画出两个函数的图象，通过观察两图象公共点的个数确定函数零点的个数。此类问题往往要用到函数的奇偶性、周期性等性质。7. 为了得到 ，只需将 作如下变换（ ）A. 向右平移 个单位 B. 向右平移 个单位C. 向左平移 个单位 D. 向右平移 个单位【答案】C【解析】试题

4、分析：因为 ，所以只需将 的图象向左平移个单位即可得到函数 的图象，故选 C.考点：图象平移变换.8. 已知数列 的前 项和为 ，若 ，且 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】当 时，得 ，即 ，由 可知： ，两式相减可得，即 ，故数列 是从第二项起以 2 为公比的等比数列，则，故选 C.9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是如下图所示的组合体，其体积页 4 第，故选 A.考点：1.三视图；2.多面体的体积.10. 已知平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 P 在COD 的

5、内部（不含边界） 若 ,则实数对（x，y）可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图所示，在平行四边形 ABCD 中，点 P 在COD 的内部（不含边界） ，且 。所以，当点 P 在 OD 上时， ，是最小值；当点 P 在点 C 处时， ，是最大值。所以 的取值范围为 。故选 D。11. 过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，分别过 、 两点作准线的垂线，垂足分别为 ， 两点，以线段 为直径的圆 过点 ，则圆 的方程为（ ）A. B. C. D. 页 5 第【答案】B【解析】试题分析：如图，由抛物线定义可知 ，故 ，又 轴， ，从而 ，同理可证得 ，所以以线段 为直径的

6、圆 过点 ，又根据抛物线的性质可知直线 与圆 相切，且切点为焦点 ,设 的中点为 ，设直线 的方程 ，所以，又以线段 为直径的圆 过点 ，设 ，则 的中点为 ，所以，所以 ，即 ，所以圆心 ，所以半径为 ，所以圆 的方程为 ，故选 B.考点：直线与抛物线的性质.【思路点睛】首先根据抛物线的性质，可以证明以线段 为直径的圆 过点 ，又根据抛物线的性质可知直线 与圆 相切，且切点为焦点 ,设 的中点为 ，设直线 的方程 ，所以 ，又以线段 为直径的圆 过点 ，设 ，则 的中点为 ，所以，所以 ，得 ，所以圆心 ，所以半径为 ，再根据选项即可求出结果.12. 已知函数 的图象上存在点 .函数 的图象

7、上存在点 ，且 关于原点对称，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题知 有解，令 ， ，故函数在 递减，在 递增，所以 ，解得 .页 6 第点睛：本题主要考查图像的对称性，考查函数导数与单调区间、极值的求解.题目论述两个函数图像上存在点 关于原点对称，即其中一个函数对称之后和另一个函数有交点，将分离常数后利用导数，即可求得的取值范围.在利用导数求单调区间的过程中，要注意定义域的范围.二、填空题（每题 5 分，共 20 分）13. 圆： 上的点到直线 的距离最大值是_【答案】【解析】设圆心(1,1)到直线 x-y=2 的距离为 d,则圆上的点到直线 x-y=2 的距离

8、的最大值等于 d+r,即.14. 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则不等式 的解集是_【答案】 （2，0）（2，+）【解析】由题意得，原不等式等价于 或 ，即 或解得 或 ，所以不等式的解集是 。答案：15. 已知正数 满足 的最小值是_【答案】【解析】因为 ，所以由题设只要求 的最大值即可。画出不等式组表示的区域如图，结合图形可以看出当动直线 经过点 时， 在 上的截距最大，且 ， ，应填答案 。页 7 第点睛：本题旨在考查等价化归与转化的数学思想、数形结合思想的综合运用，求解时准确画出不等式组表示的区域是解答本题的关键，依据题设进行转化是求解本题的核心，借助图形的直观进行分析求

9、解，从而使得问题简捷、巧妙 获解。16. 三棱锥 的三条棱 ， ， 两两互相垂直，且 ， ， 的长分别为 2， ， ，则三棱锥 的外接球的体积为 _【答案】【解析】该三棱锥是长、宽、高分别为 的长方体的一部分，故该长方体的外接球也是该三棱锥的外接球，设该外接球的半径为 R，则 ，所以 ，所以该外接球的体积为 .三、解答题（共 70 分）17. 在锐角 中，内角 的对边分别是 ，且 .（1）求 ；页 8 第（2）设 ， 的面积为 2，求 的值.【答案】 （1）30；（2） 【解析】 【试题分析】 （1）先运用余弦二倍角公式将 ，化为 ，即，也即 ，进而求出 ，借助 为锐角三角形求得 ；（2）依据

10、题设 及余弦定理 建立方程组，即联立 与 ，求出：解：（1）因为 ，所以 ，所以 ，所以又因为 为锐角三角形，所以 ，所以（2）因为 ，所以又因为 ，所以 ，所以 ，故18. 已知正项数列 满足： ， （1）求通项 ；（2）若数列 满足 ，求数列 的前 和.【答案】 （1） ；（2）【解析】试题分析：（1）将所给式子两边取倒数得 ，可得数列 是等差数列，所以，故可得 。（2）由（1）及条件可得 = ，所以求和时先分组，然后对求和时再用错位相减法求和，最后得 。试题解析：页 9 第（1） ， ，即 ，又 ，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列。 ， .（2）由（1）可得 ，= .= 令 ,则 ，

11、-得，页 10 第.点睛：（1）本题求数列通项公式时用到了对递推关系式两边取倒数的方法，对于求通项公式的问题，要根据所给条件的特征合理选择求解的方法。（2）在本题中求和时先用了分组求和的方法，然后再用到错位相减求和。在错位相减求和中要注意数列通项的特点，当公比为参数时要注意对公比 是否为 1 进行讨论，另外错位相减中的运算量较大，解题时一定要细心。19. 如图，四棱锥 的底面 是平行四边形， 底面 ， ， ， ，.（1）求证：平面 平面 ；（2） 是侧棱 上一点，记 （ ） ，是否存在实数，使平面 与平面 所成的二面角为 ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析,(2)

12、存在 ，使平面 与平面 所成的二面角为 【解析】试题分析：以 A 为原点，分别以 AD，AC，AP 所在直线为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系求得A（0，0，0） ，D（2，0，0） ，P（0，0，3） ，B（2， ，0） 设 E（x，y，z） ，由 =，得E（2， ，33） 求出平面 ADE 与平面 ADP 的一个法向量，结合题意可得 = 说明存在实数 ，使平面 ADE 与平面 PAD 所成的二面角为 60（）证明：由已知，得 ， ， ，又 ， 页 11 第又 底面 ， 平面 ，则 ， 平面 ， 平面 ，且 ， 平面 平面 ，平面 平面 （）解：以 为坐标原点，过点 作垂直于 的直线为 轴

13、， 所在直线分别为 轴，轴建立空间直角坐标系 ，如图 3 所示则 ，因为在平行四边形 中， ，则 ， 又 ，知 设平面 的法向量为 ，则 即取 ，则 设平面 的法向量为 ，则 即取 ，则 若平面 与平面 所成的二面角为 ，则 ，即 ，化简得 ，即 ，页 12 第解得 （舍去）或 于是，存在 ，使平面 与平面 所成的二面角为 点睛：本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角；20. 设函数 （1 ）讨论函数 的单调性；（2 ）若 ，求函数 的最值【答案】 （1）详见解析；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）先求导，分类讨论即可求出函数的单调

14、区间；（2）求导，根据导数和函数的最值得关系即可求出，注意分类讨论试题解析：（1） ，令 ，得 ，若 ，则 恒成立，所以函数 在 上单调递增；若 ，则由 ，得 ；由 ，得 ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；若 ，则由 ，得 ；由 ，得 ，所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；若 ，则 恒成立，所以函数 在 上单调递减.（2）若 ，当 时， ，由（1）得，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故 时，函数 有最大值 ，无最小值；当 时， ，由（1）得，函数 在 上单调递增，在 上单调递减，故 时，函数 有最小值 ，无最大值.21. 已知椭圆 上的点到两个焦点的距离之和为 ，短轴长为

15、 ，直线与椭圆 C 交于 M、N两点。（1）求椭圆 C 的方程； 页 13 第（2）若直线与圆 相切，证明： 为定值【答案】 （1） （2）详见解析【解析】试题分析：试题解析：（1）由题意得椭圆 C 的方程为 （2）当直线的斜率不存在时，因为直线与圆相切，所以直线方程为 。当 时，可得 M、N 两点坐标分别为 ，当 时，同理可得 ； 当的斜率存在时，设 ，由题意得 ， 由 消去 y 整理得直线与圆相交，设 ，页 14 第则 ， ， = 综上 （定值） 。点睛：直线与圆的综合问题的求解策略（1）利用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决，解

16、题中要注意“设而不求” 、 “整体代换”等方法的运用。（2）直线与圆和平面几何联系十分紧密，解题时可考虑平面几何知识的运用，如在直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放到一起综合考虑。22. 已知数列 满足 ，且对任意非负整数 均有： （1）求 ；（2）求证：数列 是等差数列，并求 的通项；（3）令 ，求证：【答案】 （1） ， ；（2） ；（3）证明见解析【解析】试题分析：（1）对 m、n 赋值，想方设法将条件变出 .为了得到 ，显然令 m=n 即可.为了得到 ，令 m=1，n0 即可.（2 ）首先要想办法得相邻两项（三项也可）间的递推关系.要证数列 是等差数列，只需证明 为常数即可.（3 ）数列中有关和的不等式的证明一般有以下两种方向，一是先求和后放缩，二是先放缩后求和.在本题中，易得 ，这是典型的用裂项法求和的题.故先求出和来，然后再用放缩法证明不等式.试题解析：（1）令 得 ， 1 分令 ，得 ， 3 分页 15 第（2 ）令 ，得： ，又 ，数列 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列. 9 分（3 ） 13 分考点：1、递推数列；2、等差数列；3、不等式的证明.