1、北大附中 2012 届高考数学满分突破专题训练：空间几何体I 卷一、选择题1某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 2B 31C 41D 61【答案】A2如图 1215，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 为正方形，且 PD 垂直于底面 ABCD， ，则三棱13锥 P ANC 与四棱锥 P ABCD 的体积比为( )A12 B13 C16 D18【答案】C3正方形 ABCD 的边长为 2，点 E、 F 分别在边 AB、 BC 上，且 AE1， BF ，将此正方形沿12DE、 DF 折起，使点 A、 C 重合于点 P，则三棱锥 P DEF 的体积为( )A B13 56C D2
2、39 23【答案】B4一个与球心距离为 1 的平面截球所得的圆面面积为 4，则球的表面积为( )A5 B17 C20 D68【答案】C5下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（ ）A B C D【答案】C 解析：的三个视图都相同；的主视图与左视图相同，与俯视图不同；的三个视图互不相同；的主视图与左视图相同，而与俯视图不同。6已知三个平面 、 、 ，若 ，且 与 相交但不垂直， a， b 分别为 ， 内的直线，则( )A a ， a B a ， a C b ， b D b ， b 【答案】B7在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱
3、和高作截面，正确的截面图形是 ( ）【答案】B8某简单几何体的一条对角线长为 a，在该几何体的正视图、侧视图与俯视图中，这条对角线的投影都是长为 的线段，则 a 等于( )2A B 2 3C1 D2【答案】B9 如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A 4 B 8 C 16 D 20【 答 案 】 C【解析】由三视图我们易判断这个几何体是四棱锥，由左视图和俯视图我们易该棱锥底面的长和宽，及棱锥的高，代入棱锥体积公式即可得到答案解：由三视图我们易判断这个几何体是一个四棱锥，又由侧视图我们易判断四棱锥底面的宽为 2，棱锥的高为 4由俯视图我们易判断四棱锥的长为 4 代入棱锥的体积公式
4、，我们易得V=13624=16故答案为：1610一几何体的三视图如图，其中侧（左）视图和俯视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形，正（主）视图为直角梯形，则此几何体体积的大小为（ ）A12 B16 C48 D64【答案】B11已知六棱锥 PCDEF的底面是正六边形，平面 .则下列结论不正确的是（ ）A /CD平面 PFB 平面C 平面 BD 平面【答案】D12设长方体的长、宽、高分别为 a2、 、 ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A 23aB 6C 21aD 24a【答案】B13图 124 是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4，腰长为 4 的等腰
5、梯形，则该几何体的侧面积是( )A6 B8 C12 D24【答案】C14设球的体积为 V1，它的内接正方体的体积为 V2，下列说法中最合适的是( )A V1比 V2大约多一半 B V1比 V2大约多两倍半C V1比 V2大约多一倍 D V1比 V2大约多一倍半【答案】DII 卷二、填空题15一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为 .【答案】 1416已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为 1、 2、 3，则这个长方体的外接球的表面积为 . 【答案】17如下图所示，E、F 分别为正方体的面 ADD1A1、面 BCC1B1的中心，则四边形 BFD1E 在该正
6、方体的面上的射影可能是下图的 (要求：把可能的图的序号都填上）.【答案】18有一棱长为 a 的正方体骨架，其内放置一气球，使其充气且尽可能地大(仍保持为球的形状)，则气球表面积的最大值为_【答案】2 a219直三棱柱 ABC A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若 AB AC AA12， BAC120，则此球的表面积等于_【答案】2020 如图是一个由三根细铁杆组成的支架，三根细铁杆的两夹角都是 60，一个半径为 1 的球放在该支架上，则球心到 P 的距离为_【答案】 3三、解答题21如图，在多面体 ABCDE 中， AE面 BC， AED/，且 1AEBC，,2BDF为 C中点。(）求证：
7、E平面 BD；(）求多面体 ABCDE 的体积；(）求平面 ECD 和平面 ACB 所成的锐二面角的余弦值。【答案】 （）找 BC 中点 G 点，连接 AG，FGF，G 分别为 DC，BC 中点FG EADB/21四边形 EFGA 为平行四边形 F/AE C/,平 面 AB平 面又 D平 面平面 ABC 平面 BCD又G 为 BC 中点且 AC=AB=BCAG BCAG 平面 BCDEF 平面 BCD(）过作 C 作 CH AB，则 CH平面 ABDE 且 23CH 412)(331CSVABDEABDE四 边 形(）以 H 为原点建立如图所示的空间直角坐标系则 3133131c(,0)E(,
8、),F(,1)ED(,),CF(,)22424设平面 CEF 的法向量为 n(x,yz)，由31CEn02Fxyz4得 n(3,1)平面 ABC 的法向量为 u(0,1)则 n5cos(,u)|平面角 ECD 和平面 ACB 所成的锐二面角的余弦值为 522如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形，直线 l 与平面 ABCD 平行， E 和 F 是 l 上的两个不同点，且 EA ED， FB FC.E和 F是平面 ABCD 内的两点， EE和 FF都与平面 ABCD垂直(1)证明：直线 E F垂直且平分线段 AD；(2)若 EAD EAB60， EF2，求多面体 ABCDEF 的体积【答
9、案】(1) EA ED 且 EE平面 ABCD， E D E A，点 E在线段 AD 的垂直平分线上同理，点 F在线段 BC 的垂直平分线上又四边形 ABCD 是正方形，线段 BC 的垂直平分线也就是线段 AD 的垂直平分线，即点 E、 F都在线段 AD 的垂直平分线上直线 E F垂直且平分线段 AD.(2) 如图，连结 EB、 EC，由题意知多面体 ABCDEF 可分割成正四棱锥 E ABCD 和正四面体E BCF两部分设 AD 的中点为 M，在 Rt MEE中，由于 ME1， ME ， EE 3 2 VE ABCD S 正方形 ABCDEE13 22 13 2 423又 VE BCF VC
10、 BEF VC BEA VE ABC S ABCEE13 22 ，13 12 2 223多面体 ABCDEF 的体积为 VE ABCD VE BCF2 223已知如图几何体，正方形 ABD和矩形 F所在平面互相垂直, ADBF2,M为 AF的中点, N。(）求证: BDMCF平 面/；(）求二面角 N 的大小。【答案】 （I）连结 AC交 BD于 O,连结 M因为 M为 F中点， 为 中点,所以 /,又因为 O平 面,所以 BC平 面/; (II)因为正方形 AD和矩形 EF所在平面互相垂直,所以 F平 面以 为原点，以 ,为 zyx,轴建立空间直角坐标系，如图取 AB=1)0,1(C, ),
11、(M, )01(B, ),(D, )52,14(N设平面 D的法向量为 p = (x ,y , z ), 0BMpD )1,(p 设平面 N的法向量为 q = (x ,y , z ), 0q)2,1(的 夹 角 为与p0|cosq所以二面角 NBDM 的大小为 90。 24如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PD底面 ABCD，M、N 分别为 PA、BC 的中点，且 PD=AD 2,C1.(I）求证：MN/平面 PCD；(II）求证：平面 PAC平面 PBD；【答案】 （1）取 AD 中点 E，连接 ME，NE. 由已知 M，N 分别是 PA，BC 的中点.ME/PD，N
12、E/CD又 ME， E平面 MNE. EN.所以，平面 MNE/平面 PCD.MN 平面 MNE所以，MN/平面 PCD(）因为四边形 ABCD 为正方形.所以 ACBD.又 PD平面 ABCD.AC平面 ABCD 所以 PDAC.又 BDPD=D.所以 AC平面 PBD.AC 平面 PAC所以平面 PAC平面 PBD25直四棱柱 1DCBA中，底面 AB是等腰梯形， CDAB/，22AB， E为 的中点， F为 中点(1) 求证： 1/ADEF；(2) 若 21B，求 与平面 EF所成角的大小【答案】 (1)连结 AD1，在 ABD1中 E 是 BD1的中点， F 是 BA 中点， EF/ AD112又 EF平面 ADD1A1， AD1平面 ADD1A1 EF平面 ADD1A1.(2)解法 1：延长 D1A1至 H，使 A1H D1A1，延长 DA 至 G，使 AG DA，并连结 HG 和 A1G，则A1G D1A EF A1G平面 DEF， A1到平面 DEF 的距离等于 G 到平面 DEF 的距离，设为 x由题意可得， DF BC AD1，连 DB，在 Rt D1DB 中， DE D1B12又 DB ，且 DD1 ，322 DE ，12 12 3 144又 EF AD1 ，12 121 12 64在 DEF 中，由余弦定理得：
