1、2.5.1一、选择题1等比数列a n中，已知前 4 项之和为 1，前 8 项和为 17，则此等比数列的公比 q 为( )A2 B2C2 或2 D2 或1答案 C解析 S 41，S 8S 4q 4S41q 417q2.2若数列a n由 a12，a a1 a n2n(n1) 确定，则 a100 的值是( )A9900 B9902 C9904 D10100答案 B解析 a 12，a n1 a n2n，a 100(a 100a 99)(a 99a 98)(a 98a 97)( a2a 1)a 12992982972 129902.点评 常将 an表达为 an(a na n1 )(a n1 a n2 )
2、(a 2a 1)a 1 及 an anan 1 a1 分别称为累加法和累乘法an 1an 2an 2an 3 a2a1形如 an1 a nf(n)( f(n)是 n 的函数)的数列求通项 an常用累加法形如 f(n) 的an 1an简单数列求通项 an常用累乘法3设数列a n的通项 an(1) n1 n，前 n 项和为 Sn，则 S2010_.( )A2010 B1005 C2010 D1005答案 B解析 S 20101( 2)3(4)2009( 2010)( 1) 1005.201024在各项为正数的等比数列中，若 a5a 4576，a 2a 19，则 a1a 2a 3a 4a 5 的值是
3、( )A1 061 B1 023C1 024 D268答案 B解析 由 a4(q1)576，a 1(q1)9 q 364，q4，a 13，a4a1a 1a 2a 3a 4a 5 1 023.345 14 15若等比数列a n的前 n 项之和 Sn3 na，则 a 等于( )A4 B2 C0 D1答案 D解析 a 1S 13a，a 2S 2S 13 236，a3S 3S 23 33 218，由 a1a3a 22 得，a1.6(2010辽宁理，6)设a n是由正数组成的等比数列，S n为其前 n 项和，已知a2a41，S 37，则 S5( )A. B. 152 314C. D.334 172答案
4、B解析 a n是正数组成的等比数列，a 3 1，又 S37，Error!，消去 a1 得，a2a47，解之得 q ，a 14，S 5 .q2 q 1q2 124(1 125)1 12 3147已知等比数列前 20 项和是 21，前 30 项和是 49，则前 10 项和是( )A7 B9 C63 D7 或 63答案 D解析 由 S10，S 20S 10，S 30S 20 成等比数列，(S 20S 10)2S 10(S30S 20)即(21S 10)2S 10(4921)S 107 或 638数列 7,77,777,7777， ，的前 n 项和为( )A. (10n1) B. (10n1)79 7
5、09C. (10n1) 1 D. (10n1)n79109 79109答案 D解析 (10n1)，故前 n 项和为79Sn (101) (1021) (10n1)79 79 79 (1010 210 n)n79 (10n1)n791099(2010浙江理，3)设 Sn为等比数列 an的前 n 项和，8a 2a 50，则 ( )S5S2A11 B5 C8 D11答案 D解析 a n为等比数列，且 8a2a 50，8a 2a 2q30，a 20， q38，q2， 11，故选 D.S5S2a11 q51 qa11 q21 q 1 q51 q2 1 251 22 33 310若等比数列a n对于一切自
6、然数 n 都有 an1 1 Sn，其中 Sn是此数列的前 n 项和，23又 a11，则其公比 q 为( )A1 B 23C. D13 13答案 C解析 a n1 1 Sn，n2 时，a n1 Sn123 23相减得：a n1 a n an， .23 an 1an 13二、填空题11(2011宁夏银川一中高二期中) 数列a n的前 n 项和 Snlog 0.1(1n) ，则a10a 11a 99_.答案 1解析 a 10a 11a 99S 99S 9log 0.1100log 0.1102(1) 1.12(2009全国)设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，若 a11，S 64S 3，则a4_
7、.答案 3解析 若 q1 时，S 33a 1，S 66a 1，显然 S64S 3，故 q1， 4 ，1q 34，q 33.a11 q61 q a11 q31 qa 4a 1q33.13设等比数列a n的公比 q ，前 n 项和为 Sn，则 _.12 S4a4答案 15解析 设数列 an的首项为 a1，则 S4 a1，a 4a 1( )3 a1，a11 1241 12 158 12 18 15.S4a4158a118a1*14.等比数列a n的前 n 项的乘积为 Tn，若 Tn1，T 2n2，则 T3n_.答案 8解析 T na 1a2an，T2na 1a2anan1 a2nT n2(qn)nT
8、 n2qn2，T3na 1a2a3na 1a2a2na2n1 a3nT 2nTn(q2n)nT n3q3n2T n1，T 2n2T 3n8.点评 注意等比数列性质的应用设 A1a 1a2anA2a n1 an2 a2nA3a 2n1 a2n1 a3n由等比数列性质知，A 1，A 2，A 3 成等比数列，由条件知 A1T n1，A 2 2，T2nTn公比 q2，A 3A 2q4，T 3nT 2nA38.三、解答题15无穷数列a n(nN *)是由正数组成的等差数列，并且 a35，a 4(a1a 2)28，b npa n1 (p 为非零实常数 )(1)求通项 an；(2)求 b1b 2b n(nN
9、 *)解析 (1)Error!Error! 或Error!，a n0.a n2n1(2)bnpa n1 p 2n1 p 2，bn 1bnb n是首项为 p3 公比为 p2 的等比数列当 p21 即 p1 时，b 1b 2b nnp，当 p21 即 p1 时，b 1b 2b np31 p2n1 p2b 1b 2b nError!16在等比数列a n中，a 1a n66，a 2an1 128，且前 n 项和 Sn126，求 n 及公比q.解析 a 1ana 2an1 128，又 a1a n66，a 1、a n是方程 x266x1280 的两根，解方程得 x12 ，x 264， a12，a n64
10、或 a164，a n2，显然 q1.若 a12，a n64，由 126 得 264q126126q，q2，由 ana 1qn1 得a1 anq1 q2n1 32，n6.若 a164，a n2，同理可求得 q ，n6.12综上所述，n 的值为 6，公比 q2 或 .1217(20102011醴陵二中、四中高二期中联考)设 a12，a 24，数列b n满足：bna n1 a n，b n1 2b n2.(1)求证数列b n2是等比数列( 要指出首项与公比)；(2)求数列a n的通项公式解析 (1)b n1 2b n2，b n1 22(b n2) ， 2，bn 1 2bn 2又 b12a 2a 124
11、，数列b n2是首项为 4，公比为 2 的等比数列(2)由(1)知，b n242 n1 ，b n2 n1 2，a na n1 2 n2，令 n1,2，(n1)，累加得，a n2(2 22 32 n)2( n1)，a n(22 22 32 n)2n2 2n22 n1 2n.22n 12 118某企业 2003 年的纯利润为 500 万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降若不进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少 20 万元今年初该企业一次性投入资金 600 万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第 n 年(今年为第一年)的利润为 500(1 )万元( n 为正整
12、数)12n(1)设从今年起的前 n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为 An万元，进行技术改造后的累计纯利润为 Bn万元( 需扣除技术改造资金) ，求 An、B n的表达式；(2)依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？解析 (1)依题设，A n(50020) (50040) (500 20n)490n10n 2；Bn500(1 )(1 ) (1 )600500n 100.12 122 12n 5002n(2)Bn An(500n 100)(490n10n 2)5002n10n 210n 10010n( n1) 10 5002n 502n因为函数 yx(x 1) 10 在(0，) 上为增函数，502x当 1n3 时，n(n1) 1012 100.502n 5016仅当 n4 时，B nAn.答：至少经过 4 年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润高考试题$库
