1、 2.5 等比数列的前 n 项和（第 1 课时）一、教学目标1.知识与技能：来源: 1）掌握等比数列前 n 项和公式及其获取思路；2）会用等比数列的前 n 项和公式解决一些简单的与前 n 项和有关的问题.2.过程与方法：通过公式的推导和公式的运用，用方程的思想和基本元的思想方法进行相关计算.3.情感、态度与价值观：在应用数列知识解决问题的过程中，要勇于探索，积极进取，激发学生学习数学的热情和刻苦求是的精神.二、教学重点和难点重点：等比数列 n 项和公式的理解、推导及应用；难点：灵活应用等比数列前 n 项和公式解决一些简单的有关问题.三、教学方法讨论式，讲练结合四、教学过程（一）创设情景，导入课
2、题课本 P55“国王对国际象棋的发明者的奖励”问题：求和如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是 2，求第一个格子到第 64 个格子各格所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前 64 项的和. 下面我们先来推导等比数列的前 n 项和公式.（二）师生互动，探究新知1等比数列的前 项和公式的推导n方法一：一般地，设等比数列 它的前 n 项和是 na,321来源:nSa1由 132nnq得 nnn qaqaSa1131212nq)(当 时， 或 1qSnn1)( qSnn1?221633当 q=1 时， 1naS方法二：由等比数列的定义，得 qan1231
3、根据等比数列的性质，有 Sann11213 即 （结论同上）qaSn1qSnn1)(围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比定理，导出了公式方法三：nSnaa321 )(1321naq nq)(1S（结论同上）n)(结论： 等比数列的前 n 项和公式：当 时， 或 1qqaSn1)( qaSnn1当 q=1 时， n当已知 , q, n 时用公式；当已知 , q, 时，用公式 . 来源:1a1an问题解决：有了等比数列的前 n 项和公式，就可以解决刚才国王的麦粒问题.由 可得1,264q= = .()nnaS(1)6421这个数很大，超过了 . 假定千粒麦子的质量为 40g,那么麦粒的总质
4、64219.80量超过了 7000 亿吨. 所以国王是不可能同意发明者的要求，国王不能实现他的诺言.反思：由 求 ：nSa由 的定义可知，当 n=1 时， = ；当 n2 时， = - ，1SanaS1n即 = .na)2(1n(三) 公式应用解: (1)由 n=8，得例 2. 某商场今年销售计算机 5000 台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到 30000 台 (结果保留到个位)？解答：见 P56-57例 3：见 P57-58课堂练习：P58. 练习 1，2，3（四）小结1.等比数列的前 项和公式及其推导：n等比数列求和公式：当 q=1 时
5、， 1naS当 时， 或1qqaSnn1qn)(2. Sn 与 之间的关系：即 = .an)2(1Sn3. 思想方法. 如基本元思想方法，方程思想方法，函数思想方法等.（五）作业习题 P61-62. A 组 1,2,3.B 组 1,2第课时一、教学目标1.知识与技能：1）熟练掌握等差数列、等比数列前 n 项和公式及其推导方法；0243172,8189qa，）（ ）（ 项 的 和、 求 下 列 等 比 数 列 的 前例 ,1,212188S2568 891 743,2,72qa可 得由2）会求一些简单的等差数列和等比数列变形产生的新数列的前 n 项和.2.过程与方法：观察、归纳总结一些简单常见的
6、数列的求和方法，体验分解与组合思想方法.3.情感、态度与价值观：体会数列的公式的抽象美，对称美，感受数列求和方法的巧妙.二、教学重点和难点重点：常见数列的前 n 项和的求法；难点：常见数列前 n 项和的一般求法.三、教学方法讨论式，讲练结合四、教学过程（一）创设情景，导入课题师：前面我们学习了等差数列、等比数列前 n 项和公式，请同学们再回顾这些公式及其推导求法.生：等差数列的前 n 项和公式用倒序相加法，等比数列的前 n 项和公式用错项相减法.师：在实际计算中我们还会遇到由等差数列和等比数列构成的数列或者其它数列，也会有求和问题，下面就一些常见的数列的前 n 项和公式的求法进行探究.（二）师
7、生互动，探究新知思考：一般地，求数列前n项和 的方法有哪些？nS1. 等差数列的逆序相加法略2. 等比数列的错项相减法例1.求和分析：这是形如a nbn的前n项和，其中a n是等差数列，b n是等比数列.求和方法适宜用错项相减法. 错项相减法求和步骤为：在求和等式的两边乘以等比数列的公比，错位相减，再化简即可.3. 混合数列的分组求和法例2.求和：分析：本题适合分解重新组合求和法.例3求和：4. 拆项合并法或裂项相消法例4.求和分析：由于 本题适合用裂项相消法.解:来源: ).1,0)(1()1()(2 yxyxyxn )(,()()2aaSnn )2(1541321nn 23135(21)3
8、S)(1nan5. 数列求和的应用问题举例例 5、某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，1997 年该乡从甲企业获得利润 320 万元，从乙企业获得利润 720 万元.以后每年上交的利润是：甲企业以 1.5 倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的 . 根据测算，该乡从两个企业获得32的利润达到 2000 万元可以解决温饱问题，达到 8100 万元可以达到小康水平.（1）若以 1997 年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？（2）试估算 2005 年底该乡能否达到小康水平？ 为什么？分析：本题是考虑该乡从两个企
9、业中获得利润问题. 该乡从两个企业中获得的总利润=甲上缴利润+乙上缴利润.解略（三）课堂练习1.求和：2. 陈老师购买安居工程集资房 92m2， 单价为 1000 元/m2，一次性国家财政补贴 28800元，学校补贴 14400 元，余款由个人负担，房地产开发公司对教师实行分期付款，每期一年，等额付款， 计签购房合同后一年付款一次，再经过一年又付款一次，等等，共付 10 次，10年后付清.如果按年利率 7.5%，每年按复利计算，那么每年应付款多少元？(计算结果精确到百元，其中 1.075 91.921 ，1.075 102.065， 1.075 112.221)（四）小结1. 常见数列的前 n 项和的求法2. 数列前 n 项和的实际应用问题（五）作业习题 P61-62. A 组 4,5,6.B 组 3,4,5111()()()()2345nS n 2()nn283421Sn
