1、教学目标：理解并掌握复合函数的求导法则.教学重点：复合函数的求导方法:复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积.教学难点：正确分解复合函数的复合过程,做到不漏,不重,熟练,正确.一、创设情景(一)基本初等函数的导数公式表(二)导数的运算法则推论: (常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数)()cfxf二、新课讲授1.复合函数的概念一般地,对于两个函数 和 ,如果通过变量 , 可以表示成 的函数,那()yfu()gxuyx么称这个函数为函数 和 的复合函数,记作 .()fg2.复合函数的导数复合函数 的导数和函数 和 的导数间的关系为 ,即()yfg
2、x()yfu()gxxuxy对 的导数等于 对 的导数与 对 的导数的乘积.xux若 ,则()f()()ff 三、典例分析例 1 求下列函数的导数:(1) 2(3)yx(2) 0.51e(3) (其中 均为常数)sin,解: (1)函数 可以看作函数 和 的复合函数2)2yu3x根据复合函数求导法则有=xux2()4812u(2)函数 可以看作函数 和 的复合函数0.51xyeuye0.5x根据复合函数求导法则有=xuxy 0.51().1).u uxe(3)函数 可以看作函数 和 的复合函数sin()ysinyx根据复合函数求导法则有= xuxy (i)s()xco例 2 求 的导数.2si
3、(ta)y解: 22ncostanect() 2cs()exx点评: 求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外层向内层逐层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.例 3 求 的导数.2xay解: 2 21()xax，2222()aaxx()y点评: 本题练习商的导数和复合函数的导数,求导数后要予以化简整理.例 4 求 的导数.x44cossin解法一: xxxy 2sin1cosin2)cos(in22 xx4cos13)4cos1(yin解法二: )(cos)(in)()(s 3344 xxxsi2cosinii23点评: 解法一是先
4、化简变形,简化求导数运算,要注意变形准确.解法二是利用复合函数求导数,应注意不漏步.例 5 曲线 有两条平行于直线 的切线,)(1yxy求此二切线之间的距离.解: x23232 y令 即 解得 或 y01x于是切点为 )74,1(),QP过点 的切线方程为 即2y0y显然两切线间的距离等于点 到此切线的距离故所求距离为 2|1743|6补充例题例 1 指出下列函数的复合关系(1) ; (2) ;32)(xy2sinxy(3) ; (4) ; 4cos)13l(5) .32)1(xy解: 略例 2 写出由下列函数复合而成的函数(1) ; (2) .21,cosxuyxuyln,l解: 略例 3
5、求 的导数(P122 例 1).5)12(xy解: 略注意：要求步骤规范,首先设中间变量,再对几个简单函数分别求导,最后应强调把中间变量换成自变量的函数.复合函数求导步骤：分解求导回代.例 4 求下列函数的导数(1) ; (2) ; (3) ;4)31(xyxy2sin21xy(5) ; (6) ; (7) .2 )63co(e3cos解: 略例 6 已知 ,求 .102)()xxf)(f解: 略例 7 求证双曲线 与椭圆 在同一交点处的切线互相垂直.5:21yxC7294:2yxC解: 略四、课堂练习 求下列函数的导数:(1) xy3sini3(2) 12x(3) )(loga(4) 23.y(5) 41.x(6) sin(3).6yx(7) 2co1(8) )l(五、回顾总结六、布置作业
