1、2.1.2 数列的递推公式一、内容及其解析（一）内容：数列的递推公式（二）解析：这节课通过对数列通项公式的正确理解，让学生进一步了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；通过经历数列知识的感受及理解运用的过程，作好探究性教学.发挥学生的主体作用，提高学生的分析问题以及解决问题的能力. 教学重点 根据数列的递推公式写出数列的前几项. 教学难点 理解递推公式与通项公式的关系.二、目标及其解析来源:高考试题库1.了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2.会根据数列的递推公式写出数列的前几项.1.经历数列知识的感受及理解运用的过程;2.发挥学生
2、的主体作用，作好探究性实验;3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、问题诊断分析四、教学过程问题与题例问题：前面我们学习了数列的定义，数列的通项公式的意义等内容， 哪位同学能谈一谈什么叫数列的通项公式？如果数列a n的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.问题：你能举例说明吗？如数列 0，1，2，3，的通项公式为 an=n-1(nN*);1,1,1 的通项公式为 an=1(nN*,1n3);1, , , ,的通项公式为 an= (nN*).41问题：通项公式是表示数列的很好的方法，同学们想一想还有哪些方法可以表示数列？图象法，我们可仿照函数图
3、象的画法画数列的图形.具体方法是以项数 n 为横坐标，相应的项 an 为纵坐标，即以(n, an)为坐标在平面直角坐标系中作出点 (以前面提到的数列 1, ,21, ,为例，作出一个数列的图象)，所得的数列的图形是一群孤立的点，因为横坐标为314正整数，所以这些点都在 y 轴的右侧，而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.-递推公式法知识都来源于实践，同时还要应用于生活，用其来解决一些实际问题.下面同学们来看右下图：钢管堆放示意图(投影片 ).观察钢管堆放示意图，寻其规律，看看能否建立它的一些数学模型. 模型一：自上而下第 1 层钢管数为 4,
4、即 141+3;第 2 层钢管数为 5,即 252+3;第 3 层钢管数为 6,即 363+3;第 4 层钢管数为 7,即 474+3;第 5 层钢管数为 8,即 585+3;第 6 层钢管数为 9,即 696+3;第 7 层钢管数为 10,即 710 7+3.若用 an 表示钢管数，n 表示层数，则可得出每一层的钢管数为一数列，且 an=n+3(1n7). 问题：同学们运用每一层的钢管数与其层数之间的对应规律建立了数列模型，这完全正确，运用这一关系，会很快捷地求出每一层的钢管数.这会给我们的统计与计算带来很多方便.让同学们继续看此图片，是否还有其他规律可循？(启发学生寻找规律)模型二：上下层
5、之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多 1,即 a1=4；a 2=5=4+1=a1+1；a 3=6=5+1=a2+1.依此类推：a n=a n-1+1(2n7).问题：对于上述所求关系，同学们有什么样的理解?若知其第 1 项，就可以求出第二项，以此类推，即可求出其他项.看来，这一关系也较为重要，我们把数列中具有这种递推关系的式子叫做递推公式.概念形成1.递推公式定义：如果已知数列a n的第 1 项(或前几项) ，且任一项 an 与它的前一项 an-1(或前 n 项) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.注意：递推公式也是给出数列的一种方法.如下列数字
6、排列的一个数列：3，5，8，13，21，34，55，89.递推公式为：a 1=3,a2=5,an=an-1+a n-2(3n8).来源:GkStK.Com2.数列可看作特殊的函数，其表示也应与函数的表示法有联系，函数的表示法有：列表法、图象法、解析式法.相对于数列来说也有相应的这几种表示方法：即列表法、图象法、解析式法.例题【例 1】 设数列a n满足 .写出这个数列的前五项 .1,1nan分析：题中已给出a n的第 1 项即 a1=1，题目要求写出这个数列的前五项，因而只要再求出二到五项即可.这个递推公式：a n=1+ 我们将如何应用呢 ?1这要将 n 的值 2 和 a1=1 代入这个递推公
7、式计算就可求出第二项，然后依次这样进行就可以了.请大家计算一下! 来源:高考试题库解：据题意可知：a 1=1,a2=1+ =2,a3=1+ = ,a4=1+ = ,a5= 12318设计意图：掌握递推公式很关键的一点就是其中的递推关系，同学们要注意探究和发现递推公式中的前项与后项，或前后几项之间的关系.【例 2】 已知 a1=2，a n+1=2an，写出前 5 项，并猜想 an.分析：由例 1 的经验我们先求前 5 项. 前 5 项分别为 2，4，8，16，32.下面来猜想第 n 项.由 a1=2，a 2=22=22，a 3=222=23 观察可得，猜想 an=2n.问题：本题若改为求 an
8、是否还可这样去解呢?由 a n+1=2an 变形可得 an=2a n-1，即 ，依次向下写，一直到第一项，然后将它们乘1n起来，就有 ，所以 an=a12n-1=2n.321nn12这种方法通常叫迭乘法，这种方法在已知递推公式求数列通项的问题中是比较常用的方法，对应的还有迭加法.变式：已知 a1=2，a n+1=an-4,求 an.分析：此题与前例 2 比较，递推式中的运算改为了减法，同学们想一想如何去求 解呢? 写出：a 1=2，a 2=-2，a 3=-6，a 4=-10，观察可得：a n=2+(n-1)(n-4)=2-4(n-1). 解：由 an+1-an=-4 依次向下写，一直到第一项，
9、然后将它们加起来,an-a n-1=-4an-1-an-2=-4an-2-an-3=-4 )1(4 )12nan=2-4(n-1).小结(1)数列的递推公式是由初始值和相邻几项的递推关系确定的，如果只有递推关系而无初始值，那么这个数列是不能确定的.例如，由数列a n中的递推公式 an+1=2an+1 无法写出数列 an中的任何一项，若又知a1=1，则可以依次地写出 a2=3,a3=7,a4=15,.(2)递推公式是给出数列的一种方法，由递推公式可能求出数列的通项公式，也可能求不出通项公式.五、目标检测1、根据各个数列的首项和递推公式，写出它的前五项，并归纳出通项公式.(投影片)(1)a10，a
10、 n+1a n(2n-1)(n N)；(2)a11，a n+1 (nN)；2(3)a13，a n+13a n-2(nN).(让学生思考一定时间后，请三位学生分别作答)解：(1)a 10，a 21，a 34，a 49，a 516，a n( n-1)2.(2)a11， a2 ，a 3 = ，a 4 ，a 5 = ， an .1231621(3)a131+23 0，a 271+23 1，a 3191+23 2，a4551+23 3，a 51631+23 4，a n123 n-1.注：不要求学生进行证明归纳出通项公式.2、一只猴子爬一个 8 级的梯子，每次可爬一级或上跃二级，最多能上跃起三级，从地面上
11、到最上一级，你知道这只猴子一共可以有多少种不同的爬跃方式吗？析：这题是一道应用题，这里难在爬梯子有多种形式，到底是爬一级还是上跃二级等情况要分类考虑周到.爬一级梯子的方法只有一种.爬一个二级梯子有两种,即一级一级爬是一种，还有一次爬二级，所以共有两种.若设爬一个 n 级梯子的不同爬法有 an 种, 来源:GkStK.Com则 an=an-1+an-2+an-3(n4),则得到 a1=1,a2=2,a3=4 及 an=a n-1+an-2+an-3(n4)，就可以求得 a8=81.六、课堂小结这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，要注意理解它与通项公式的区别，谁能说说？通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或 n 项) 之间的关系.对于通项公式，只要将公式中的 n 依次取 1，2，3,即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前 n 项)，才可求得其他的项.(让学生自己来总结，将所学的知识，结合获取知识的过程与方法，进行回顾与反思，从而达到三维目标的整合.培养学生的概括能力和语言表达能力)七、配餐练习优化设计2.1.2 优化作业高$考;试题库
