1、排 列【教学目的】理解排列、排列数的概念，了解排列数公式的推导；能用“树型图”写出一个排列中所有的排列；能用排列数公式计算。【教学重点】排列、排列数的概念。【教学难点】排列数公式的推导一、问题情景问题 1从甲、乙、丙 3 名同学中选取 2 名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？分析：这个问题就是从甲、乙、丙 3 名同学中每次选取 2 名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，共有 6 种不同的排法：甲乙 甲丙 乙甲 乙丙 丙甲 丙乙，其中被取的对象叫做元素。问题 2从 ,abcd这四个
2、字母中，每次取出 3 个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？分析：解决这个问题分三个步骤：第一步先确定左边的字母，在 4 个字母中任取 1 个，有 4 种方法；第二步确定中间的字母，从余下的 3 个字母中取，有 3 种方法；第三步确定右边的字母，从余下的 2 个字母中取，有 2 种方法由分步计数原理共有：432=24 种不同的方法，用树型图排出，并写出所有的排列由此可写出所有的排法二、数学构建1排列的概念：从 n个不同元素中，任取 m（ n）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从 n个不同元素中取出 个元素的一个排列。说明：（1）排列的定义包括两个方面：取出元素，按一
3、定的顺序排列；（2）两个排列相同的条件：元素完全相同，元素的排列顺序也相同2排列数的定义：从 个不同元素中，任取 （ ）个元素的所有排列的个数叫做从 n个元素中取出 m元素的排列数，用符号mnA表示注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从 个 不同元素中，任取 个元素按照一定的顺序排成一列，不是 数；“排列数”是指从 个不同元素中，任取 （ ）个元 素的所有排列的个数，是一个数所以符号mn只表示排列数，而不表示具体的排列。3排列数公式及其推导：由2A的意义：假定有排好顺序的 2 个空位，从 n个元素12,na中任取 2 个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列，反过来
4、，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数2nA由分步计数原理完成上述填空共有 (1)n种填法，2nA= (1)由此，求3A可以按依次填 3 个空位来考虑，3n= (2)，求mn以按依次填 个空位来考虑 ()1mn m，得排列数公式如下： (1)2(1)nA（ ,nN）说明：（1）公式特征：第一个因数是 n，后面每一个因数比它前面一个少 1，最后一个因数是 nm，共有 个因数；（2）全排列：当 时即 个不同元素全部取出的一个排列。全排列数公式如下：(1)2!nAn（叫做 n 的阶乘） 4阶乘的概念： 个不同元素全部取出的一个排列，叫做 个不同元素的一个全排列，
5、这时 (1)23n；把正整数 1 到 的连乘积，叫做 的阶乘表示： !n ， 即 nA!规定 05排列数的另一个计算公式： ()2(1)mnAnm(1)2(1)(312nm !()即 nA=!()。三、知识运用【例 1】计算：（1）316A； （2）6； （3）46A解：（1）36 543360 ；（2） !720 ；（3）46A 5360。【例 2】 （1）若 176mn，则 n ， m （2）若 ,N则 ()5(8)69n 用排列数符号表示为 解：（1） 17， 14 （2）若 ,n则 ()6()n 1569nA【例 3】 （1）从 2,571这五个数字中，任取 2 个数字组成分数，不同值
6、的分数共有多少个？（2）5 人站成一排照相，共有多少种不同的站法？（3）某年全国足球甲级（A 组）联赛共有 14 队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛 1 次，共进行多少场比赛？解：（1）2540；（2）5430A；（3）214382A【例 4】计算：624810!； 1()!nm解：原式753654321987=564210(89)；原式!(1)mn【例 5】解方程：33216xxA解：由排列数公式得： ()(1)6()x， x， ()2xx，即 23710x，解得 5或 3， ，且 N，原方程的解为 5【例 6】解不等式：296xA解：原不等式即!()(1)x，也就是16(9)!()
7、0(9)!x，化简得： 2104x，解得 8或 3，又 2x，且 N，所以，原不等式的解集为 ,456,7【例 7】求证：（1）nmnA；（2）()!135(21)nn证明：（1）!()!mnAnmnA，原式成立（2）()!2(1)2431!nn ()()2!n !131!n 35(21)n右边 原式成立说明：（1）解含排列数的方程和不等式时要注意排列数mnA中， ,N且 n这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围；（2）公式 (1)2(1)mnAn常用来求值，特别是 ,均为已知时，公式n=!()，常用来证明或化简。【例 8】化简：1231!4!n； !23!n 。解：原式
8、1!()!n !提示：由 1nn，得 ，原式 !。说明： 11!()!nn【例 9】 （1）有 5 本不同的书，从中选 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？（2）有 5 种不同的书，要买 3 本送给 3 名同学，每人各 1 本，共有多少种不同的送法？解：（1）从 5 本不同的书中选出 3 本分别送给 3 名同学，对应于从 5 个元素中任取 3 个元素的一个排列，因此不同送法的种数是： 5460A，所以，共有 60 种不同的送法（2）由于有 5 种不同的书，送给每个同学的 1 本书都有 5 种不同的选购方法，因此送给 3名同学，每人各 1 本书的不同方法种数是： 2，所
9、以，共有 125 种不同的送法说明：本题两小题的区别在于：第（1）小题是从 5 本不同的书中选出 3 本分送给 3 位同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；而第（2）小题中，给每人的书均可以从 5 种不同的书中任选 1 种，各人得到那种书相互之间没有联系，要用分步计数原理进行计算【例 10】某信号兵用红、黄、蓝 3 面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意挂 1 面、2 面或 3 面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：分 3 类：第一类用 1 面旗表示的信号有13A种；第二类用 2 面旗表示的信号有23种；第三类用 3 面旗表示的信号有 种，由分类计
10、数原理，所求的信号种数是：1233215A，答：一共可以表示 15 种不同的信号例 3将 4位司机、 位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，每一辆汽车分别有一位司机和一位售票员，共有多少种不同的分配方案？分析：解决这个问题可以分为两步，第一步：把 4位司机分配到四辆不同班次的公共汽车上，即从 个不同元素中取出 4个元素排成一列，有 A种方法；第二步：把 4位售票员分配到四辆不同班次的公共汽车上，也有4种方法，利用分步计数原理即得分配方案的种数解：由分步计数原理，分配方案共有4576N（种）答：共有 576 种不同的分配方案【例 11】用 0 到 9 这 10 个数字，可以组成多少个没有重复数
11、字的三位数？解法 1：用分步计数原理：所求的三位数的个数是：129864A解法 2：符合条件的三位数可以分成三类：每一位数 字都不是0 的三位数有39个，个位数字是 0 的三位数有 9A个，十位数字是 0 的三位数有29A个，由分类计数原理，符合条件的三位数的 个数是：3299648解法 3：从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字的排列数为310A，其中以 0 为排头的排列数为29A，因此符合条件的三位数的个数是2109648A-29说明：解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法直接法：通过对问题进行恰当的分类和分步，直接计算符合条件的排列数如解法 1，2；间接法：对于有限制
12、条件的排列应用题，可先不考虑限制条件，把所有情况的种数求出来，然后再减去不符合限制条件的情况种数如解法 3对于有限制条件的排列应用题，要恰当地确定分类与分步的标准，防止重复与遗漏【例 12】 （1）7 位同学站成一排，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：7 个元素的全排列7A5040（2）7 位同学站成两排（前 3 后 4） ，共有多少种不同的排法？解：根据分步计数原理：76543217！5040（3）7 位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？解：问题可以看作：余下的 6 个元素的全排列6=720（4）7 位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？解：根据分
13、步计数原理：第一步 甲、乙站在两端有2A种；第二步 余下的 5 名同学进行全排列有5种，所以，共有 25=240 种排列方法（5）7 位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？解法 1（直接法）：第一步从（除去甲、乙）其余的 5 位同学中选 2 位同学站在排头和排尾有25A种方法；第二步从余下的 5 位同学中选 5 位进行排列（全排列）有5A种方法，所以一共有52400 种排列方法解法 2：（排除法）若甲站在排头有6A种方法；若乙站在排尾有6种方法；若甲站在排头且乙站在排尾则有5种方法，所以，甲不能站在排头，乙不能排在排尾的排法共有7A6 5=2400 种说明：对于“在” 与“
14、 不在”的问题，常常使用“直接法”或“ 排除法”，对某些特殊元素可以优先考虑【例 13】从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单，如果某女演员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上，则共有多少种不同的排法？解法一：（从特殊位置考虑） 130859A；解法二：（从特殊元素考虑）若选： ；若不选：69A，则共有5691308A种；解法三：（间接法）5960【例 14】 7 位同学站成一排，（1）甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？解：先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的 5 个元素（同学）一起进行全排列有6A种方法；再将甲、乙两个同学“ 松绑”进行排列有2A种方法所
15、以这样的排法一共有62140A种（2）甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？解：方法同上，一共有53A720 种（3）甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有25A种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有4A种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有2A种方法所以这样的排法一共有254960 种方法解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，若丙站在排头或排尾有 25种方法
16、，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有 90)2(256A种方法解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有14种方法，再将其余的 5 个元素进行全排列共有5A种方法，最后将甲、乙两同学“ 松绑”，所以，这样的排法一共有14A2960 种方法（4）甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起解：将甲、乙、丙三个同学“捆绑”在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑”在一起看成一个元素，时一共有 2 个元素，一共有排法种数：3428A（种）说明：对于相邻问题，常用“捆绑法”（先捆后松） 【例 15】位同学
17、站成一排，（1）甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？解法一：（排除法） 360267A；解法二：（插空法）先将其余五个同学排好有5种方法，此时他们留下六个位置（就称为“空”吧） ，再将甲、乙同学分别插入这六个位置（空）有26A种方法，所以一共有36025A种方法（2）甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：先将其余四个同学排好有4A种方法，此时他们留下五个“空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空” 有35种方法，所以一共有4A351440 种说明：对于不相邻问题，常用“插空法”（特殊元素后考虑） 【例 16】5 男 5 女排成一排，按下列要求各有多少种排法：（1）男女相间；
18、（2）女生按指定顺序排列。解：（1）先将男生排好，有5A种排法；再将 5 名女生插在男生之间的 6 个“空挡”（包括两端）中，有52种排法。故本题的排法有5280N（种） ；（2）方法 1：10534A；方法 2：设想有 10 个位置，先将男生排在其中的任意 5 个位置上，有510A种排法；余下的5 个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法。故本题的结论为510324NA（种）四、课堂练习（一）1四支足球队争夺冠、亚军，不同的结果有（） 种 10 种 12 种 16 种A8BCD2信号兵用 3 种不同颜色的旗子各一面，每次打出 3 面，最多能打出不同的信号有（ ）3 种 6
19、种 1 种 27 种3 且 则 用排列数符号表示为（ ）,kN40,(5)(52)(79)kk A5079kB297kAC30kAD305kA45 人站成一排照相，甲不站在排头的排法有（ ）24 种 72 种 96 种 120 种5给出下列问题：有 10 个车站，共需要准备多少种车票？有 10 个车站，共有多少中不同的票价？平面内有 10 个点，共可作出多少条不同的有向线段？有 10 个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？从 10 个同学中选出 2 名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？以上问题中，属于排列问题的是 （填写问题的编号）6若 ， ，则以 为坐标的点共有 个|,|
20、4xZx|,|5yZy(,)xy7从参加乒乓球团体比赛的 5 名运动员中选出 3 名进行某场比赛，并排定他们的出场顺序，有多少种不同的方法？8从 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种植在不同土质的 3 块土地上进行试验，有多少中不同的种植方法？9计算：（1） （2）3254A12344A10分别写出从 这 4 个字母里每次取出两个字母的所有排列；,abcd11写出从 这六个元素中每次取出 3 个元素且必须含有元素 的所有排列ef a答案：1. C 2. B 3. C 4. B 5. 6. 63 7. 60 8. 24 9. 348；64 10.共有 个：ab, ac, ad, ba, bc,
21、bd, ca, cb, cd, da, db, 241Adc 11. 共有 个，具体的排列略23560（二）1若!3nx，则 （ ）()An()B3nA()C3nA()D3nA2与3710不等的是 （ ）()9()81()910()103若53mA，则 的值为 （ ）()()B ()C6 ()D74计算：5691023!A； 1!()nmA5若1()4m，则 的解集是 6 （1）已知 1095 ，那么 ；（2）已知 !3628，那么79A= ；（3）已知 5nA，那么 n ；（4）已知247，那么 7一个火车站有 8 股岔道，停放 4 列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假定每股岔道只能停放
22、 1 列火车）？8一部纪录影片在 4 个单位轮映，每一单位放映 1 场，有多少种轮映次序？答案：1. B 2. B 3. A 4. 1,1 5. 2,3456 6. (1) 6 (2) 181440 (3) 8 (4) 5 7. 1680 8. 24 （三）1将 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，没格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法（ ）种.A 6 B 9 C 11 D 232有 5 列火车停在某车站并排的五条轨道上，若快车 A 不能停在第三条轨道上，货车 B不能停在第一条轨道上，则五列火车的停车方法有（ ）种.78 72 120 96 3由 0，
23、3，5，7 这五个数组成无重复数字的三位数，其中是 5 的倍数的共有多少个（ ）A9 B21 C 24 D 42 4从 ,1,2七个数中，每次选不重复的三个数作为直线方程 0axbyc的系数，则倾斜角为钝角的直线共有（ ）条. 14 30 70 60 5从 4 种蔬菜品种中选出 3 种，分别种在不同土质的 3 块土地上进行实验，有 _种不同的种植方法 69 位同学排成三排，每排 3 人，其中甲不站在前排，乙不站在后排，这样的排法种数共有 种。7 （1）由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个无重复数字的正整数？（2）由数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个无重复数字，并且比 13000 大
24、的正整数？8学校要安排一场文艺晚会的 11 个节目的出场顺序，除第 1 个节目和最后 1 个节目已确定外，4 个音乐节目要求排在第 2、5、7、10 的位置，3 个舞蹈节目要求排在第 3、6、9 的位置，2 个曲艺节目要求排在第 4、8 的位置，共有多少种不同的排法？9某产品的加工需要经过 5 道工序，（1）如果其中某一工序不能放在最后加工，有多少种排列加工顺序的方法？（2）如果其中某两工序不能放在最前，也不能放在最后，有多少种排列加工顺序的方法？10一天的课表有 6 节课，其中上午 4 节，下午 2 节，要排语文、数学、外语、微机、体育、地理六节课，要求上午不排体育，数学必须排在上午，微机必须排在下午，共有多少种不同的排法？11. 由数字 0，1，2，3，4， （1）可组成多少个没有重复数字且比 20000 大的自然数？（2）2 不在千位，且 4 不在十位的五位数有多少个？ 答案：1. B 2. A 3. B 4. C 5. 24 6. 166320 7.325； 1148. 288 9.96； 36 10. 4811. （1）4372,（2） （1413264A） （四）1停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放方法数为（ ）A47B37AC5AD53A
