1、2019 年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.三、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1. B 2. A 3. A 4. C 5. A 6. C7. B 8. A 9. D 10. D 11. D 12. A二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）1. 2. 3. 4. 13013一. 选择
2、题:1.答案：B解析：将元素按要求填入相应区域可得阴影区域表示的集合为 ，故选 B.72.答案：A解析： ，故选 A.12izi3.答案：A解析： ，故选 Af4.答案：C解析：根据全称量词命题的否定是存在性量词命题可知，正确答案选择 C.5.答案：A解析：令等比数列 的公比为 ，由已知得 ，故naq4227533 4aqaq选 A.6.答案：C解析：法 1：由定义可知为偶函数，所以排除选项 A，B， ，比较可得 C.21fe法 2：由定义可知为偶函数，所以排除选项 A，B，当 时，0x，则 ，所以 在 上有极大值，故选xfxe2 1xfxef,C.7. 答案：B解析：法一： ；124pA法二
3、：满足题意的字母组合有四种，分别是 ， ， ， ，拼写正确的ekaeka组合只有一种 ，所以概率为 .eak14p8.答案：A解析：由已知，双曲线的渐进线方程为 ，又点 到渐近线 的0bxay3, 0bxay距离为 ，所以 ，即 ，又 ，所以223032bac2bc22c，故选 A.3e9.答案：D解析：令 ，解得 ，3224kxkZ3788kxkZ所以函数 的递减区间为 ，选项 A 错误；由于yf7,8，所以函数 的图象是由 的图象向右平sin2sin24xxyfxsin2yx移 得到的，选项 B 错误；令 ，解得 .所8 42kZ38kZ以函数 的图象的对称轴方程为 ，选项 C 错误；由于
4、yfx38xk，所以 ，当 时， ，当7,24x32,44min2fx时， .故选 D.max1f10.答案：D解析：以 为原点，直线 为 轴建立平面直角坐标系，则 . 设 ，依AB3,0B,Mxy题意有， ，化简整理得，23xy，即 ，圆的面积为 .故选2810xy24xy4D.11.答案：D解析：因为球 的表面积是 ，所以 ，解得O6216SR2R如图，四棱锥 PABC底面为矩形且矩形的四个顶点,A在球 的同一个大圆上，设矩形的长宽为 ,则 ，当且仅当 时上式取等号，yxxy22yxDCAB P即底面为正方形时，底面面积最大，此时 点 P在球面上，28正 方 形 ABCDSR当 底面 时，
5、 ，即 ，则四棱锥 体积的最大值为POABCDPORhmaxABC.31612.答案：A解析： ，所以 在 上恒成立，2xxfeaxeaf210,等价于 在 上恒成立，因为 时，1 ，所以只)(1f0,),1xe需 在 上递减，即 ， 恒成立，即 时， 恒成立，()fx,x(fx2a，所以 .2a2a二. 填空题：13. 答案： 13解析： 由于向量 a 与 b 垂直，所以它们的数量积为 0，即 ，解得 .310x13x14. 答案：1010解析：设等差数列 公差为 ， ， ， ，nd321()Sad4d2， ， .1()21mam090m15. 答案： 3解析：由题意知，焦点坐标为 ，准线方
6、程为 ， 到焦点距离等于到3(,)232x1(,)Mxy准线距离，所以 ， ， .119,x18y21| 3O16. 答案：解析： ， 平面 ， 平面1/BD11CBD /平面 ，正确； 平面1C1A， ，又 ，A11平面 ， ，同理 ，1BDBDC11BC 平面 ，正确； ， 为等边三角形，则异面直线C1/AC1D1B1A1 CDAB与 成 角，正确； 为 与平面 所成的角，AC1B601CA1ABCD，错误.故填1tan112 三. 解答题：17. 解析：（ 1）根据题意，由 可知， 222bcab221cab分根据余弦定理可知， ， 4 分1cos2A又角 为 的内角，所以 ； 6ABC
7、3分（2）法一：为等边三角形. 7 分由三角形内角和公式得， ， 故 8 分ABCsiniABC根据已知条件，可得 ，sin2sico整理得 9 分sico0BC所以 ， 10n0分又 ， 所以 ， 11,B分又由（1）知 ，所以 为等边三角形. 123AC分法二：为等边三角形. 7 分BC由正弦定理和余弦定理，得 ， 822abc分整理得 ，即 102bc分又由（1）知 ，所以 为等边三角形. 123ABC分18.解析：（1） “送达时间”的平均数：（分钟） ， （不写单位不扣分） 2 分289343568413510方差为: 4 分2222276 0.6（2） ， ， ， . 6 分A4B
8、0.6C4D（3）由已知人数 的可能取值为：0 ，1，2，3X；33P；12648；213C. 06（错一个扣 1 分）8 分X 0 1 2 3P 0.064 0.288 0.432 0.21610 分服从二项分布 3,.6B.0.18EX12 分19.解析： 面 面 ， 面 ，且 面ABCDEFCABDBCD.F由此可得，以点 为坐标原点，以 ， 和 分别作为 轴， 轴和 轴，建立空xyz间直角坐标系 xyz设 ,则 (0)C， ， ， ， (30)B， ， ， ， ， aABaA, )0,3(E),4(F),0(aD2 分（1）证明： ， ，E,3,，0,B所以 ， ， 又CD0FBF所以
9、 平面 即 为平面 的法向量.CDDFEO（CBAxzy4 分又 ， ，又 平面0AECBBAECDF所以 平面 DF /6 分（2）设 与平面 垂直，则 ， ，,nxyzAEa,300,13EF由 ，得0EFA03-ay解得 . 8 分1,n又因为 平面 ， ，BEFC0,BAa所以 ， 10231cos, 74nna分得到 92a所以当 时，二面角 的大小为 60 12 分ABAEFC20. 解析：（1）将 代入 中，由 可得 ，xc21yab22acb42ya所以弦长为 ， 2 分2ba故有 ，解得 ，22213cab21ab所以椭圆 的方程为： 4 分C214xy（2）法一：设点 ，又
10、 ，则直线 的方程分0,P0,3,21F21,PFy xOMF1 F2P别为；03:01 yxyl2由题意可知 620202 33xymxym分由于点 为椭圆 上除长轴外的任一点，所以 ，PC1420y所以 ， 8 分2020-33xmx因为 ， ，-0所以 ，即100032-mxx043xm分因此， 1223分法二：设 ，tPF1在 中，由正弦定理得M1 11sin3sinMPFmt在 中，由正弦定理得6 分PF2 22ii4t因为 ， ，121PF所以 ，解得 ， 8 分mt3434t因为 ，即 ， 10ca, 2,t分所以 1223m分21. 解析：（1）当 时， ，其导数 ， 1 分2
11、21lnfxx2()1fxx所以 ，即切线斜率为 ， 2f分又切点为 ，所以切线的方程为 41,020xy分（2）函数 的定义域为 ， ， 5fx0,21mxfx分因为 为函数 的两个极值点，所以 是方程 的两个不等实12,f 12,20x根，由根与系数的关系知 ， 6 分122,xx又已知 ，所以 ，12x0，将 式代入得211lnfmx， 822 2221 l1lnfx xx分令 ， ， 92lngtt,分，令 ，解得 ， 10l1tt0gt1te分当 时， ， 在 递减；,2xett,2e当 时， ， 在 递增；1,xe0gtt1,e所以 ， ，min21gte1max,2gtg， 11
12、1l02g分即 的取值范围是 1221fx21,e分22解析：（1）由 可得： 2cos30+230xy化为4 分24xy（2）由已知得曲线 的普通方程： ，1C7y点 为曲线 上动点，令点 ， 6 分Q22cos,inQR设点 到曲线 的距离为 ，1d所以 ，5cs94cosin925cos9525d 其中 ， 8 分1tan2即两点 ， 之 间的最短距离为 10 分PQ95223解析：（1）因为 ，所以 10ab40,ab分根据均值不等式有 ， 322 4abab分当且仅当 ，即 时取等， 4231分所以 的值为 .5 分（2 ）当 时，原不等式等价于 ，解得 ；6 分1x324xx54x当 时，原不等式等价于 ，解得 ； 7 12分当 时，原不等式等价于 ，解得 ； 82x324xx分综上所述原不等式解集为 1051,4分
