1、2018 2019 学 年 度 上 学 期 “ 抚 顺 六 校 协 作 体 ” 期 末 考 试高 二 数 学 （ 理 科 ） 试 卷考 试 时 间 ： 120 分 钟 试 卷 满 分 ： 150 分一 、 选 择 题 （ 本 大 题 共 12 个 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 共 60分 。 每 小 题 只 有 一 个 选 项 是 正 确 的 ）1、 已 知 命 题 2:“ , 0“p x N x ， 则 p 为 ( )A、 2, 0x N x B、 2, 0x N x C、 2, 0x N x D、 2, 0x N x 2、 已 知 a b ,则 下 列 不 等 式 成 立 的 是 （
2、 ）A、 1 1a b B、 2 2a b C、 3 3a b D、 2a b ab 3、 数 列 na 是 公 差 为 ( )d d N ， 首 项 为 1的 等 差 数 列 ， 若 81是 该 数 列 中 的 一 项 ， 则 公 差 d 不可 能 是 （ ）A、 5 B、 4 C、 3 D、 24、 已 知 实 数 ,x y满 足 1 3 02 2 0xx yx y ， 则 z x y 的 最 小 值 为 （ ）A、 1 B、 1 C、 3 D、 135、 已 知 不 等 式 2 1 0ax bx 的 解 集 为 1 1 , 2 3 ， 则 不 等 式 2 0x bx a 的 解 集 为（
3、 ）A、 ,2 (3, ) B、 2,3C、 1 1, ,3 2 D、 1 1,3 2 6、 在 ABC 中 ， 内 角 , ,A B C 所 对 的 边 分 别 是 , ,a b c， 已 知 2b ， 6B ， 4C ，则 ABC 的 面 积 是 ( )A、 2 3 2 B、 3 1 C、 2 3 2 D、 3 17、 双 曲 线 2 22 2: 1( 0, 0)x yC a ba b 的 右 焦 点 F 是 圆 2 2 4 3 0x y x 的 圆 心 ， 且 C的 渐 近 线 与 该 圆 相 切 ， 则 双 曲 线 的 标 准 方 程 为 （ ）A、 2 2 1x y B、 2 2 1
4、2 2x y C、 2 2 13x y D、 22 13yx 8、 在 直 三 棱 柱 1 1 1ABC ABC 中 ， 090BCA ， M ， N 分 别 为 1 1AB ， 1 1AC 的 中 点 ，1BC CA CC ， 则 BM 与 AN 所 成 角 的 余 弦 值 为 （ ）A、 3010 B、 110 C、 22 D、 259、 已 知 等 比 数 列 na 的 前 n 项 和 为 nS ， 则 下 列 一 定 成 立 的 是 （ ）A、 3 20150, 0a a 若 则 B、 3 20150, 0a S 若 则C、 4 20140, 0a a 若 则 D、 4 20140,
5、0a S 若 则10、 给 出 以 下 命 题 ： （ 1） 已 知 ( 2,1,3), ( 1,2,1)a b ， 若 ( )a a b ， 则 2 ； （ 2）对 任 意 x R ， 不 等 式 2 1 0ax ax 恒 成 立 ， 则 0 4a ； （ 3） 0 1t 是 曲 线2 2 11x yt t 表 示 椭 圆 的 充 要 条 件 ； （ 4） 在 ABC 中 ， 若 A B 则 sin sinA B ；则 其 中 正 确 命 题 的 个 数 为 （ ）A、 0 B、 1 C、 2 D、 311、 在 ABC 中 ， 内 角 , ,A B C 所 对 的 边 分 别 是 , ,a
6、 b c， 已 知 2 2tan tana B b A ， 则 ABC的 形 状 是 （ ）A、 等 腰 三 角 形 B、 直 角 三 角 形C、 等 腰 直 角 三 角 形 D、 等 腰 或 直 角 三 角 形12、 已 知 F 为 抛 物 线 2: 4C y x 的 焦 点 ， 过 点 F 作 两 条 互 相 垂 直 的 直 线 1 2,l l ， 直 线 1l C与交 于 ,A B两 点 ， 直 线 2l C与 交 于 ,D E 两 点 ， 则 AB DE 的 最 小 值 为 （ ）A、 16 B、 14 C、 12 D、 10二 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 4 个 小 题 ，
7、每 小 题 5 分 ， 共 20分 ） 。13、 设 (2,2,0), (1,4,2), (0,0,1)A B C ， 则 坐 标 原 点 O到平 面 ABC的 距 离 为 _ 。14、 如 图 所 示 ， 为 了 测 量 A， B 处 岛 屿 的 距 离 ， 小 明 在 D处 观 测 A， B 两 点 分 别 在 D 处 的 北 偏 西 150 ， 北 偏 东450方 向 ， 再 往 正 东 方 向 行 驶 40海 里 至 C 处 ， 观 测B 在 C 处 的 正 北 方 向 ， A 在 C 处 的 北 偏 西 600方 向 ，则 A， B两 处 岛 屿 的 距 离 为_ 海 里 。15、
8、定 义 ： 1 21 2 , , “ “nnn n p p pp p p 为 个 正 数 的 均 倒 数 ， 若 已 知 正 整 数 列 na 前n 项 的 “ 均 倒 数 ” 为 12 1n , 又 14nn ab ， 则A BCD1 21bb 2 31b b 10 111b b 。16、 已 知 数 列 na 是 等 差 数 列 ， 1 2a ， 1( ) 1,n n nn a a a n N ， 若 对 任 意 的 2,2 ,a n N ， 不 等 式 21 2 11na t atn 恒 成 立 ， 则 实 数 t的 取 值 范 围 为_ 。三 、 解 答 题 （ 本 大 题 共 6 小
9、 题 ， 共 70分 ， 解 答 题 应 写 出 文 字 说 明 ， 证 明 过 程 或 演 算 步 骤 ）17、 （ 本 小 题 满 分 10 分 ）已 知 全 集 U R ， 集 合 2| 03xA x x ， 2| ( )( 2) 0B x x a x a ；（ 1） 当 12a 时 ， 求 ( )UC B A ；（ 2） 命 题 :p x A ， 命 题 :q x B ； 若 q是 p 的 必 要 不 充 分 条 件 ， 求 实 数 a的 取 值 范 围 。18、 （ 本 小 题 满 分 12 分 ）已 知 正 项 数 列 na 中 ， 1 1a ， 点 1, ,( )n na a n
10、 N 在 函 数 2 1y x 的 图 象 上 ， 数 列 nb 的 前 n 项 和 2n nS b ；（ 1） 求 数 列 na 和 nb 的 通 项 公 式 ；（ 2） 设 nn nac b ， 求 数 列 nc 的 前 n 项 和 .nT19、 (本 小 题 满 分 12 分 )如 图 ， 在 ABC 中 ， 角 , ,A B C 所 对 的 边 分 别 是, ,a b c， sin cosa b C C 。（ 1） 求 角 B的 大 小 ；（ 2 ） 若 2A ， D 为 ABC 外 一 点 ，2, 1DB DC ， 求 四 边 形 ABCD面 积 的 最 大 值 。20、 (本 小
11、题 满 分 12 分 )如 图 ， 四 棱 锥 P ABCD ， 侧 面 PAD 是 边 长 为 2的 正 三 角 形 ， 且 与 底 面 垂 直 ， 底 面 ABCD 是060ABC 的 菱 形 ， M 为 棱 PC 上 的 动 点 ， 且 , 0,1PMPC 。（ 1） 求 证 ： BC PC ；（ 2） 试 确 定 的 值 ， 使 得 二 面 角 P AD M 的 平 面 角 的 余 弦 值 为 2 55 。21、 (本 小 题 满 分 12 分 )某 公 司 生 产 的 某 批 产 品 的 销 售 量 P 万 件 （ 假 设 生 产 量 与 销 售 量 相 等 ） 与 促 销 费 用
12、x万 元满 足 24xP （ 其 中 0 ,x a a 为 正 的 常 数 ） ， 已 知 生 产 该 产 品 还 需 投 入 成 本 16 P P 万 元 （ 不 含 促 销 费 用 ） ， 产 品 的 销 售 价 格 定 为 204 P 元 /件（ 1） 将 该 产 品 的 利 润 y 万 元 表 示 为 促 销 费 用 x万 元 的 函 数 ；（ 2） 促 销 费 用 投 入 多 少 万 元 时 ， 该 公 司 的 利 润 最 大 22、 (本 小 题 满 分 12 分 )已 知 椭 圆 2 22 2: 1( 0)x yC a ba b 过 点 ( 2,1)， 且 离 心 率 22e ,
13、（ 1） 求 椭 圆 C 的 标 准 方 程 ；（ 2） 设 ,M N 是 椭 圆 C 上 的 点 ， 直 线 OM 和 ON (O为 坐 标 原 点 )的 斜 率 之 积 为 12 ， 若 动点 P满 足 2OP OM ON ， 试 探 究 ： 是 否 存 在 两 个 定 点 1 2,F F 使 得 1 2PF PF 为 定 值 ？若 存 在 ， 求 1 2,F F 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明 理 由 。AB CD2018 2019 学 年 度 上 学 期 期 末 考 试高 二 数 学 （ 理 科 ） 答 案一 、 选 择 题 DCCAB BCABC DA二 、 填 空 题
14、13、 23 ； 14、 20 6 ； 15、 1011； 16、 , 2 2, 三 、 解 答 题17、 解 ： |2 3A x x ，-1 分2 2 21 72 ( ) 0 22 4a a a a a 2| 2B x a x a -3 分 当 12a 时 1 9|2 4B x x - 分1 9| 2 4UC B x x x 或所 以 1( ) | 22UC B A x x x 或 -6分(2) q是 p的 必 要 不 充 分 条 件 A B-8 分2 22 3aa 解 得 1 1 2a a 或 , 1 1,2a 实 数 的 取 值 范 围 为 -10分18、 解 ： 因 为 点 1, ,(
15、 )n na a n N 在 函 数 2 1y x 的 图 象 上 ，所 以 1 11 1n n n na a a a 即-2 分数 列 na 是 首 项 为 1， 公 差 为 1的 等 差 数 列1 ( 1)na n n -4分1 1 1 11 2 1n b S b b 当 时 1 1 112 (2 ) (2 )12n n n n n n nnnn b S S b b b bbb 当 时 即-6分数 列 nb 是 首 项 为 1， 公 比 为 12 的 等 比 数 列11( )2 nnb -8 分（ 2） 由 （ 1） 知 12nnn nac nb 1 20 1 2 11 21 2 2 2
16、3 2 22 1 2 2 2 2n n nnnT c c c nT n -10分2 11 2 2 2 2 (1 ) 2 1n n nnT n n ( 1) 2 1nnT n -12 分19、 解 :（ 1） 在 ABC 中 ， sin cosa b C C 由 正 弦 定 理 得 sin sin sin cosA B C C sin sin( ( ) sin( )A B C B C 又 sin( ) sin sin cosB C B C C -2 分 sin cos cos sin sin sin sin coscos sin sin sin -40, ,sin 0tan 1 0,-64B C
17、 B C B C B CB C B CCBB 即 分又 C B 分（ 2） 在 BCD 中 ， BD=2,DC=1,由 余 弦 定 理 得2 5 4cos 8BC D 分2,2 41 1 1 5 cos2 2 4 4ABCA B ABCS BC BC BC D 又 为 等 腰 直 角 三 角 形 1 sin sin -102 5 5+ = cos sin 2sin( )+4 4 43 50, sin( ) 1 , ABCD 2+ -124 4 4BCDABCD ABC BCDS BD CD D DS S S D D DD D 分D 当 即 时 四 边 形 面 积 有 最 大 值 分20、 （
18、1） 证 明 ：取 AD中 点 O， 连 接 OP， OC， AC， 依 题 知 ， PAD， ACD均 为 正 三 角 形 ，所 以 OP AD， OC AD2分, , 4OC OP O OP POC OC POCAD POC 又 平 面 平 面平 面 分 , / 6PC POC AD PCABCD AD BCBC PC 又 平 面又 为 菱 形 分（ 2） 由 （ 1） 知 OP AD， 又 平 面 PAD 平 面 ABCD， 平 面 PAD 平 面 ABCD=AD，, 8PO PAD PO ABCD OC PAD 平 面 平 面 同 理 可 证 平 面 分以 O为 原 点 ， 建 立 如
19、 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 O-xyz,则则 (0,0, 3), (0, 1,0), (0,1,0), ( 3,0,0)( 3,0, 3), (0,2,0), (0,1, 3)( 3 ,1, 3 3 )P A D CPC AD APAM AP PC 2 2( , , )0 ( 1,0, ) 100 ( 3,0,0)3( 1) 2 5cos , 5( 1) 31 1( )3 13 n x y zn AM nn AD OCn OCn OC n OCP AD M 设 平 面 MAD法 向 量 为则 得 分显 然 平 面 PAD的 一 个 法 向 量 为依 题解 得 或 舍 去所 以
20、 当 时 ,二 面 角 的 平 面 角 的 余 弦 值 2 5 125 为 分21、 解 :（ ） 由 题 意 知 ， 20 1(4 ) 6y P x PP P - 2 分将 24xP 代 入 上 式 并 化 简 得 24 319 02 2y x x ax - 4分（ ） 24 3 3 162 19 22 ( 2)2 2 2 2a y x xx x 当 时1622 3 ( 2) 10216 2 2 ,22 xx x xxx 当 且 仅 当 即 时 上 式 取 等 号即 时 y有 最 大 值 10 7分24 3 3 160 2 19 22 ( 2)2 2 2 2a y x xx x 当 时 0,
21、 ,a x a 在 上 单 调 递 增 故 当 时 y有 最 大 值 10分2 ,0 2 ,aa a 综 上 所 述 ,当 时 促 销 费 用 投 入 2万 元 时 ， 该 公 司 的 利 润 最 大 ;当 时 促 销 费 用 投 入 万 元 时 ， 该 公 司 的 利 润 最 大 ;-12分22、 （ 1） 依 题 意 得 2 22 2 22 1 1 22 22 2a b ac ba ca c b 解 得故 椭 圆 C的 标 准 方 程 为 ： 2 2 14 2x y -4 分（ ） 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , )P x y M x y N x y设1 21 21 2
22、1 2 12122 0 6OM ONk ky yx xx x y y 由 题 意 知即因 此 分1 2 1 22 22 2 2 21 1 2 22 2 , 2, 14 21, 14 2 4 2OP OM ON x x x y y yx yM Nx y x y 由 得又 两 点 均 在 椭 圆 上2 2 2 21 1 2 22 4, 2 4x y x y 即 -8 分2 2 2 21 2 1 1 2 22 2 2 21 2 1 1 2 2( 2 ) 4 4( 2 ) 4 4x x x x x x xy y y y y y y 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 1 2 22 2 2 21 1 1 2 1 2 2 22 4 4 2( 4 4 )( 2 ) 4( 2 ) 4( 2 )4 0 16 20x y x x x x y y y yx y x x y y x y 2 2 1-1020 10x y 即 分 1 21 21 21 2 , ,2 20=4 5=2 20 10=2 10( 10,0), ( 10,0)-12P F FPF PFFFF F 点 的 轨 迹 是 椭 圆 由 椭 圆 定 义 知 存 在 两 个 定 点使 为 定 值又 分
