1、4.2.3 直线与圆的方程的应用,【学习目标】,1.正确理解直线与圆的概念，并能解决简单的实际问题.2.能由直线与圆的位置关系解决简单的实际问题.,用坐标方法解决平面几何问题的“三步曲”(1)建立适当的_，用坐标和方程表示问题中的_，将平面几何问题转化为_；(2)通过代数运算，解决_；(3)把代数运算结果_.练习：(xa)2(yb)2r2表示圆心为_，半径为,_的圆.,平面直角坐标系,几何元素,代数问题,代数问题,翻译成几何结论,(a，b),|r|,【问题探究】用坐标方法解决平面几何问题的工具是什么？答案：用坐标方法解决平面几何问题的基本思想就是用代数的方法解决几何问题，而建立它们联系的主要工
2、具就是平面直角坐标系.,题型 1 直线与圆方程的实际应用,【例 1】 某市气象台测得今年第三号台风中心在某市正东300 km 处，以 40 km/h 的速度向西偏北 30方向移动，据测定，距台风中心 250 km 的圆形区域内部都将受到台风影响，请你推算该市受台风影响的起始时间与持续时间(精确到分钟).,思维突破：注意到受台风影响的范围是一个圆，受台风影响的时间由风向所在直线与圆形区域相交所得弦长确定，故只要建立适当的坐标系，求出风向及圆形区域的圆的方程，然后利用弦长公式即可解决.解：如图 D39，以该市所在位置 A 为原点，正东方向为 x轴的正方向建立平面直角坐标系，开始时台风中心在 B(3
3、00，0)处，台风中心沿倾斜角为 150方向直线移动，其轨迹方程为,图 D39该市受台风影响时，台风中心在圆 x2y22502 内，设射线与圆交于 C，D，则|CA|AD|250，所以台风中心到达 C点时，开始影响该市，中心移至 D 点时，影响结束，作 AH,【变式与拓展】,1.已知隧道的截面是半径为 4 m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为 2.7 m，高为 2.5 m 的货车能不能驶入这个隧道？假设货车的最大宽度为 a m，那么要正常驶入该隧道，货车的最大高度为多少米？,图 D41,题型 2 直线与圆的方程在平面几何中的应用,【例 2】 如图 4-2-1，在圆 O 上任取 C
4、 点为圆心，作一圆C 与圆 O 的直径 AB 相切于 D，圆 C 与圆 O 交于 E，F，且 EF与 CD 相交于 H.,求证：EF 平分 CD.,图 4-2-1,证明：以AB 所在直线为x 轴，O 为坐标原点建立平面直角,图 4-2-2,圆 O：x2y2r2，,两方程作差得直线 EF 的方程为,EF 平分 CD.,【变式与拓展】,2.如图 4-2-3，RtABC 的斜边长为定值 2m，以斜边的中点 O 为圆心作半径为 n 的圆，BC 的延长线交圆于 P，Q 两点，求证：|AP|2|AQ|2|PQ|2 为定值.,图 4-2-3,证明：如图 D42，以 O 为坐标原点，以直线 BC 为 x 轴，
5、建立平面直角坐标系,于是有B(m,0)，C(m,0)，P(n,0)，Q(n,0).,图 D42,设A(x，y)，由已知，点A在圆x2y2m2上. |AP|2|AQ|2|PQ|2 (xn)2y2(xn)2y24n2 2x22y26n22m26n2(定值).,题型 3 最值问题【例3】 若x，y满足(x1)2(y2)24，求z2xy的最大值和最小值.解：(x1)2(y2)24表示以(1，2)为圆心，半径为2的圆.由 z2xy，得 y2xz，当直线和圆相切时，z 取得最大值和最小值.当直线与圆相,【变式与拓展】,个公共点，求 b 的取值范围.,易错分析：没考虑到变量的取值范围.利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数表达式赋予几何意义，看成是某个几何量的大小，把问题转化为求此几何量的最值问,图D40,方法规律小结,1.采用数形结合思想求某些二元代数式的最值是直线和圆的方程的一个重要应用，它是利用代数式的几何意义转化为斜率、截距、距离等来求解.,2.利用坐标法解决平面几何问题，将几何中“形”的问题转化为代数中“数”的问题.适当建系时，通常取定直线为坐标轴，定点或线段的中点为原点，使其具有对称性，这样便于设坐标，很多实际问题也可采用这种方法转化.,
