1、考点 60 不等式的证明、柯西不等式1已知函数 （1）解不等式 ；（2）设函数 的最小值为 c，实数 a，b 满足 ，求证： 【答案】 （1） ； （2）见解析2已知函数 .（1）当 时，解不等式 ；（2）若 的解集为 ， ，求证： .【答案】(1) ；(2)证明见解析.3已知函数 . (1)求不等式 的解集 ；(2)设 ，证明 : .【答案】(1) (2)见解析【解析】（1）当 时， 恒成立，所以 ； 当 时， ，所以 ，综合可知，不等式 的解集为 .4设函数 ， （实数 ） （1）当 ，求不等式 的解 集；（2）求证： .【答案】 （1） ；（2）【解析】（1）原不等 式等价于 ，当 时，
2、可得 ，得 ；当 时，可得 ，得 不成立； 当 时，可得 ，得 ； 综上所述，原不等式的解集为 5 已知函数 ，关于 的不等式 的解集记为 .（1）求 ；（2）已知 ， ，求证： .【答案】 （1） （2）见解析【解析】 （1）由 ，得 ，即 或 或解得 或 ，所以，集合 . （2）证明： ， ， ， ， ， ， ， . 6 已知 ，且 ，证明：（1） ；（2） .【答案】 （1）见解析（2）见解析7 关于 的不等式 的解集为 .（1）求实数 的值；（2）若 ，且 ，求证： .【答案】 （1）1（2）见解析【解析】8已知函数 ， .（1）解不等式 ；（2）设 ，求证： .【答案】 （1） ；（
3、2）证明见解析.【解析】（1）由题意得原不等式为 ，等价于或 或 ，解得 或 或 ，综上可得 原不等式的解集为 （2），当且仅当 时等号成立 9已知实数 x, y 满足 .（1）解关于 x 的不等式 ；（2）若 ，证明：【答案】 （1） ；（2）9（2） 且 ，. 当且仅当 时，取“=”. 10已知 ，且 .（1）若 恒成立，求 的取值范围；（2）证明： .【答案】(1) ;(2)见解析.当 时， ，解得 ，故 ；综上， .（2），.11已知函数 .（1）解不等式 ；（2）若 对任意 恒成立，求证： .【答案】(1) ；( 2)证明见解析.因为 对任意 恒成立，所以 ，又 ，所以 12 已知
4、，不等式 的解集是 .（1）求集合 ； （2）设 ，证明： .【答案】 （） . （）见解析. 13 已知函数 .（1）求不等式 的解集；2fx（2）记 的最大值为 ，证明：对任意的正数 ， ， ，当 时，有kabc成立.【答案】(1) ;(2)见解析.1,214 已知实数 满足 ，证明：,abc（1） ；（2） .【答案】( 1)见解析;(2) 见解析.【解析】 （1）由 ，得 ，所以 ，即 .因为 ，当且仅当 时，取等号，bc所以 ，所以 ，15 已知 ， （1）求 的最小值（2）证明： 【答案】 （1）3； （2）证明见解析【解析】 （1）因为 ， ，所以 ,即 ，当且仅当 时等号成立，
5、此时 取得最小值 3（2） 16已知函数 的图象的对称轴为 .1x（1）求不等式 的解集；（2）若函数 的最小值为 ，正数 ， 满足 ，求证： .fxMabM1294ab【答案】(1) (2)见解析17已知函数 的定义域为 ；R（1）求实数 的取值范围；m（2）设实数 为 的最大值，若实数 ， ， 满足 ，求 的最t abc小值.【答案】 （1） ；（2）3m518 已知函数 的最小值为 m（1）求 的值；m（2）若 ， ， ，求证 0aba149ab【答案】 （1） （2）见解析4【解析】 （1） ，取等号时， ，即 ，31x故 m=4 （2）由（1）a+b=4，所以 因为 ，取等号时， ，
6、因为 a+b=4，所以 a= ， 故 4ab438b149ab19 （1 ）已知函数 .若 时， ，求实数 的取值范围；0,3xfx（2）已知 ，且 ，求证： .,abcR1abc【答案】(1）7，7 （2）见解析【解析】 、 （1）当 时， 即 ，由此 在 上恒成立，0,3x4fx 0,3故得 且 当 时， 的最小值为 ，所以 的取值范围是 a7,27a7（2）因为 ，所以 ，所以，故 . 20 已知函数 f(x)=x+2,g(x)=2-2x,（）若 ，且 恒成立，求实数 的取值范围；（）若 ，求 的最大值【答案】(1) ;(2) .21已知函数 .（1）解不等式 ；（2）记函数 的最小值为
7、 ，若 ， ， 均为正实数，且 ，求 的最小值.【答案】(1) （2）22选修 4-5：不等式选讲（1）已知 ， 都是正实数，且 ，求 的最小值；（2） ， ，求 .【答案】(1) ;(2)见解析.【解析】 （1）由柯西不等式得 ，当且仅当 时取等号； ， 的最小值为 .（ 2） .23 已知函数 （）若 ，且 恒成立，求实数 的取值范围；（）若 ，求 的最大值【答案】 （） ；（） .24 已知函数 的最小值为 （ ， ， 为正数）.（1）求 的最小值；（2）求证： .【答案】 （1）36；（2）见解析.【解析】 （1） （当且仅当 时取等号） ，由题意，得 .根据柯西不等式，可知 ， . 的最小值为 36.（2） ， ， ， ， . 25已知 a，b，c 均为正数，且 abc1，则 的最大值为_【答案】
