1、1柯西不等式教学题库大全基本方法（1）巧拆常数：例 1：设 a、 b、 c为正数且各不相等。求证： cbacba922（2）重新安排某些项的次序：例 2： 、 为非负数， a+b=1， Rx21,求证： 212121)(xx（3）改变结构：例 3、若 abc 求证： ca4（4）添项：例 4： R,求证： 23bcba【1】 、设 6 ),21(a，则 之最小值为_；此时_。答案：18; 4 解析： 18a 18bab之最小值为18，此时 )4,(2【2】 设 (1，0， 2)， b (x，y，z)，若 x2 y2 z2 16，则 的最大值为 。【解】 a (1，0， 2)， (x，y，z)
2、a b x 2z由柯西不等式1 2 0 ( 2)2(x2 y2 z2) (x 0 2z)2 5 16 (x 2z)2 4 5 x 4 4 b 4 ，故 a b的最大值为 4 5【3】空间二向量 (1,3)a， (,)xyz，已知 6，则(1) ab的最大值为多少？(2)此时？Ans：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设 a、b、c 为正数，求 493()()abc的最小值。Ans：121【5】. 设 x，y，z R，且满足 x2 y2 z2 5，则 x 2y 3z 之最大值为 解(x 2y 3z)2 (x2 y2 z2)(12 22 32) 514 70 x 2y 3z 最大值为 70
3、【6】 设 x，y，z R，若 x2 y2 z2 4，则 x 2y 2z 之最小值为 时，(x，y，z) 解(x 2y 2z) 2 (x2 y2 z2)12 ( 2) 2 22 49 36 x 2y 2z 最小值为 6， 公式法求 (x，y，z) 此时 32)(2612zy 2 32x， 4y， 3z【7】设 ,zR， 225x，试求 2xyz的最大值 M 与最小值 m。Ans： 15;mM【8】 、设 25 , ,2zyxzy，试求 zyx2的最大值与最小值。答：根据柯西不等式)()(1)1( 2x即 92而有 55zy故 的最大值为 15，最小值为15。【9】 、设 6 , xzxR，试求
4、 22zyx之最小值。答案：考虑以下两组向量u = ( 2, 1, 2) v =( x, y, z ) 根据柯西不等式 22)(vu，就有)()1()212 2222zy 即(9zyxx 将 6yx代入其中，得 )93622zyx 而有4 故 之最小值为 4。【10】设 ,yzR， 26，求 22z的最小值 m，并求此时 x、y、z 之值。Ans： )3,(),(;xm【11】 设 x，y，z R，2x 2y z 8 0，则(x 1) 2 (y 2)2 (z 3)2之最小值为 解： 2x 2y z 8 0 2(x 1) 2(y 2) (z 3) 9，考虑以下两组向量u = ( , , ) ，
5、v =( , , ) 22(vu2(x 1) 2(y 2) (z 3)2 (x 1)2 (y 2) 2 (z 3) 2(2 2 22 12) (x 1)2 (y 2) 2 (z 3) 2 9)( 9【12】设 x, y, zR，若，则 22)1(zyx之最小值为_，又此时 y_。解： 2x 3(y 1) z ( )，考虑以下两组向量u = ( , , ) ， v =( , , ) 3解析： 1436)()32(1)3(2)1( 2222 zyxzyxzyx 最小值 718, ,(13txyztt 7t 7y【13】 设 a，b，c 均为正数且 a b c 9，则 cba64之最小值为 解：考虑
6、以下两组向量u = ( , , ) ， v =( , , ) 22)v243( cba ( cba1694)(a b c) ( cba1694)9 (2 3 4)2 81 8 9【14】 、设 a, b, c 均为正数，且，则 cba321之最小值为_，此时_。解：考虑以下两组向量u = ( , , ) ， v =( , , ) 22)v2222222 )31()3(1()3)( cbac 18)3(cba，最小值为 18 等号发生于 vu/ 故 又 3【15】. 设空间向量 a的方向为， ，0 ， ，csc 2 9 csc2 25 csc2 的最小值为 。解 sin 2 sin2 sin2
7、2 由柯西不等式 (sin 2 sin2 sin2) 22)sin5()si3()sin1( (1 3 5)2 2(csc2 9csc2 25csc2) 81 csc 2 9csc2 25csc2 8 故最小值为 281【注】本题亦可求 tan2 9 tan2 25tan2 与 cot2 9cot2 25cot2 之最小值，请自行练习。【16】. 空间中一向量 a与 x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为，（， 均非象限角） ，求 222sini4sin1的最小值。4解 : 由柯西不等式 )sini(sin)i3)sin2()si1( 222 )iii 2222222 )31()sini(si
8、ni9)sin4()si1( sin 2 sin2 sin2 2 2 6i9i4i12228)sin9i4sin1(222 iii的最小值 18【17】.空间中一向量 a的方向角分别为 ,，求 2229516sinisin的最小值。答 72 利用柯西不等式解之【18】 、设 x, y, zR，若 4)2()1(2zyx，则之范围为何？又发生最小值时，？答案： 若 4523zyx又 t213 71t 7x【19】 设ABC 之三边长 x，y，z 满足 x 2y + z = 0 及 3x + y 2z = 0，则ABC 之最大角是多少度？【解】 023zyx x：y：z = 21： 31： 2=
9、3：5：7设三边长为 x = 3k，y = 5k，z = 7k 则最大角度之 cos = )()(2k= 1， = 120【20】. 设 x，y，z R 且 14)3(5)2(16)( 22zyx，求 x y z 之最大值，最小值。Ans 最大值 7；最小值 3【解】 4)3(5)2(16)(22zyx由柯西不等式知42 ( )2 22 222)3()5()1(zyx 2)5()41(yx52)3(z 25 1 (x y z 2) 2 5 |x y z 2| 5 x y z 2 5 3 x y z 7故 x y z 之最大值为 7，最小值为 3【21】. 求 2sin cos sin cos
10、cos 的最大值与最小值。答. 最大值为 2，最小值为 2【详解】令向量 a (2sin， 3cos， cos)， b (1，sin ，cos)由柯西不等式 | b| |a| |得| 2sin cos sin cos cos | 222cos3sin4，22cossin1 )co1)(cos(in422 所求最大值为 ，最小值为 【22】ABC 的三边长为 a、b、c，其外接圆半径为 R，求证：22222 36)sini1sin)( CBAcba证明：由三角形中的正弦定理得Rsin，所以 4iaR，同理 224i1bB， 224sin1cRC于是左边=222 36)()4)( aRcbacba
11、 。【23】求证:点 P(x0,y0)到直线 Ax+By+C=0 的距离 d= 20|Ayx.证明:设 Q(x,y)是直线上任意一点,则 Ax+By+C=0.因为|PQ| 2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B20,由柯西不等式得(A2+B2)(x-x 0)2+(y-y0)2A(x-x 0)+B(y-y0) 2=(Ax+By)-(Ax 0+By0) 2=(Ax0+By0+C)2,所以|PQ|0|BACyx.当 200BACyx时,取等号,由垂线段最短得 d= 20|BACyx.【24】已知正数 x,y,z 满足 x+y+z=xyz,且不等式 zyx11 恒成立,求 的范围.解析:由二元均
12、值不等式及柯西不等式,得 xzyx11 )(221 zyxzyxzyxzy 3)(22 zxzzy故 的取值范围是 23,+).6温馨提示本题主要应用了最值法,即不等式 xzyx11 恒成立,等价于( xzyx11)max,问题转化为求 f(x,y,z)= zy的最大值.【25】设 a,b,c,x,y,z 均为正实数,且满足 a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求 zyxcba的值.解析:根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式.由柯西不等式等号成立的条件,知 zcybx=,再由等比定理,得 zyxcba=.因此只需求 的值即可.由柯西不等式,得 302=(a
13、x+by+cz)2(a 2+b2+c2)(x2+y2+z2)=2536,当且仅当 = 时,上式等号成立.于是 a=x,b=y,c=z,从而有 2(x2+y2+z2)=25,= 65(舍负),即 65zcybxa.竞赛欣赏1 （1987 年 CMO 集训队试题）设 ,abcR，求证：5533abc（2-10）证明：因 22，由定理 1 有4422()abccab此即（2-10）式。2 设 ,R，求证： 223()abc 证明：由均值不等式得 32 32,cabc，故3 22()abbabc即 222()()()cc.又由柯西不等式知 223abab，故 223()abcabc又由定理 1，得原式左4422222()()ccababcab原式右
