1、2018 年高三二轮复习讲练测之测案【新课标版理科数学】专题 10 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质的应用总分 150 分 时间 120 分钟 班级 _ 学号 _ 得分_（一）选择题（12*5=60 分）1.【2018 届广东省五校协作体高三第一次联考试卷（1 月） 】已知 是抛物线上一点， 是抛物线 的焦点，若 ， 是抛物线 的准线与 轴的交点，则 （ ）A. 45 B. 30 C. 15 D. 60【答案】A【解析】因为 ，所以 ，所以 ,选 A.2.【2018 届河南省高三上学期联考】过抛物线 （ ）的焦点 作斜率大于的直线 交抛物线于 ， 两点（ 在 的上方） ，且 与准线交于点 ，若，
2、则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分别过 作准线的垂线，垂足分别为 ，设 ，则， ，故选 A.3.【2018 届河北省沧州市高三上学期联考】设 为抛物线 的焦点，过点的直线 交抛物线 于 两点，点 为线段 的中点，若 ，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】很明显直线的斜率存在，设直线方程为 ，与抛物线联立可得： ，则： ，即 ，而 ，利用两点之间距离公式可得： ，整理化简可得： .利用韦达定理有： ，则： ， ，由弦长公式可得： .本题选择 D 选项.4.【山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校 2017 届高三上学期第二次联考】已知抛物线 ： 的焦点为 ，点
3、 为 上一动点， ，且 的最小值为 ，则 等于（ ）A4 B C5 D【答案】B5. 【2018 届河北省张家口市高三上学期期末】已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ， 为双曲线右支上一点，且满足，则 的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】 双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ， ，可得 ， ， ， 由得， 的周长为 ，故选 C.6.设点 是椭圆 上一点， 分别是椭圆的左、右焦点， 为的内心，若 ，则该椭圆的离心率是（ ）A B C D【答案】C7.【2018 届江西省赣州上学期期末】双曲线 的左右顶点分别为 ，右支上存在点 满足 （其中 分别为直线 的倾
4、斜角） ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】设 ，则 ，则 ，又 ，所以 ，则 ，即 ，所以 ，故选 D.8. 在等腰梯形 中， ，其中 ，以为焦点且过点 的双曲线的离心率为 ，以 为焦点且过点 的椭圆的离心率为，若对任意 都有不等式 恒成立，则 的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】如图，过 作 交 于 ，则 ， ，所以， ，所以 ，所以 ，令 ，则 ， 因，故 ，所以 ，选 C.9. 已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， 为椭圆 的右焦点，圆上有一动点 ， 不同于 两点，直线 与椭圆 交于点 ，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】
5、由题意得 ， 设点 的坐标为 ，则 ，又 且 ， 或 ，故 的取值范围为 选 D10.【2018 届安徽省黄山市高三一模】已知椭圆和双曲线有共同焦点 , 是它们的一个交点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为 ，则 的最大值为（ ）A. B. C. 2 D. 3【答案】A【解析】考查一般性结论，当 时：设 ，椭圆的长半轴长为 ，双曲线的长半轴长为 ，两曲线的焦距为，结合题意有： ，两式平方相加可得： ，两式平方作差可得： ，由余弦定理有： ，则： ， ，即 ，结合二倍角公式有： .本题中， ，则有： ，即 ，则 ，当且仅当 时等号成立，据此可得 的最大值为 .本题选择 A 选项.11.【2018
6、 届湖北省部分重点中学高三上学期第二次联考】如图，已知抛物线的焦点为 ，直线 过点 且依次交抛物线及圆 于四点，则 的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】y 2= x，焦点 F（ ，0） ，准线 l 0：x= ，由圆：（x ）2+y2=2 圆心（ ，0） ，半径为 ；由抛物线的定义得：|AF|=x A+ ，又|AF|=|AB|+ ，|AB|=x A+ 同理：|CD|=x D+ ，当 ABx 轴时，则 xD=xA= ，|AB|+4|CD|=15 当 AB 的斜率存在且不为 0，设 AB：y=k（x ）时，代入抛物线方程，得：k2x2（ k2+ ）x+8k 2=0，x AxD=
7、8，x A+xD= ，|AB|+4|CD|=（x A+ ）+4（x D+ ）=5 +xA+4xD +2 =13 当且仅当 xA=4xD，即 xA=2，x D=时取等号，综上所述|AB|+4|CD|的最小值为故答案为：C.12.【2018 届广西防城港市高中毕业班 1 月模拟】已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过点 的直线交双曲线右支于 两点，若 是等腰三角形， .则 的周长为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】双曲线的焦点在 轴上，则 ；设 ，由双曲线的定义可知： ，由题意可得： ，据此可得： ，又 ，由正弦定理有： ，则 ，即： ，解得： ，则ABF 1的周长为： .本题选择 C
8、选项.二、填空题（4*5=20 分）13.【2018 届安徽省马鞍山市高三上学期期末】已知双曲线 的焦点为 ， ， 为双曲线 上的一点且 的内切圆半径为 1，则 的面积为_.【答案】【解析】如图，设 的内切圆与 轴相切于实点 ，根据切线性质及双曲线的定义可得,结合 ，解得 ,所以 的内切圆与 轴相切于实轴端点 ，因为 ，故，可得 ， 轴，从而双曲线方程中令得 ，故答案为 .14.点 为双曲线 右支上的一点，其右焦点为 ，若直线 的斜率为 ， 为线段 的中点，且 ，则该双曲线的离心率为_【答案】15.【2018 届福建省三明市 A 片区高中联盟校高三上学期期末】双曲线 ： 的左、右焦点 ， ，过
9、 的直线交双曲线左支于 ， 两点，则的最小值为_【答案】10【解析】根据双曲线 得根据双曲线的定义相加得由题意可知 ,当 是双曲线通径时 最小即有即有故答案为 1016.【2018 届辽宁省沈阳市郊联体高三上学期期末】已知椭圆 的右焦点为 ， 是椭圆上一点，点 ，当 的周长最大时， 的面积为_【答案】【解析】椭圆 中， 由题意，设 F是左焦点，则APF周长=|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2a-|PF|=4+6+|PA|-|PF|10+|AF|（A，P，F三点共线时，且 P 在 AF的延长线上，取等号） ，此时设 则 ，由余弦定理得，所以 的面积故答案为.三、解答题（6*12
10、=72 分）17.【2018 届陕西省西安市高三上学期期末】 已知椭圆 ： （ ）的离心率为 ，短轴端点到焦点的距离为 .（1）求椭圆 的方程；（2）设 ， 为椭圆 上任意两点， 为坐标原点，且 .求证：原点 到直线 的距离为定值，并求出该定值.【答案】 （1） .（2）见解析.试题解析：（1）由题意知， ， ，又 ，所以 ， ， 所以椭圆 的方程为 .（2）证明：当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 .此时，原点 到直线 的距离为 .当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ， .由 得则 ， 则 ，由 得 ，即，所以 ，即 ，所以原点 到直线 的距离为综上，原点 到直线 的距离为定值
11、.18.如图，已知点 ，点 ， 分别在 轴、 轴上运动，且满足 ，设点 的轨迹为 （1 ）求轨迹 的方程；（2 ）若斜率为 的直线 与轨迹 交于不同两点 ， (位于 轴上方)，记直线 ，的斜率分别为 ， ，求 的取值范围【答案】 （1） ；（2 ） 【解析】（1 ）设 ， ， 为 的中点，则 ， ， ， ， ， 即 ；（2 ）设直线 ： ，联立抛物线方程 ，设， ， ，即 ， ， ，即 的取值范围是 19.【2018 届湖北省武汉市武昌区高三元月调研】已知椭圆 C： 经过点 ，且离心率为 .（1）求椭圆 C 的方程；（2）设直线 ： 与椭圆 C 交于两个不同的点 A，B，求 面积的最大值（O
12、为坐标原点） 【答案】(1) ；(2) .【解析】 【试题分析】 （1）将 点坐标代入椭圆方程，结合椭圆离心率和 ，列方程组，求出 的值.由此求得椭圆方程.（2）联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理和判别式.根据弦长公式和点到直线距离公式，求得 面积的表达式，最后利用基本不等式求最大值.【试题解析】（1）由题意，知 考虑到 ，解得所以，所求椭圆 C 的方程为 . （2）设直线 的方程为 ，代入椭圆方程 ，整理得 .由 ，得 . 设 ， ，则 ， .于是.又原点 O 到直线 AB： 的距离 .所以 .因为 ，当仅且当 ，即 时取等号.所以 ，即 面积的最大值为 . 20. 【2018 届安徽
13、省合肥市高三第一次教学质量检测】已知抛物线上一点 的纵坐标为 4，且点 到焦点 的距离为 5.（1）求抛物线 的方程；（2）设斜率为 的两条平行直线 分别经过点 和 ，如图. 与抛物线 交于 两点， 与抛 物线 交 两点.问：是否存在实数 ，使得四边形 的面积为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1) ；(2)答案见解析.试题解析：（1）由抛物线定义知，点 到抛物线 的准线的距离为 5.抛物线 的准线为 ， ，解得 ，抛物线的方程为 .（2）由已知得，直线 .由 消去 得 ， 这时， 恒成立， .同理，直线 ，由 消去 得 ， 由 得 ， ，又直线 间的距离 ，则四边形 的
14、面积 .解方程 得， 有唯一实数解 2 (满足大于 1)，满足条件的 的值为 .21.已知点 的坐标为 ， 是抛物线 上不同于原点 的相异的两个动点，且 （1）求证：点 共线；（2）若 ，当 时，求动点 的轨迹方程【答案】 （1）证明见解析；（2） .【解析】（1）设 ，则 ，因为 ，所以 ，又 ，所以因为 ， ，且 ，所以 ，又 都过点 ，所以三点 共线（2）由题意知，点 是直角三角形 斜边上的垂足，又定点 在直线 上，所以设动点 ，则 ，又 ，所以 ，即动点 的轨迹方程为 22 【2018 届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测】在平面直角坐标系中，圆 交 轴于点 ，交 轴于点 .以 为顶点
15、， 分别为左、右焦点的椭圆 ，恰好经过点 .（1）求椭圆 的标准方程；（2）设经过点 的直线 与椭圆 交于 两点，求 面积的最大值.【答案】(1) （2）当直线 的斜率为 时，可使 的面积最大，其最大值 .【解析】试题分析：（1）由已知可得，椭圆 的焦点在 轴上.设椭圆 的标准方程为，易知 ，结合椭圆过点 ，可得椭圆 的标准方程为 . （2）由题意可知直线 的斜率存在.设直线方程为 ， .联立直线方程与椭圆方程有 .直线与椭圆交于不同的两点，则 ， ，由弦长公式可得，而点 到直线 的距离，据此可得面积函数 .换元令 ， ，结合二次函数的性质可得当直线 的斜率为 时，可使 的面积最大，其最大值.（2）由于点 在椭圆 外，所以直线 的斜率存在.设直线 的斜率为 ，则直线 ，设 .由 消去 得， .由 得 ，从而 ， .点 到直线 的距离 ， 的面积为 .令 ，则 ， ，当 即 时， 有最大值， ，此时 .所以，当直线 的斜率为 时，可使 的面积最大，其最大值 .
