1、 扬州中学高三数学试卷 2018.5.18必做题部分 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1、已知集合 则 1,0221,ABxnZAB2、已知复数 （其中 是虚数单位， ） ，若 是纯虚数，则ziaiiaR12z的值为 a3、从集合1,2,3中随机取一个元素，记为 ，从集合2,3,4中随机取一个元素，记为 ，则a b的概率为 b4、对一批产品的长度（单位:毫米）进行抽样检测，样本容量为400，右图为检测结果的频率分布直方图，根据产品标准，单件产品长度在区间 的为一等品，在区间 和 的为二等品，25,30)20,5)3,)其余均为三等品
2、，则样本中三等品的件数为 5、运行右面的算法伪代码，输出的结果为 S= 6、若双曲线 的离心率为 ，2:1(0,)xyCab10则双曲线 的渐近线方程为 7、正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 2，侧棱长为 ，D 为 BC 中3点，则三棱锥 A-B1DC1 的体积为 8、函数 的图象向右平移 个单位后，与函数cos(2)yx2的图象重合，in3则 9、若函数 为偶函数，则 a= 2()ln()fxax10、已知数列 与 均为等差数列（ ） ，且 ，则 nnN1210=a11、若直线 与直线 交于点 ，则 长度的最大值为 20kxy230xkyPO S0 101()PrintForim
3、ToStepEdS12、如图，已知 ， ，M 为 BC 的中点，D 为以 AC 为直径的圆上4ACB90AC一动点，则 AMD的最小值是 13、已知函数 ，函数 ，其中 ，若函2,xf2gxbfxbR数恰有 4 个零点，则实数 的取值范围是 yfxgb14、已知 ,均为非负实数，且 1xy，则224(1)xyxy的取值范围为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15、已知 ABC的三个内角 ,ABC所对的边分别为 ,abc,向量 (1,2)m，2(cos,)n，且 1mn.(1)求角 A 的大小；(2)若 23bca，求
4、 的值si()4B16、如图，四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，PA平面A BCMD(第 12 题图)ABCD，BD 交 AC 于点 E，F 是线段 PC 中点，G 为线段 EC 中点（1）求证：FG/平面 PBD；（2）求证：BDFG17、已知椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ，直线 与直线)0(1:2bayxCFAF垂直，垂足为 ，且点 是线段 的中点.03yxBAB（1）求椭圆 的方程；（2）若 ， 分别为椭圆 的左，右顶点， 是椭圆 上位于第一MNPC象限的一点 ，直线 与直线 交于点 ，且 ，求点 的坐标.P4xQ9MNA18、中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一，给人以
5、美的享受如图为一花窗中的一部分，呈长方形，长 30 cm，宽 26 cm，其内部窗芯（不含长方形边框）用一种条形木料做成，由两个菱形和六根支条构成，整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称设菱形的两条对角线长分别为 x cm 和 y cm，窗芯所需条形木料的长度之和为 L（1）试用 x，y 表示 L；（2）如果要求六根支条的长度均不小于 2 cm，每个菱形的面积为 130 cm2，那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料（不计榫卯及其它损耗）？19、已知函数 ， 2()xfe（1）求函数 的单调区间；（2）当 时，判断函数 有几个零点，并证明你的结论；240me2(),(0)xgme（3）设
6、函数 ，若函数 在 为增函211()+hxffcx()hx0,数，求实数 的取值范围 c20、已知数列 中， ，前 项和为 ，若对任意的 ，均有na1nnS*nN（ 是常数，且 ）成立，则称数列 为“ 数列”.nkS*kNa()Hk（1）若数列 为“ 数列” ，求数列 的前 项和 ；n()HnnS（2）若数列 为“ 数列” ，且 为整数，试问：是否存在数列 ，使得a22ana对任意 ， 成立？如果存在，求出这样数列 的 的所有1|40nn* 2可能值，如果不存在，请说明理由。扬州中学高三数学试卷 2018.5.18附加题21A选修 4-1：几何证明选讲如图，O 的直径 AB 的延长线与弦 CD
7、 的延长线相交于点 P，E 为O 上一点，AE=AC， DE 交 AB 于点 F求证： PDF POC21B选修 4-2：矩阵与变换已知矩阵 ，求矩阵 M 的特征值及其相应的特征向量201M21C选修 4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的正l3Rx半轴建立平面直角坐标系，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，求直线 与C2cos,1xyl曲线 的交点 P 的直角坐标。C21D选修 4-5：不等式选讲设 a，b，c， d 都是正数，且 求证：22,xabycd()()xyabc22、甲、乙两班各派三名同学参加知识竞赛，每人回答一个问题，答对得 1
8、0 分，答错得 0分，假设甲班三名同学答对的概率都是 ，乙班三名同学答对的概率分别是 ，且这2321,3六名同学答题正确与否相互之间没有影响（1）记“甲、乙两班总得分之和是 60 分”为事件 A，求事件 A 发生的概率；（2）用 X 表示甲班总得分，求随机变量 X 的概率分布和数学期望23、已知函数 ，设 为 的导数， 0sinaxfebnfx1nf*nN（1）求 ， ； 1x2（2）猜想 的表达式，并证明你的结论nf扬州中学高三数学试卷参考答案 2018.5.181.1 ； 2. 4； 3. ； 4.100； 5. ； 6. y3x； 89 10117. 1；8. ； 9.1； 10. 20
9、； 11. ； 12. ； 13. ； 5628-457,2414.2,43 14.解：因为 ,0xy，所以222()()xyxy，令 txy，则 01t 2224(1)4(1)514ttt当 且 t，即 ,y或 ,0x时取等号；另一方面， 2222()33xttt当 6y时取等号所以 41,4xyxy15.解：(1)由题意得22 2cosscos1cscosAmn AA 又因为 1n，所以 21，解得 或 1 0,3 7 分 (2)在 ABC中，由余弦定理得 2221(3)bcbc 又 23bc， 2bc，代入整理得 30，解得 3， b，于是 a 即 ABC 为等边三角形， B14 分 6
10、2sin()sin()44416证明：（）连结 PE，因为 G.、F 为 EC 和 PC 的中点，平 面，平 面 PDEP,/GEF， 3 分/GP又 平面 ， 平面 ，所以 平面 7 分BDBGB（II）因为菱形 ABCD，所以 ，又 PA面 ABCD， 平面 ，所以ACABCD，A因为 平面 ， 平面 ，且 ， 平面 ，P平面 ，BDFG 14 分FC17. 解（1） （过程略） 6 分214xy（2）方法 1：“点参”设 ，则直线 的方程为 ，所以 0()P， MP0(2)+yx06(4,)+2yQx所以 8 分00066(+2)()2NQxyxAA， ，由 在椭圆上得 ，所以 10 分
11、0()y， 001208MPNxA所以 ，解得 或 （舍） ，所以 14 分2089+xx6(1,)方法 2：“ 参”k设直线 的方程为 ，由 得MP(2),0ykx24()xyk22(1)84kx因为 ，所以 ，所以 10 分M21Pk22(,),1P又 ，所以 ，(4,6)Qk22(,),6NQk所以 ，解得 ，故 ，所以 14 分2891NkA 6(1,)2P18.解：（1）水平方向每根支条长为 30215xmcm，竖直方向每根支条长为2632yncm，菱形的一条边长为222()xyycm所以 L2(15)4()8xyyx= 284()cm 6 分（2）由题意得 ，即 60x，由15,3
12、2xy得 130x 8 分32所以 26084()()Lx令 2t，其导函数 ， （ 130x ） ，261tx故60tx在13,上单调递减，故7,t 10 分所以 ，其中定义域32,1t12 分2845Ltt求导得 ，所以 在372,1t上为增函()1)0t 28450Lt数，故当 3t，即 3,2xy时 L 有最小值 169答：做这样一个窗芯至少需要 16459cm 长的条形木料 16 分19.解：（1） ，2()()()xxxef ex,00 ,22 ,()f- 0 0A极小值 A极大值 A所以单调增区间 ，单调减区间为 、 4 分,2,（2）函数 有 2 个零点。证明如下： 5 分()
13、()xgme因为 时，所以 ，24040e由 ， ，且 在 上单调递增且连续()()()gx,得 在 上仅有一个零点， 7 分gx,由上面可得 时， ，即 ，故 时， ，02fxf241xe0x2xe所以 ，424 4166()mmmgeee由 得 ，平方得 ，所以2xe4m4216me4()0g由 ， ，且 在 上单调递增且连续得 在 上仅有()0g()0()gx0, ()gx42,m一个零点，综上得：函数 有 2 个零点 10 分 2(),xe（3）记函数 ，下面考察 的符号11(),0xFfe()Fx求导得 2(),0xe 当 时 恒成立2x0当 时， ，02()()1x从而 222x1
14、1() 0xFeex 在 上恒成立，故 在 上单调递减x,)()F0,) ， ，又因为 在 上连续，2143()0(1 ()Fx,2所以由函数的零点存在性定理得 惟一的 ，使 12 分0(,2)x0 00(,);(,)xFx 201-,xche， 021(),xcxhe，因为 在 上增且连续，所以 在 ， 上恒成立()0,)()00(,()当 时， 在 上恒成立，即 在 上(2)xc2xce0(,)恒成立记 ，则 ，0(),xue03(),xue当 变化时， ， 变化情况如下表：()0(,)(3,)()ux0A极小值 A min31()()()uxe极 小故 ，即 i32c2c当 时， ，当
15、时， 在 上恒成立0x21()hxcx0()0hx0(,)综合（1） （2）知， 实数 的取值范围是 16 分c3e20. （1）因为数列 为“ 数列” ，所以 ，故na(1)H1nSa1(n2)nSa两式相减得 1,2n在 中令 ，则可得 ，故nS2a21所以 ，所以数列 为等比数列，*12,(,)aNn所以 ，所以 6 分n1nS（2）由题意得 ，故 ，2a12()na两式相减得 8 分21,()nn所以，当 时，2 2111()nnnnaa又因为 11,3nn所以 2 222 1()nnnaaa所以 211,()nn所以当 时，数列 是常数列， 11 分3nn所以 12 分22134,(
16、3)nnaa所以 因为 432所以 22213,(n3)nnaa在 中令 ，则可得 ，Sa所以 2940又 时 213a且 为整数2所以可解得 16 分2,56附加题答案 2018.5.1821.A选修 4-1：几何证明选讲证明：AE=AC，CDE=AOC，又CDE=P+PDF，AOC=P+OCP，从而PDF=OCP在PDF 与POC 中，P=P，PDF=OCP，故PDFPOC B选修 4-2：矩阵与变换解：矩阵 M 的特征多项式为 ，令 f（）=0，解得 1=1， 2=2， 4 分将 1=1 代入二元一次方程组 解得 x=0，所以矩阵 M 属于特征值 1 的一个特征向量为 ；同理，矩阵 M
17、属于特征值 2 的一个特征向量为 10 分C选修 4-4：坐标系与参数方程解：因为直线 的极坐标方程为 ，所以直线 的普通方程为 ，l3Rl3yx又因为曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，cos12xy所以曲线 的直角坐标方程为 ， C,联立解方程组得 或 0xy36根据 的范围应舍去 ,故 点的直角坐标为 10 分x2P(0,)注：多一解扣 2 分D选修 4-5：不等式选讲证明：（a 2+b2） （c 2+d2）（ac+bd） 2=（ a 2c2+a2d2+b2c2+b2d2）（a 2c2+2abcd+b2d2） =（adbc） 20，（a 2+b2） （c 2+d2）（ac+bd） 2 成
18、立，又 a，b，c，d 都是正数， ac+bd0，同理 ad+bc0，xy 22. 解：（1） 4 分16(A)()3324P（2）随机变量 X 的取值为 0，10，20，30.所以期望 10 分()20EXL23. 解：（1） 1sincosaxaxfxfebeb222si abe 2sinaxeb，其中 ， 1 分12inax 2inab2cos21s axxffbee2sicoaxbe，其中 ， 3 分nx 2sinba2cosab（2）猜想 ， 4 分2sinaxnfxbe*nN下面用数学归纳法证明：当 时， 成立， 112if假设 时，猜想成立k即 2sinkaxkfxbek当 时，1n1kff2sicos axaxbek 12 2incos k bbe xk12si1kaxbk当 时，猜想成立n由 对 成立 10 分2sinaxfe*nN
