1、选修 2-3 1.2.1 第 2 课时一、选择题1下列各式中与排列数 A 不相等的是( )mnA.n(n 1)！(n m)！B(nm1)( nm2)( n m3)nC. Ann m 1 n 1nDA A1n m 1n答案 C解析 由排列数公式易知 A、B、D 都等于 A ，故选 C.mn2用 1、2、3、4、5 这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )A36 B30 C40 D60答案 A解析 奇数的个位数字为 1、3 或 5，偶数的个位数字为 2、4.故奇数有 A 36 个35 353上午要上语文、数学、体育和外语四门功课，而体育教师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方
2、案的种数是( )A24 B22 C20 D12答案 D解析 先排体育有 2 种排法，故不同排课方案有：2A 12 种3点评 有受限元素时，一般先将受限元素排好，即“特殊优先 ”45 个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法总数为( )A18 B36 C48 D60答案 B解析 甲在排头或排尾站法有 A 种，再让乙在中间 3 个位置选一个，有 A 种站法，12 13其余 3 人有 A 种站法，故共有 A A A 36 种站法3 12 13 35由数字 0、1、2、3、4、5 可以组成能被 5 整除，且无重复数字的不同的五位数有( )A(2A A )个 45 3
3、4B(2A A )个45 35C2A 个 45D5A 个45答案 A解析 能被 5 整除，则个位须填 5 或 0，有 2A 个，但其中个位是 5 的含有 0 在首位45的排法有 A 个，故共有(2A A )个34 45 34点评 可用直接法求解：个位数字是 0 时有 A 种；个位数字是 5 时，首位应用451、2、3、4 中选 1 个，故有 4A 种，共有 A 4A 个34 45 3466 人站成一排，甲、乙、丙 3 人必须站在一起的所有排列的总数为( )AA B3A 6 3CA A D4！3!3 3答案 D解析 甲、乙、丙三人站在一起有 A 种站法，把 3 人作为一个元素与其他 3 人排列3
4、有 A 种，共有 A A 种故选 D.4 3 476 人站成一排，甲、乙、丙 3 个人不能都站在一起的排法种数为( )A720 B144 C576 D684答案 C解析 “不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间接法可得A A A 576.6 3 4点评 不能都站在一起，与都不相邻应区分8由数字 1、2、3、4、5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于43521 的数共有( )A56 个 B57 个 C58 个 D60 个答案 C解析 首位为 3 时，有 A 个24 个；4首位为 2 时，千位为 3，则有 A A 15 个，千位为 4 或 5 时有 A A 1
5、2 个；12 2 12 3首位为 4 时，千位为 1 或 2，有 A A 12 个，千位为 3 时，有 A A 15 个12 3 12 2由分类加法计数原理知，共有适合题意的数字 2451212558(个) 9用 0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的 6 位数，其中个位数字小于十位数字的六位数共有( )A300 个 B464 个 C600 个 D720 个答案 A解析 解法 1：确定最高位有 A 种不同方法确定万位、千位、百位，从剩下的 515个数字中取 3 个排列，共有 A 种不同的方法，剩下两个数字，把大的排在十位上即可，由35分步乘法计数原理知，共有 A A 300(个) 15 3
6、5解法 2：由于个位数字大于十位数字与十位数字小于个位数字的应各占一半，故有A A 300(个)12 15 510(2010广东理，8)为了迎接 2010 年广州亚运会，某大楼安装了 5 个彩灯，它们闪亮的顺序不固定每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这 5 个彩灯所闪亮的颜色各不相同，记这 5 个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为 5 秒如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是( )A1205 秒 B1200 秒C1195 秒 D1190 秒答案 C解析 由题意每次闪烁共 5 秒，所以不同的闪烁为 A 12
7、0 秒，而间隔为 119 次，所5以需要的时间至少是 5A (A 1)51195 秒5 5点评 本题情景新颖，考查了排列知识在生活中的应用以及运用数学知识解决实际问题的能力、分析解决问题的能力二、填空题11三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为_答案 24解析 “每人两边都有空位”是说三个人不相邻，且不能坐两头，可视作 5 个空位和3 个人满足上述两要求的一个排列，只要将 3 个人插入 5 个空位形成的 4 个空档中即可有 A 24 种不同坐法3412在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大 2 的数共有_个答案 448解析 千位数字比个位数字大
8、2，有 8 种可能，即(2,0)，(3,1)(9,7) 前一个数为千位数字，后一个数为个位数字其余两位无任何限制共有 8A 448 个28137 个人排一排，甲不在排头、乙不在排尾、丙不在正中间的排法有_种？答案 456解析 由题意知有 A 3A 3A A 456 种7 6 45 414(2010浙江理，17)有 4 位同学在同一天的上、下午参加“身高与体重” 、 “立定跳远”、 “肺活量” 、 “握力” 、 “台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有_种(用数字作答) 答案
9、264解析 由条件上午不测“握力” ，则 4 名同学测四个项目，则 A ；下午不测“台阶”4但不能与上午所测项目重复，如甲 乙 丙 丁上午 台阶 身高 立定 肺活量下午，下午甲测“握力”乙丙丁所测不与上午重复有 2 种，甲测“身高” “立定” 、 “肺活量”中一种，则 339，故 A (29)264 种4三、解答题15一场晚会有 5 个演唱节目和 3 个舞蹈节目，要求排出一个节目单(1)3 个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法？(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法？(以上两个题只列出算式)解析 (1)先从 5 个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有 A 种排法，再将剩余的 325个演唱
10、节目，3 个舞蹈节目排在中间 6 个位置上有 A 种排法，故共有 A A 种排法6 25 6(2)先不考虑排列要求，有 A 种排列，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从 58个演唱节目中选 4 个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有A A 种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有(A A A )种45 4 8 45 416六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？(1)甲不站右端，也不站左端；(2)甲、乙站在两端；(3)甲不站左端，乙不站右端解析 (1)解法一：因甲不站左右两端，故第一步先从甲以外的 5 个人中任选二人站在左右两端，有 A 种不同的站法；第二步
11、再让剩下的 4 个人站在中间的四个位置上，有 A25种不同的站法，由分步乘法计数原理共有 A A 480 种不同的站法4 25 4解法二：因甲不站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有 A种不同的站法；第二步再让余下的 5 个人站在其他 5 个位置上，有 A 种不同的站法，故14 5共有 A A 480 种不同的站法14 5解法三：我们对 6 个人，不考虑甲站位的要求，做全排列，有 A 种不同的站法；但其6中包含甲在左端或右端的情况，因此减去甲站左端或右端的排列数 2A ，于是共有 A 2A5 6480 种不同的站法5(2)解法一：首先考虑特殊元素，让甲、乙先站两端，有 A
12、种不同的站法；再让其他 42个人在中间 4 个位置做全排列，有 A 种不同的站法，根据分步乘法计数原理，共有4A A 48 种不同的站法2 4解法二：“位置分析法” ，首先考虑两端 2 个位置，由甲、乙去站，有 A 种站法，再2考虑中间 4 个位置，由剩下的 4 个人去站，有 A 种站法，根据分步乘法计数原理，共有 A4A 48 种不同的站法2 4(3)解法一：“间接法” ，甲在左端的站法有 A 种，乙在右端的站法有 A 种，而甲在5 5左端且乙在右端的站法有 A 种，故共有 A 2A A 504 种不同的站法4 6 5 4解法二：“直接法” ，以元素甲的位置进行考虑，可分两类：a.甲站右端有
13、 A 种不同的5站法；b.甲在中间 4 个位置之一，而乙不在右端，可先排甲后排乙，再排其余 4 个，有A A A 种不同的站法，故共有 A A A A 504 种不同的站法14 14 4 5 14 14 417用 0、1、2、3、4 五个数字：(1)可组成多少个五位数； (2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3) 可组成多少个无重复数字的且是 3 的倍数的三位数； (4)可组成多少个无重复数字的五位奇数解析 (1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理，455552500(个)(2)方法一：先排万位，从 1,2,3,4 中任取一个有 A 种填法，其余四个位置四个数字共14有 A 种，
14、4故共有 A A 96( 个)14 4方法二：先排 0，从个、十、百、千位中任选一个位置将 0 填入有 A 种方法，其余四14个数字全排有 A 种方法，4故共有 A A 96( 个)14 4(3)构成 3 的倍数的三位数，各个位上数字之和是 3 的倍数，将 0,1,2,3,4 按除以 3 的余数分成 3 类，按取 0 和不取 0 分类：取 0，从 1 和 4 中取一个数，再取 2 进行排，先填百位 A ，其余任排有 A ，故有12 22A A 种12 2不取 0，则只能取 3，从 1 或 4 中再任取一个，再取 2 然后进行全排为 2A ，所以共3有 2A A 2A 81220(个) 12 2
15、 3(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从 1、3 中选一个填入个位有 A 种填法，然12后从剩余 3 个非 0 数中选一个填入万位，有 A 种填法，包含 0 在内还有 3 个数在中间三位13置上全排列，排列数为 A ，故共有 A A A 36(个)3 12 13 318由 1、2、3、4、5 五个数字组成没有重复数字的五位数排成一递增数列，则首项为12 345，第 2 项是 12 354，直到末项(第 120 项) 是 54 321.问：(1)43 251 是第几项？(2)第 93 项是怎样的一个五位数？分析 43 251 以前的数都比 43 251 小，而以后的数都比 43 251 大
16、，因此比 43 251 小的个数加 1 就是 43 251 的项数反过来，从总个数中减去比 43 251 大的数的个数也是 43 251 的项数先算出比第 93 项大的数的个数，从总个数中减去此数，再从万位数是 5 的个数，逐步缩小直到第 93 项数为止，从而可得第 93 项那个数解析 (1)由题意知，共有五位数为 A 120(个)5比 43 251 大的数有下列几类：万位数是 5 的有 A 24(个)；4万位数是 4，千位数是 5 的有 A 6( 个)；3万位数是 4，千位数是 3，百位数是 5 的有 A 2( 个)，2比 43 251 大的数共有 A A A 32( 个)，4 3 243 251 是第 1203288(项 )(2)从(1)知万位数是 5 的有 A 24(个) ，万位数是 4，千位数是 5 的有 A 6(个)4 3但比第 93 项大的数有 1209327(个) ，第 93 项即倒数第 28 项，而万位数是 4，千位数是 5 的 6 个数是 45 321、45 312、45 231、45 213、45 132、45 123，由此可见第 93 项是45 213.高.考试题库
