1、 数学（理）试题第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设 ，则 （ ）12zii:zA B2 C D102522.已知集合 ， ，则 （ ）2|6x|1BxABA B C D1,3,01,32,03,01,23.某校为了解 1000 名高一新生的身体生长状况，用系统抽样法（按等距的规则）抽取 40 名同学进行检查，将学生从 进行编号，现已知第 18 组抽取的号码为 443，则第一组用:简单随机抽样抽取的号码为（ ）A16 B17 C18 D19 4.已知双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点重合
2、，则 为（ ）2103xya28yxaA B1 C.2 D4195.函数 的图象大致为（ ）xyA B C. D6. 的展开式中 的系数为（ ）512x3xA10 B-30 C.-10 D-207.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（ ）A-1 B0 C.7 D18.已知函数 ， 则 的一个单调递减区间2sin0fxx14ffx是（ ）A B C. D5,127,12,635,129.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外.”其中的“筹”愿意是指孙子算经中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，表示
3、一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推.例如 6613 用算筹表示就是 ，则9117 用算筹可表示为（ ） A. B C. D10.若实数 满足不等式组 ，则 的最小值是（ ）,xy3,72408,yxzxyA8 B4 C. 6 D211.某几何体三视图如图，则该几何体体积是（ ）A4 B C. D243812.下列命题为真命题的个数是（ ） ； ； ；2e2lnl1eln2A1 B2 C. 3 D4第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答
4、题纸上）13.已知 ， ，若 ，则 1,2a,4bk/abk14.如图，四棱锥 中， ，四边形 为正方形，PABCDABCD平 面，四棱锥 的五个顶点都在一个球面上，则这个球的表面积是 PA15.设 （ 为自然对数的底数） ，任取 ，则满足,|0,1Axyeye,abA的概率是 （结果用 e表示） 1ab16.设 是等差数列 的前 项之和，若 ， （ 为常数） ，nSna2014Sa2015Sb,a则 2016三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分 12 分）在 中，角 所对的边分别为 ， 的面积为 ，若ABC, ,ab
5、cABCS.2243abcS（）求角 的大小；（）若 ， ，求 的值.3c2Sab18.（本小题满分 12 分）已知由甲、乙两位男生和丙、丁两位女生组成的四人冲关小组，参加由安徽卫视推出的大型户外竞技类活动男生女生向前冲 ，活动共有四关，设男生闯过一至四关的概率依次是，女生闯过一至四关的概率依次是 .5432,6 4321,5（）求男生闯过四关的概率；（）设 表示四人冲关小组闯过四关的人数，求随机变量 的分布列和期望.19.（本小题满分 12 分）如图，在三棱锥 中，VABC， ， ， ， ，且 在平面 上的射影45AB2312ABVABC在线段 上.D（）求证： ；DCB（）设二面角 VA为
6、 ，求 的余弦值.20. （本小题满分 12 分）如图，点 ， 分别为椭圆 的左右顶点，2,0A,B2:10xyCab为椭圆 上非顶点的三点，直线 的斜率分别为 ，且 ，,PMNC,APB12,k12,4k， ./O/（）求椭圆 的方程；C（）判断 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.OMN21.（本小题满分 12 分）已知函数 .lnfxa（）若对定义域内任意 ， 成立，求实数 的取值范围；x0fa（）若 ，求证：对 ，不等式 恒成12012,x12fxffxf立.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分 10
7、 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中， 的参数方程为 （ 为参数） ，在以坐标原点为极xOy1C21,xty点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中， 的极坐标方程 .x22cos30（）说明 2C是哪种曲线，并将 C的方程化为普通方程；（） 1与 2有两个公共点 ，顶点 的极坐标 ，求线段 的长及定点 到,ABP2,4ABP两点的距离之积.,AB23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 .124fxx（）求 的最小值；yfx（）求不等式 的解集.61试卷答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：CBACADBD二、填空题13.2 14. 15. 21e
8、 16.12403216ba三、解答题17.解：（）因为 ，所以2243abcS2cossin32abCC化简得： tn3C，又 ， .0C18.解：（）记男生四关都闯过为事件 ，则A.543216PA（）记女生四关都闯过为事件 ，则B，54325B因为 ，640P，22112 93535C:，222 1244523PC:，21123535C:.21435P所以的分布列如下： 64952124016013255E.19.（）证明： VB， ， ，CBCV，VDAD平 面， .C 平 面（）解：（法一）作 垂足为 ，连接 ，EACVE则 为二面角 的平面角.VEB在 中， ， ， ，BD45D1
9、， ， ，1C 2在 中， 13A， ，2AB，2cos5C:，又 ， ，又 ， ，5DE V平 面 VD 3C2VD.1cosE（法二）在 中， ， ， ，BCD45DCB1， ， ，1 2在 中， 13A， ，2A又 ， VDC ，又 ， 2VD ，VDAB平 面 3如图建立直角坐标系， ， ， ，1,0,102,10,平面 的法向量为 ，ABCe平面 的法向量为 ，V2,.12cose:20.解：（）21,4APBbka:椭圆 .2:14xCy（）设直线 的方程为 ， ， ，MNykxt1,My2,Nxy，222,418404ykxtkt， ，12281txk241txk，12 1212
10、1212 0404ykyxkxttx:，4xktxt，22 2228410411ktttk2221211MNxkxx，2 22841114kttk2tdk， .2221ttSk的面积为定值 1.OMN21.（）解： 的导数为 ，lnfxaln10fxx令 得 ，0f 1e所以 ，min1yfae恒成立， ，即 ，所以 .0fxmin0ymin10yfae1e（）证明： 的导数为 lnfxx ，lfxa易知 在 上为增函数.ln1f 0,欲证明 ，21xffxf从图像分析可先证 ，1 2fffxffx先证明 1lnfxff ， 10，即证： 11lffx设 ， ，nFxx120x，1 1lnll
11、 0xfx 所以 在 内为减函数，11lnxffx12,x所以 ，故 对于 成立，10Fx1lnfxfx12,x欲证 即证： ，2lnffx22ln0ff令 ，22ln1Gxffx120x，2ln1ll 10xfx 所以 在 内为增函数，22ln1xffx2,x故 成立.2G2ln1f综上：对 12,x，不等式 恒成立.12fxffxf22.解：（） 是圆， 的极坐标方程 ，2C22cos30化为普通方程： 即： .30xy214xy（）的极坐标平面直角坐标为在直线 上，C将 的参数方程为 （ 为参数）代入 230xy中得：1C21,xty化简得：22130ttt.设两根分别为 ，230t12,t由韦达定理知： 123,t:所以 的长 ，AB212114214ttt定点 到 两点的距离之积 .P, 23PAB:23.解：（） 3,2,12451,.xfxx所以：当 时， ；当 时， ；当 时， .23,y3,6y1x6,y综上， 的最小值是 3.yfx（） ，14令 39,2,61,xgxf 解得： ，2,391x08,3x 解得： ，,1 解得： .1,3x4,3x综上，不等式 的解集为： .61f 10841084,333
