1、第三节 反证法与放缩法 一、选择题1应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条件使用 ( )结论相反的判断，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原结论A B C D解析 由反证法的推理原理可知，反证法必须把结论的相反判断作为条件应用于推理，同时还可应用原条件以及公理、定理、定义等答案 C2已知 pa ，q2a 24a2 (a2) ，则 ( )1a 2Ap q Bp0 ，1a 2p224，而 q2(a2) 22，根据 a2，可得 qq.答案 A3不等式 ab 与 能同时成立的充要条件是 ( )1a1bAa b0 Ba0bC. 01b1a 1a1b解析 充分性易证下面用反证法说明必要性
2、若 a，b 同号且 ab，则有 b 与 同时成立，1a1ba，b 只能异号，即 a0b.答案 B4若 f(x) x，a，b 都为正数，A f ，Gf( )，H f ，则( (12) (a b2 ) ab (2aba b)AA GH BAHGCGHA DHGA解析 a，b 为正数， ，a b2 ab abab aba b2 2aba b又f(x) x为单调减函数，(12)f f( )f ，AGH.(a b2 ) ab (2aba b)答案 A二、填空题5已知|a|b|，m ，n ，则 m，n 之间的大小关系是|a| |b|a b| |a| |b|a b|_解析 m 1，|a| |b|a b| |
3、a| |b|a| |b|n 1.|a| |b|a b| |a| |b|a| |b|答案 mn6若|a|0，y0 ，z0，求证： xy z .x2 xy y2 y2 yz z2证明 x ，x2 xy y2 (x y2)2 3y24 y2 z ，y2 zy z2 (z y2)2 34y2 y2由得： xyz .x2 xy y2 y2 zy z210已知数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 anS n2.(1)求数列a n的通项公式；(2)求证数列a n中不存在三项按原来顺序成等差数列解 (1)当 n 1 时，a 1S 12a 12，则 a11.又 anS n2，所以 an1 S n1 2，两式
4、相减得 an1 an，12所以a n是首项为 1，公比为 的等比数列，12所以 an .12n 1(2)反证法：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap1 ，a q1 ，a r1 (pq r，且 p，q，rN *)，则 2 ，所以 22rq 2 rp 1.12q 12p 12r又因为 pqr，所以 rq，rpN *.所以式左边是偶数，右边是奇数，等式不成立，所以假设不成立，原命题得证11设数列a n的前 n 项和为 Sn，a 11，S nna n2n(n1)(1)求数列a n的通项公式 an；(2)设数列 的前 n 项和为 Tn，求证： T n .1anan 1 15 14(1)解 由 Sn nan2n(n1) 得an1 S n1 S n(n1) an1 na n4n，即 an1 a n4.数列 an是以 1 为首项， 4 为公差的等差数列，a n4n3.(2)证明 T n 1a1a2 1a2a3 1anan 1 115 159 1913 14n 34n 114(1 15 15 19 19 113 14n 3 14n 1) .14(1 14n 1) 14又易知 Tn单调递增，故 TnT 1 ，15得 T n .15 14
