1、第 47 题 数列通项公式的求法I题源探究黄金母题【例 1】已知数列 满足 求数列 的通项公式；na*11,2naNna【解析】 是以*12(),N(1),nan为首项，2 为公比的等比数列 即1a .*().n【例 2】已知数列 的前 项的和为 ，则数列的通项na23nS公式为 【答案】2,13.n【解析】当 时， ；21a当 时，2n2213132naSnn综上：,.n 精彩解读【试题来源】例 1：人教 A 版必修 5P33A 组 T4改编；例 2：人教 A 版必修 5P45练习 T2改编【母题评析】例 1、例 2 考查数列通项公式的求法【思路方法】常转化为基本数列（等差数列、等比数列）来
2、求解；或利用 与 的关系，naS用作差法求数列的通项公式II考场精彩真题回放【例 3】【2017 高考天津理 18】已知 为等差数列，前 n 项和为na， 是首项为 2 的等比数列，且公比大于()nSNnb0， ， ， 231341a4Sb（）求 和 的通项公式；n（）求数列 的前 n 项和 21nb()N【答案】（1） ；（2） 3a132843nnT【解析】试题分析：根据等差数列和等比数列通项公式及前 项和公式列方程求出等差数列首项 和公差 及等比数列的公比 ，写出等差数1dq【命题意图】这类题主要考查考查数列通项公式的求法，能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等【考试方向
3、】这类试题在考查题型上，若以选择题或填空题的形式出现，则难度中等偏易；也可以为解答题，往往与等差（比）数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中等列和等比孰劣的通项公式，利用错位相减法求出数列的和，要求计算要准确试题解析：（I）设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为nadnbq由已知 ，得 ，而 ，所231b21()bq12b以 60又因为 ，解得 所以， q2n由 ，可得 341ba138da由 ，可得 ，1=S56联立，解得 ， ，由此可得 1 32na所以数列 的通项公式为 ，数列 的通项公式na32nab为 2nb（II）解：设数列 的前 项和为 ，21nbnT由 ， ，有 ，2
4、6na421(3)4nab故 ，23458()nT，4 1()nn 上述两式相减，得 23 134(3)4nnnT 1112()()428.nnn得 1383nnT所以数列 的前 项和为 21nab 143n【难点中心】公式法求数列的通项公式是最基本的方法，要善于将问题转化为两种基本数列（等差数列、等比数列）来求其通项公式III理论基础解题原理如果数列 的第 项 和项数 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的nn通项公式即 不是每一个数列都有通项公式不是每一个数列只有一个通项公式()nafIV题型攻略深度挖掘【考试方向】对数列通项公式的考查，若以选择题或填空题的形式出现，
5、则难度中等偏易；也可以为解答题，往往与等差（比）数列、数列求和、不等式等问题综合考查，难度中等【技能方法】数列的通项的常见求法：1公式法：若在已知数列中存在： 的关系，可采用求等差数列、)0(,)(11 qadann或常 数等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在： 的关系，)(nfSafSnn或可以利用项和公式 ，求数列的通项1()2nnSa2累加法：若在已知数列中相邻两项存在： 的关系，可用“累加法”求通项1()2)nafn3累乘法：若在已知数列中相邻两项存在： 的关系，可用“累乘法”求通项1ng4构造法：根据已知式的结构特征，构造等差数列（等比数列）求解5归纳法：先通
6、过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据 与项数 的关系，猜想数列的na通项公式，最后再证明V举一反三触类旁通考向 1 公式法求数列的通项使用情景：已知数列是等差数列或等比数列或已知 )()(nfSafSnn或解题步骤：已知数列是等差数列或等比数列，先求出等差（比）数列的基本量 ，再代入等差（比）1,()adq数列的通项公式；已知 的关系，可以利用项和公式 ，求)()(nfSafSnn或 1(2)nnS数列的通项【例 1】已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式n123nn12ana【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，说明数列 是123nna132na2na等差数列，再
7、直接利用等差数列的通项公式求出 ，进而求出数列 的通项公式()n【例 2】已知数列 ， 是其前 项的和，且满足 ，对一切 都有 成naS1N321Sn立，设 bn（1）求 ；（2）求证：数列 是等比数列；nb（3）求使 成立的最小正整数 的值814012nbn【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项【例 3】数列 的前 n 项和为 ， =1， ( n )，求 的通项公式anS1a12nSNna【点评】（1）已知 ，一般利用和差法如果已知 也可以)()(nfSafSnn或 1()nSfa1()nf或采用和差法（2）利用此法求数列的通项时，一定要注意检
8、验 是否满足，能并则并，不并则分1【跟踪练习】1已知等比数列 中， ，公比 ， 又分别是某等差数列的第 项，第 项，第na1641q234,a73项(1)求 ；(2)设 ，求数列 的前 项和 n2lognnb|nbnT【答案】（1） ；(2) = 164nanT).7(21)6(7,3【解析】（1）由已知有 ，2434a2已知数列 的前 n 项和 ( )，求 的通项公式a14233nnSa,4na【答案】 42n【解析】由 ( )，得 123nnS,4 21133aS3已知函数 ， 是数列 的前 项和，点 （ ）在曲线 上xxf63)(2nSna(,)nSN)(xfy（）求数列 的通项公式；n
9、a（）若 ， ，且 是数列 的前 项和试问 是否存在最大值？若存在，1)2(nb6nnbacTncnT请求出 的最大值；若不存在，请说明理由nT（）因为 所以11(96)2(), (3)2 2nn nnbcab31(),nnT2341()()2(得 132 )2(3)1( nnn 112 )()()(21 nn整理得 ， 1)2(nnT方法一 利用差值比较法由式得 ，所以)(311nn11 11(22()23)()(23). nnnnT因为 ，所以 又 ，所以 所以 ，1n02n0)21(n01nTnT1所以 所以 Tn存在最大值 13nTT 1.2方法三 利用放缩法由式得 ，又因为 是数列
10、的前 项和，0)21()21(31 nnnc nTnc所以 所以 ，所以 存在最大值 nTT 1321nT 21T考向 2 累加法求数列的通项使用情景：在已知数列中相邻两项存在： 的关系；1()2)naf解题步骤：先给递推式 中的 从 2 开始赋值，一直到 ，一共得到 个式子，1()nafn1再把这 个式子左右两边对应相加化简，即得到数列的通项1n【例 4】已知数列 满足 ，求数列 的通项公式n112na， na【解析】由 得 则12ana321 22112 11nnn nnnn 所以数列 的通项公式为 na2na【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出12na12na，即
11、得数列 的通项公式12321()()()()nnaaaa na【例 5】已知数列 满足 ，求数列 的通项公式13nn，【解析】由 得 ，1nn23211221()()()()333()()3131n nn nnnaaaa 所以 .na【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求出1231nna1231nna，即得数列 的通项公式1232()()()()nnna 【例 6】已知数列 ， ， ， ， ， 为数列 的前 项和，nb11nna1nabSnb为数列 的前 项和nTnS（1）求数列 的通项公式；a（2）求数列 的前 项和 ；nbnS（3）求证： 312T【解析】（1）解法一：
12、1nna121)()()( aann 1212nn【点评】（1）本题 ，符合累加法的使用情景 ，所以用累加法求数1na1()2nafn列的通项（2）使用累加法时，注意等式的个数，是 个，不是 个【跟踪练习】1已知数列 满足 ，求数列 的通项公式na1123nnaa， na【答案】 3.【解析】由 得 则1nn1nn2321()()()()n naaaa 12333 1221(3)(3n n所以()(n13n1n.na2已知数列 满足 ，求数列 的通项公式na11323nnaa， na【解析】 两边除以 ，得 ，132n1 12n则 ，故1na223211122 122()()()()3332
13、1( )33n nnn nnaaa 因此 ，则()()1333nn na2.nna【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，进而求131n1123nna出 ，即得数列 的通项公式，最后再1122321()()()()33nnnaaa n求数列 的通项公式n3【2018 甘肃兰州高三第二次实战考试】已知数列 满足 ，若na12,3a，则数列 的通项 _111232,nnnaaNn【答案】【名师点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递
14、推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项考向 3 累乘法求数列的通项使用情景：若在已知数列中相邻两项存在： 的关系1()2nag解题步骤：先给递推式 中的 从 2 开始赋值，一直到 ，一共得到 个式子，再把1()nagn1这 个式子左右两边对应相乘化简，即得到数列的通项1n【例 7】【2018 河南平顶山高二第一学期期末调研考试】定义数列 如下： ， ，当 na01a2n时，有 定义数列 如下： ， ，当 时，有 ，则21nnanb013b221nnb（ ）20178baA B C D201820192019【答案】D同理可得 ，则数列 构成首项为 ，公差为 的
15、等差数列，所以 ，12nb1nb3112nb可得 ，3121342nn 所以 ，故选 D2017840982ba【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式和等差数列的通项、累乘法求解数列的通项公式等知识点的应用，试题有一定的难度，属于中档试题，在利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形，运算问题时，要注意采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法【例 8】已知数列 满足 ，求 的通项公式na11231()(2)n naaa， na【名师点睛】本题解题的关键是把
16、递推关系式 转化为 ，进而求1()2)nna1(2)na出 ，从而可得当 的表达式，最后再求出数列 的通项公式1322naa 2n时 ， n【例 9】已知数列 满足n nnaa求,1,31【点评】（1）由已知得 符合累乘法求数列通项的情景，所以使用累乘法求该数列的通项；,1na（2）使用累乘法求数列的通项时，只要写出 个等式就可以了，不必写 个等式n【跟踪练习】1【2018 湖北省部分重点中学高三上学期二联】已知数列 满足 ，则 _na*112,2nnaaN5a【答案】 8【解析】 ，得 ，则 12na321132143nn na 518a【名师点睛】本题考查数列的通项公式本题中可得 ，则利用
17、累乘法求解通项公式，即na，所以 求解通项公式要熟悉常用的基本3211352143nnan 518方法2【2018 安徽黄山高三一模】已知数列 满足 ，且 ，则na12*12,nnaN_na【答案】 21n【名师点睛】数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项3已知数列 满足 ，求数列 的通项公式na112()53nna， na【答案】)3!.【解析】因为 ，所以 ，则 ，故1
18、12()53nnaa， 0na12()5nn13212n 1221()5()5()()3nn1()21()53n n (1)2!n所以数列 的通项公式为na()25!.nna【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系 转化为 ，进而求出1()5nnaa12()5nn，即得数列 的通项公式13212naa n考向 4 待定系数法求数列的通项【例 10】已知数列 满足 ，求数列 的通项公式na112356nna， na由 及式得 ，则 ，则数列 是以 为首项，1560a50na152na5na1以 2 为公比的等比数列，则 ，故 12n1n【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系式 转化为 ，从而可知1
19、235nna152()nnaa数列 是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出数列 的通项公式5na5n【例 11】已知数列 满足 ，求数列 的通项公式na1134nn， n【解析】设 12(2)nxyxy将 代入式，得1354na 1523(2)nnnnaxyaxy整理得 ()3nnxyxy令 ，则 ，代入式得 5234xy52xy11523(52)nnnaa由 及式，得 ，则 ，1130a0n113nn故数列 是以 为首项，以 3 为公比的等比数列，因此52n1521a，则 13na32nnn【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系式 转化为1354nna，从而可知数列 是等比数列，进
20、而求出数列1152(52)nnna2n的通项公式，最后再求数列 的通项公式an【例 12】已知数列 满足 ，求数列 的通项公式n21 1345naa， na解方程组 ，则 ，代入式，得3245xyz3108xyz2 213()0(1)(3)n nana 由 及式，得8023108na则 ，故数列 为以21()()2301nan 2n为首项，以 2 为公比的等比数列，因此 ，2183 21310832nna则 4n【名师点睛】本题解题的关键是把递推关系式 转化为21345nan，从而可知数列 是等比数列，2 213()0(1)8(308)n nan 23108na进而求出数列 的通项公式，最后再
21、求出数列 的通项公式2a 【跟踪练习】1数列 满足 ，则n 11123,3nnanaA B C D2)3()6( 1)( 12)3(n【名师点睛】构造等比数列，注意形 ，当 时，变为 na2112na2数列 中， ，则 nan3,112【解析】 )(2na为首项为 2 公比也为 2 的等比数列， ，（ n1）121n 12nnan1 时 121221()()() 112nnnnnaaa 显然 n=1 时满足上式， n【名师点睛】先构造 等比数列，再用叠加法，等比数列求和求出通项公式，na13已知数列 中 求这个数列的通项公式na )3(,2,5212 nan【解析】 ， ，13n)211na又
22、 形成首项为 7，公比为 3 的等比数列， 21,7则 2nna又 ， ， 形成了一个首项为13，公比为1 的等)3(3211na1a1na比数列，则 2(nn ，得 ， 11)74n 11)(437nnn【名师点睛】本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式4设数列 的前项和为 成立，(1)求证： 是等比数列(2) 求这个数nannSaS2,若 12na列的通项公式(2) 112)(,2 nnnaa【名师点睛】本题构造非常特殊，要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用5已知数列 满足
23、 ，（ ）其中 ，求数列 的通na nnna2)(,2111 *N0na项公式方法指导：将已知条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式，从而为求 的通项公式提供方便，na一切问题可迎刃而解【解析】 ， ，)0*,(,2)(11 Nnann 1)2(11nnna所以,)()2(11nnna 0,)2()( 111 annn 所以 为等差数列，其首项为 0，公差为 1， n)( nnnaa2)(,)( 6数列 中， ，求nanna312,1n【名师点睛】 且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列，发)(1nnaf散之后，两种构造思想相互联系，相互渗透，最后融合到一起考向
24、 5 对数变换法求数列的通项【例 13】已知数列 满足 ， ，求数列 的通项公式na5123nna17na【解析】因为 ，所以 在 式两边取常用对数得51237， 10nn， 5123na1lg5llgnna设 ()5(l)nxyaxy将式代入式，得 ，两边消去 并整理，得3lg2(15(lg)nnyaxy5lgna，则 ，故(lg3)lg25xnyxnylg352xylg34216x代入 式，得 11 1l3llg3lgl()()416444n naa由 及式，得 ，gg23l2l l706l3gl20164na则 ，1l()53llg44na所以数列 是以 为首项，以 5 为公比的等比数列
25、，则gl216nlg3l27416，因此ll(l)5nn 11 11116 666444444111 566443lllgl75lgl2lg3lg2l(732)5lg32l735llnn nnnna 1111 56445164lg2nnnnn 则 114556473nna【名师点睛】本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式 转化为5123nnaa，从而可知数列1lglg2lg3lgl()5()4164464n na是等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再3a llg2164n求出数列 的通项公式n【跟踪练习】1【2018 山西晋中市高三 1 月高考适应性调研】艾萨克牛顿（1643 年 1
26、月 4 日1727 年 3 月 31 日）英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数 零点时给出一个数列 ：满足 ，我们把该数列称为牛顿数列如果函数fxnx1nnfx（ ）有两个零点 ， ，数列 为牛顿数列，设 ，已知 ，2fxabc0a12nx2ln1xa1a， 的前 项和为 ，则 等于（ ）nnnS2018A B C D201820192019【答案】C，2 2213411nnnnnxxx，且 ， ， 数列 是以 1 为首项，以 22lnxa1a112lnln21nxxan为公比的等比数列，则 ， 故选 C1=n20182082018S【
27、名师点睛】由已知得到 a，b，c 的关系，可得 f（x）=ax 23ax+2a，求导后代入 ，1nnfxx整理可得 ，两边取对数，可得 是以 2 为公比的等比数列，再由等比数列的21nnxln1x通项公式求得结果考向 6 迭代法求数列的通项【例 14】已知数列 满足 ，求数列 的通项公式na3(1)25nna， na【名师点睛】本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式即先将等式 两边取3(1)2nna常用对数得 ，即 ，再由累乘法可推知1lg3()2lgnnaa1l3()2nn，从而 (1)23!13212lll l5nnn 1()3!25na【跟踪练习】1已知数列 中， ，求数列
28、的通项公式；na)2(,11 nan n【答案】2考向 7 换元法求数列的通项【例 15】已知数列 满足 ，求数列 的通项公式na1 1(42)6nnnaa， na【解析】令 ，则 ，故 ，24nb2)b2()4b代入 得 ，即 1(412)6nnnaa2211()4()46nnnbb2214(3)nb因为 ，故 ，则 ，即 ，20b0ba13n1可化为 ，所以 是以 为首项，以 为13()nn3n122a21公比的等比数列，因此 ，则 ，即 ，得122()n()nb 24()3na2()343nna【名师点睛】本题解题的关键是通过将 的换元为 ，使得所给递推关系式转化14nan形式，从而可知
29、数列 为等比数列，进而求出数列 的通项公式，最后再求出12nnb 3nb3nb数列 的通项公式a考向 8 不动点法求数列的通项【例 16】已知数列 满足 ，求数列 的通项公式na1124nna， na【解析】令 ，得 ，则 是函数 的两个不动214x20x123x， 214()xf点因为 所以数列1 142()624339733nn nnnnnaaa 是以 为首项，以 为公比的等比数列，故 ，则na1491 12()9nna132()9nn【名师点睛】本题解题的关键是先求出函数 的不动点，即方程 的两个根214()xf214x，进而可推出 ，从而可知数列 为等比数列，再求出数列123x， 12
30、39nnaa 3na的通项公式，最后求出数列 的通项公式nan【跟踪练习】1已知数列 满足 ，求数列 的通项公式na11723na， na考向 9 归纳法求数列的通项使用情景：已知数列的首项和递推公式解题步骤：观察、归纳、猜想、证明【例 17】【2018 江苏省姜堰、溧阳、前黄中学高三 4 月联考】已知数列 满足na 1230nnnCa*2nCN，（1）求 ， ， 的值；123a（2）猜想数列 的通项公式，并证明n【答案】(1) (2)见解析12,4,38,【解析】试题分析：（）利用等式，求出 ， ， 的值；（）归纳猜想，利用数学归纳法加以证1a23明试题解析：（1） ， ， =2a43=8a
31、（2）猜想： n证明：当 ，2，3 时，由上知结论成立； 1假设 时结论成立，k则有 1230 2kkkkCCa 则 时， n123+101+11 kkkkk C由 得1knnC10213201231kkkkCCa -1+12kkC，0121+312kkkkk12+0311 2kkkkkCCa 121+103-2kkkkkk又 +1 +12!2!21!=1k kkC Ck ，121+103-+2 2kkkkkkCC 于是 11ka所以 ，故 时结论也成立2kn由得， =*N，【例 18】已知数列 满足 ，求数列 的通项公式na1 1228()8139nnaa， na【解析】由 及 ，得1228
32、()3n1921223422()4,95818,()(3)940,91aa由此可猜测 ，往下用数学归纳法证明这个结论2(1)n（1）当 时， ，所以等式成立12()89a（2）假设当 时等式成立，即 ，则当 时，nk2(1)ka1nk1228(1)3ka222()8()322()(3)8(1)k22222222()()8(1)()(1)(1) 13kkkk由此可知，当 时等式也成立nk根据（1），（2）可知，等式对任何 都成立*nN【名师点睛】本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明【例 19】在数列 中， ，且 na161
33、nna*(,2)N（1）求 的值；234,（2）猜测数列 的通项公式，并用数学归纳法证明n【点评】（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前 n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法【跟踪练习】1【2018 江苏泰州中学高二 12 月月考】已知数列 满足 ， （ 为正整数）na11924nna（1）求 ， ， 并猜想出数列 的通项公式；2a34na（2）用数学归纳法证明（1）的结论【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】试题分析：
34、（1）写出数列中的几项，通过观察找出规律，归纳出通项；（2）根据数序归纳法的步骤，当 时，猜想成立，假设当 （ ）时，猜想成立；证明即可1nnk*N解析：（1）由 ， ， ，92144nna1a2173同理可求 ， ，猜想 315a7652（2）证明：当 时，猜想成立；n假设当 （ ）时，猜想成立，即 ，k*N1ka则 ，所以当 时猜想成立1 651265424kkak 1nk综合，猜想对任何 都成立*nN2【2018 江西南昌二中上学期高二期末考试】已知数列 的前 n 项和 满足： ，且anS12na*0,na()求 ；123()猜想 的通项公式，并用数学归纳法证明n【答案】()见解析； (
35、)见解析试题解析：() ，所以 11,2as13a又因为 ，所以 ， ，所以 ，0na13221S253a，所以 3312Sa375()由()猜想 ， 12nnN下面用数学归纳法加以证明：当 时，由（1）知 成立13a假设 ( )时， 成立nkN21kk当 时，111 12kkkkaaS1 12 22k kka 所以 ，解得： ，2110kkaa13ka所以 ，即当 时猜想也成立n综上可知，猜想对一切 都成立nN【名师点睛】本题考查数列的通项公式的“归纳猜想证明”方法；利用数学归纳法证明数学问题的主要步骤：（1）验证初始值 （往往是 ）；01n（2）假设 ，命题成立，再证明 ，命题成立，如本题
36、中，假设 ( )1nk1knkN时， 成立，证明2ka1221kak即当 时猜想也成立；由（1）（2）得命题成立3在单调递增数列 na中， 1， 2a，且 2121,nna成等差数列， 212,nna成等比数列，,n（1）分别计算 3， 5和 4， 6的值；（2）求数列 na的通项公式（将 na用 表示）；（3）设数列 1n的前 项和为 S，证明： 42n， *N【答案】 3， 56， 492， 68【解析】（1）由已知得 3a， 5， 492a， 68当 1n时， 21a，21a，猜想成立；假设 (,*)kN时，猜想成立，即 21()ka，22(1)ka，那么2(1)2121()kkkaa，2 22212(1)2()(1)()kkk k n时，猜想也成立由，根据数学归纳法原理，对任意的 *nN，猜想成立当 为奇数时， 8)3(121nnan；当 为偶数时， 8)2(12nan即数列 n的通项公式为 为 偶 数为 奇 数nn,8)(,2（方法 2）由（2）得 为 偶 数为 奇 数nna,)2(8,31以下用数学归纳法证明 4S， *N当 1n时， 2131a；当 2时， 4212 S 2,1n时，不等式成立假设 )(kn时，不等式成立，即 kS，那么，当 k为奇数时，211 )3(84kaSkk 22 )3(83)1(4)(3)(4 kk)1(4k；
