1、第 52 题 数列与其他知识的交汇（ 1）数列与不等式I题源探究 黄金母题【例 1】在等差数列 中， ，若它的前na761项和 有最大值，则当 时， 的最大值为nnS0Sn（ ）A 11 B 12 C 13 D 14【答案】A【解析】数列 为等差数列，若 ，则na761a，可得 ，760ad， ， ，676a70， ，12a1S， ，则当 时，762nS的最大值为 ，故选 nA精彩解读【试题来源】2018 安徽宿州届高三上学期第一次教学质量检测【母题评析】本题考查等差数列数列前 项和的最值，考查考生的分n析问题解决问题以及基本计算能力的能力【思路方法】不等式法解决等差数列前 n 项和的最值：（
2、1）若等差数列的首项 ，10a公差 ，则等差数列是递减数0d列，正数项有限，前 n 项和有最大值，且满足 1na（2 ）若等差数列的首项 ，10公差 ，则等差数列是递增数0d列，负数项有限，前 n 项和有最小值，且满足 10naII考场精彩真题回放【例 2】 【2017 高考浙江 22】 已知数列 满足：nx111,lnnxxN证明：当 时，（） ；10nx（） ；122n【命题意图】本题将数列与不等式的交汇渗透于递推数列及抽象数列中进行考查，主要考查转化及方程的思想本题能较好的考查考生分析问题解决问题以及转化与化归能力等【考试方向】这类试题在考查题型（） 122nx【答案】 （）见解析；（）
3、见解析；（）见解析【解析】试题分析：（）由数学归纳法证明；（）由（）得 211114(2)ln()nnnnxxxx，构造函数 ，()l0f 由函数单调性可证；（）由，得111ln()nnxxx，递推可得12n12(N)nx试题解析：（）用数学归纳法证明： 0nx当 时， 1n0x假设 时， ，那么 时，若kk1k，则 ，矛盾，01kx 0)ln(1kxx故 因此 ，所以)(Nnx，因此11lnnx)(0xn（）由 得11)l(nx21 14(2)l()nnn nxxx 上，通常以选择题或填空题的形式出现，难度中等【难点中心】与数列中的项相关的不等式问题：此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也
4、是考虑对递推公式进行变形；在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加”或“累乘”的形式，即 或1naf（累乘时要求不等式1nf两侧均为正数） ，然后通过“累加” 或“累乘” 达到一侧为 ，另一侧为求na和的结果，进而完成证明记函数 ，2()()ln1(0)fxxx函数 在 上单调递增，所以0,，()fx因此，21111(2)ln()()0n nxf1Nnnx（）因为 ，所111l()nnnxx以 得 ，12nx12nx，1()0nn，故1212()2()nnnnxx， 2n12(N)nx【名师点睛】本题主要考查数列的概念、递推关系与单调性等基础知识，不等
5、式及其应用，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，属于难题本题主要应用：（1）数学归纳法证明不等式；（2 ）构造函数，利用函数2()()ln1(0)fxxx的单调性证明不等式；（3）由递推关系证明III理论基础解题原理数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前 n 项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题数列与不等式的结合，一般有两类题：一是利用基本不等式求解数列中的最值；二是与数列中的求和问题相联系，证明不等式或求解参数的取值范围，此类问题通常是抓住数列通项
6、公式的特征，多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式，求解参数的取值范围以数列为背景的不等式恒成 立问题，或不等式的证明问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调 性求解，或利用放缩法证明解决数列和式与不等式证明问题的关键是求和，特别是既不是等差、等比数列，也不是等差乘等比的数列求和，要利用不等式的放缩法，放缩为等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和，最终归结为有限项的数式大小比较常见的放缩变形：（1 ） ，其中 ：可称 为“ 进可攻，退可守”，可依21nn2,nN21n照所证不等式不等号的方向进行选择注：对于 ，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相
7、2n消特征的数列，例如： ，这种放缩 的尺21112nnn度要小于（1）中的式子此外还可以构造放缩程度更小的，如：2241122nnnn（2 ） ，从而有：121211n nnn注：对于 还可放缩为： 1,N（3 ）分子分母同加常数： 0,0,bmbmaaba此结论容易记混，通常在解题时，这种方法作为一种思考的方向，到了具体问题时不妨先构造出形式再验证不等关系（4 ） 12 2211nnnn12,2nnN可推广为： 1211nnnnkkkk1,nnk 同类放缩常见的有：（1 ） 或2112nn；24n（2 ） ；31112nnn（3 ） 或 ；224 212nn（4 ） ；1212nn或 （平
8、方22111nn型、立方型、根式型都可放缩为裂项相消模型） ；（5 ） 或 、12nn1nabab（指数型可放缩为等比模型） ；1nnab（6 ） ；（7）1 111222 2nnn nn ；l（8 ） （奇偶型放缩为可求积） 2121nn；补充：一般地，形如 或 (这里 )的数列，在证明nabnab1a（ 为常数）时都可以提取出 利用指数函数的单调性将其放缩为12nka n等比模型IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题，若以选择题或填空题的形式出现，主要考查不等式的性质、解法与数列、等差数列、等比数列的简单交汇，属容易题；若为解答题以中档题或压轴题的形式考查数列与不等式的交汇，还有可能涉及
9、到导数、解析几何、三角函数的知识等，深度考查不等式的证明（主要比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法、反证法）和逻辑推理能力及分类讨论、化归的数学思想，试题新颖别致，难度相对较大【技能方法】常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下 4种：形如 （ 为常数） ；形如 ；形如 ；形如1niak1()niaf1()niaf（ 为常数） 1nik依据不等式的性质：（1 ）不等式的传递性：若 ，则 （此性质为放缩法的基础，即若要证明,abca，但无法直接证明，则可寻找一个中间量 ，使得 ，从而将问题转化为只需证acb明 即可） b（2 ）等量加不等量为不等量：若 ，则 ，此性质
10、可推广到多项求,acdacd和：若 ，则：12,nafff212n （3 ）若需要用到乘法，则对应性质为：若 ，则 ，此性质也可0,abcdacbd推广到多项连乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数常用的放缩手段：增加（或减少） 某些项；增大分子（或减小分母） ；增大（或减小）被开方数；利用二项式定理；利用基本不等式；利 用函数的单调性常用的放缩技巧：（1 ）常见的数列求和方法和通项公式特点：等差数列求和公式： ， （关于 的一次函数或常值函数）12nnaSnkmn等比数列求和公式： ， （关于 的指数类函数）11nqnaq错位相减：通项公式为“等差 等比”的形式裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项
11、的差，且原数列的每一项裂项之 后正负能够相消 ，进而在求和后式子中仅剩有限项（2 ）与求和相关的不等式的放缩技巧：在数列中， “求和看通项” ，所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小（应与所证的不等号同方 向）在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢若放缩后求和发现放“过” 了，即与所证矛盾，通常有两条道路选择：第一个方法是微调：看能否让数列中的一些项不动，其余项放缩从而减小放缩的程度，使之符合所证不等式；第二个方法就是推翻了原有放缩，重新进行设计，选择放缩程
12、度更小的方式再进行尝试（3 ）放缩构造裂项相消数列与等比数列的技巧：裂项相消：在放缩时，所构造的通项公式要具备“依项同构 ”的特点，即作差的两项可视为同一数列的相邻两项（或等距离间隔项）等比数列：所面对的问题通常为“ 常数”的形式，所构造的等比数列的公比也要满足nS，如果题目条件无法体现出放缩的目标，则可从所证不等式的常数入手， ，常数0,1q可 视为 的形式，然后猜想构造出等比数列的首项与公比，进而得出等比数列的通项a公式，再与原通项公式进行比较，看不等号的方向是否符合条件即可例如常数 ，12=34即可猜想该等比数列的首项为 ，公比为 ，即通项公式为 124124n注：此方法会存在风险，所猜
13、出的等比数列未必能达到放缩效果，所以是否选择利用等比数列进行放缩，受数列通项公式的结构影响（4 ）与数列中的项相关的不等式问题：此类问题往往从递推公式入手，若需要放缩也是考虑对递推公式进行变形在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归，即将递推公式放缩变形成为可“累加 ”或 “累乘”的形式，即 或 （累乘时要求不等式两侧均为1naf1naf正数） ，然后通过“累加” 或“累乘”达到一侧为 ，另一侧为求和的结果，进而完成证明n【易错指导】数列中 na与 S的关系 )2(1Sann的运用一定要注意题目的条件，有时变形为与 1的关系，也有时变形为 与 的关系使用裂项法求和时，要注意正负项相消时
14、消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的V举一反三触类旁通考向 1 最值问题求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：（1）建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；（2）首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；（3）利用条件中的不等式关系确定最值【例 1】 【2018 辽宁葫芦岛第六高级中学高三上学期第二次阶段（期中） 】已知数列 的na前 项和 且 ，对一 切正整数 都成立，记 的前 项和为 ，n1,0nSa2nnSn1nanT则数列 中的最大值为（ ）nTA B C D 2
15、22【答案】A当 为奇数时， 随 的增大而增大，所以nnT1 12=-22,nnTT当 为偶数时， 随 的增大而减小，所以nT12122,n nT综上，当 时，总有 ，故选 A*Nn【名师点睛】本题 利用数列的递推公式求解数列的通项公式及利用数列的单调性求解数列的和的最大项，在解题时需要一定的逻辑运算与推理的能力，其中根据 的奇偶判断 的nnT单调性是解题的关键【例 2】 【2018 福建福州市闽侯第六中学高三上学期期中考试】若数列 满足：na且 ，数列 满足10a*12,2nanNnb，则数列 的最大项为第_ 项118nnbn【答案】6【解析】由 ，且 ，得 ，10a*12,2naN12na
16、n则 ， ，2343,.a累加得 ，21.121n nann ，由122188nnb128n，得 ，即 ，1 nb1221221 883nnnn 1693数列 的最大项为第 项，故答案为 *,6,Nnb6【名师点睛】本题主要考查已知数列的递推公式求通项以及数列最大项问题，属于难题题由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）累加法（相邻两项的差成等差、等比数列） ；累乘法（相邻两项的积为特殊数列） ；（3）构造法，形如的递推数列求通项往往用构造法，即将10,1naqpq利用待定系数法构造成 的形式，再根据1nnamq等比数例求出 的通项，进而得出 的通项公式namn【例 3】设等差数列 的前 项
17、和为 ，若 ， ，则 的最大值为S1045S4a_【分析】根据条件将前 4 项与前 5项和的不等关系转化为关于首项 与公差 的不等式，1d然后利用此不等关系确定公差 的范围，由此可确定 的最大值 d4a【点评】本题最值的确定主要是根据条件的不等式关系来求最值的，其中确定数列的公差是解答的关键，同时解答中要注意不等式传递性的应用d【例 4】 【2018 安徽滁州高三上学期期末考试 】已知数列 是递增的等差数列，na， ， ， 成等比数列23a131a81a（1 ）求数列 的通项公式；n（2 ）若 ，数列 的前 项和 ，求满足 的最小的 的值1nbanbnS3625nn【解析】 （1）设 的公差为
18、 （ ） ，由条件得 ，nd0127( 0ad1 ad 21na【名师点睛】求解数列中的某些最值问题，有时须结合不等式来解决，其具体解法有：(1)建立目标函数，通过不等式确定变量范围，进而求得最值；(2)首先利用不等式判断数列的单调性，然后确定最值；(3)利用等差数列或等差数列的特征来求【跟踪练习】1 【2018 湖北省“ 荆、荆、襄、宜四地七校联考】设 ，令2xfe， ，若 ，则数列fxf1nnfxfxnnnfABC的前 项和为 ，当 时， 的最小整数值为（ ）nCnS120A 2018 B 2019 C 2020 D 2021【答案】B【解析】f 1（x）=f （x ）=e x（x 2+4
19、x+2） ，f 2（x ）=f 1（x ）=e x（x 2+6x+6） ，f3（x）=f 2（x ）=e x（x 2+8x+12） ，f 4（x）=f 3（x）=e x（x 2+10x+20） ，可得 C1=2=12，C 2=6=23，C 3=12=34，C4=20=45，C n=n（n+1） ， = = ，1n1nSn=1 + + =1 ，则|S n1| ，即为 ，23201n20解得 n2019，即 n 的最小值为 2019故选：B2 【 2018 天一大联考高中毕业班阶段性测试（四） 】已知等差数列 的通项公式为na，前 项和为 ，若不等式 恒成立，则 的最nanS2*132NnnSMa
20、M小值为_【答案】 62593 【 2018 天津市耀华中学高三 12 月月考】已知单调递增的等比数列 满足na，且 是 与 的等差中项248a32a4a（1 ）求数列 的通项公式；n（2 ）若 ， 求 及使 成立的最小正整数12lognnba1niSbnS1250n的值（2 ） ， 2nnb123nSbb，31n设 ，2nT则 ，234112nnT得 ，12 12n，nnS要使 成立，即 ，即 ，12501150nn26n ， ，且 是单调递增函数，满足条件的 的最小值为46362xy5 考向 2 恒成立问题求解数列与不等式结合恒成立条件下的参数问题主要两种策略：（1）若函数 在定义)(xf
21、域为 ，则当 时，有 恒成立 ； 恒成立Dxmxf)(mxfin)(xf)(；（2）利用等差数列与等比数列等数列知识化简不等式，再通过解不等式解mfMax)(得 【例 5】 【 2018 河南省豫南豫北联考二】数列 满足 ，若na*116,5naN对 ，都有 成立，则最小的整数 是（ ）*nN12nka kA B C D 3456【答案】C 又对 ，都有 成立 ，*nN12nkaa 故最小的整数 是 5选 C5k【名师点睛】对于数列中的恒成立问题，仍要转化为求最值的问题求解，解答本题的关键是如何对 求和，根据题目的条件经过变形得到 ，可12naa 11nna利用列项相消求和，在求得数列和的基础
22、上可得到 k 的取值范围，解题时要注意等号是否可以取得【例 6】 【2018 辽宁实验中学高三上学期期中考试 】已知数列a n满足 a1=3，且an+13an=3n， （nN *） ，数列b n满足 bn=3nan（1 ）求证：数列b n是等差数 列；（2 ）设 ，求满足不等式 的所有正整数 n 的312452nnaS 2184nS值【解析】 （1）证明：由 bn=3nan 得 an=3nbn，则 an+1=3n+1bn+1代入 an+13an=3n 中，得 3n+1bn+13n+1bn=3n，即得 13n所以数列b n是等差数列【例 7】 【2018 江西吉安一中上学期段考 】设不等式组 所
23、表示的平面区域为03xyn，记 内的 格点（格点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为 nDn *fnN（1 ）求 的值及 的表达式；,2ffn（2 ）记数列 的前 项和为 ，若 对任意正整数 恒成立，求 的取值范Sn围【分析】 （1）易得 ，当 时， 取值为 ，共有3,26ff1xy1,23,n个格点，当 时， 取值为 ，共有 个格点2nxy,3,n ；（2 ）由（1 ）可得： ，原命题等价于3fn2nS32n3【解析】 （1） ，3,26ff当 时， 取值为 ，共有 个格点，xy1,n 2当 时， 取值为 ，共有 个格点2 3fnn（2 ）由（1 ）可得： ，2nS 对任意正整数 恒成立，n
24、S ，化为 ，3232n 【点评】解决数列恒成立问题一般会涉及到基本不等式及数列单调性【跟踪练习】1 【 2018 陕西洛南永丰中学高三月考 】已知数列 的首项 ，其前 项和为 ，na1annS且满足 ，若对任意 恒成立，则 的取值范214,nSnN1,nNaa围是（ ）A B C D3,5,63,54,6【答案】A2 【 吉林省实验中学 2018 届高三上学期第五次月考 】已知数列 中，na*11,3nnaaN（）求 的通项公式 ；nn（）数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，若不等式b12nanbnT对一切 恒成立，求 的取值范围112nnT*N【解析】 （）证明：由 ，13nna得 ，13
25、nna112nna所以数列 是以 3 为公比，以 为首项的等比数列，12na132a从而 ；1nna（） 12b022131n nnT，两式相减得1n02122n nn14nnT2若 为偶数，则 14,3n若 为奇数，则n2,233 【 2018 广东中山高三上学期期末考试 】设等差数列 的前 项和 ，且nanS565Sa（1 ）求 的通项公式；n（2 ）若不等式 对所有的正整数 都成立，求实数 的取28714nSkank值范围当 为奇数时， ；当 为偶数时， 恒成立n91knn91kn又 ，当且仅当 时取等号，917n3n所以当 为奇数时， 的最小值为 7，91当 为偶数时， 时， 的最小值
26、为 ，4n294不等式对所有的正整数 都成立时，实数 的取值范是k2974k4 【 河南省豫南九校 2018 届高三下学期第一次联考 】设正项等比数列 ， ，且na481的等差中项为 23,a123a（1 ）求数列 的通项公式；n（2 ）若 ，数列 的前 项和 为 ，数列 满足 ， 为321lognnbanbnSnc14nSnT数列 的前 项和，若 恒成立，求 的取值范围ncnT【解析】（2 ）由（1 ）得 ，213lognnb2nS ，2114ncn 13522n nTn 若 恒成立，则 恒成立，21nn*N则 ，所以 max135 【 2018 黑龙江大庆市高三年级第一次教学质量检测 】已
27、知数列 的前 项和为 ，nans点 在曲线 ，上数列 满足,ns215yxnb， ， 的前 5 项和为 4521b4bn（1 ）求 ， 的通项公式；na（2 ）设 ，数列 的前 项和为 ，求使不等式 恒成238nnCbncnT54nkT立的最大正整数 的值k（2 ）由（1 ）得，11132842242nnCabnnn，11451nT 1因为 ，1 02323nnn所以 是递增数列 所以 ，故 恒成立只要 恒成立 nT16nT54kT1654kT所以 ，最大正整数 的值为 9kk86 【 2018 四川绵阳市南山中学高三二诊热身 】已知等差数列 中，公差 ，na0d，且 成等比数列735S251
28、,a（1 ）求数列 的通项公式；n（2 ）若 为数列 的前 项和，且存在 ，使得 成立，求nT1na*Nn10nTa的取值范围【解析】（1 ）由题意可得 即1217635, 40,ada1235, .ad又因为 ，所以 所以 0d1, .dn（2 ）因为 ，所以1122na34nTn n因为存在 ，使得 成立，所以存在 ，使得*N10nTa*N成立，即存在 ，使得 成立22n*n2n又 （当且仅当 时取等号） 2114462nn所以 ，即实数 的取值范围是 16,17 【 2018 四川省广安、眉山毕业班第一次诊断性考试 】已知数列 的前 项和为na，且 1,nSa*1nnSaN（1 ）求数列
29、 的通项公式；（2 ）设数列 的前 项和为 ，求满足不等式 的最小正整数 nanT190nTn考向 3 与数列不等式的证明问题此类不等式的证明常用的方法：（1）比较法，特别是差值比较法是最根本的方法；（ 2）分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合法分析；（3）放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的【例 8】 【2018 皖江名校高三 12 月份大联考】等差数列 和等比数列 的各项均为正nanb整数，且 的前 项和为 ，数列 是公比为 16 的等比数列， 13,abnnSnb23S（1 ）求 ；n（2 ）求证 12134nSS（2 ） 35212n
30、Sn 12 13452n n 13452n 134n【例 9】 【2018 天津部分区高三上学期期末考试 】已知 是等比数列，满足 ，且na12a成等差数列234,a（1 ）求 的通项公式；n（2 ）设 ，数列 的前 项和为 ， ，nbanbnS2974ngS*2,nN求正整数 的值，使得对任意 均有 k2k- 得： 234121nnnS，所以 31222114nnn 214nnS则 ，则 2974ngS *27,ngN由 3231912nnn得：当 时， ；*9204nN45gg当 时， ；*5567所以对任意 ，且 均有 ，故n5k【名师点睛】此类不等式的证明常用的方法：(1)比较法；(2
31、)分析法与综合法，一般是利用分析法分析，再利用综合 法分析；(3) 放缩法，主要是通过分母分子的扩大或缩小、项数的增加与减少等手段达到证明的目的【例 10】 【2018 江西南昌市第二中学高三 上第五次月考】已知数列 na的前 项和 nS满足： 21nSa（1 ）数列 的通项公式；（2 ）设 1nnba，且数列 nb的前 项和为 nT，求证： 13n【答案】 （1）1*3nn N，；（2 ）见解析(2)指数裂项求和放缩可得 1133nnnb，据此裂项求和可得2 11113n nnT据此即可证得题中的结论试题解析：（1 ）解：当 1n时， 12a，所以 13a，当 2时， 1nnS，即 1nn，
32、 1na， 3，所以数列 na是首项为 3，公比也为 的等比数列，所以1*3nn N， （2 ）证明：11 133nnnn nnab 由 11,33nnn，所以 11nnnb，所以 12231133nn nnTb 因为 103n，所以 1n，即 1nT 故选 C【例 11】设数列 满足 ， ，其中 为实数na0)N(21cac（）证明： 对任意 成立的 充分必要条件是 ；,N1,0()设 ，证明： ；310c )()31ncn（）设 ，证明： )N(312221 ncaa【分析】第（）小题可考虑用数学归纳法证明；第 ( )小题可利用综合法结合不等关系的迭代；第 （）小题利用不等式的传递性转化等
33、比数列，然后利用前 项和求和，再进行适当放缩()设 ，当 时， ，结论成立310cnca312021当 时，由（）知 ，2n)(nc ，121121 )(3)( nnca 21a )3(3122 nn cca1)()(ccn n21 ，不等式 恒成立30 )N(3221 caan【点评】本题是数列与不等式、数学归纳法的知识交汇题，属于难题，此类试题在高考中点占有一席之地应用放缩法证明不等式的关键 其一，选择适当的放缩因子（即放缩的对象） ，其二，放大或缩小的幅度，这时幅度要合适，且力求计算量不要太大【跟踪练习】1 【 四川省 2017-2018 年度高三“联测促改”活动】已知数列 满足：na，
34、 *21nanN13a（1 ）证明数列 是等比数列，并求数列 的通项；*b n（2 ）设 ，数列 的前 项和为 ，求证： 1ncancnS1n（2 ）证明：由于 ，11nnaca所以 12123111nn nnnSccaaaa 2 【 2018 云南曲靖一中高三上学期月考 】已知数列 满足 在直线n1(,)nP上（ ） ，且 0xy*nN1a（1 ）求数列 的通项公式；a（2 ）设 是数列 的前 项和，数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，nSnnb1nSnbnT求证： 1nT【答案】 （1） ；（ 2）证明见解析 a【解析】 （1）由题意得 ，即 ，10n12na所以 是首项为 ，公差为 的等
35、差数列，n 2()a（2 ）证明：由（1）知 ，所以 ，2(1)nSn21nb2223nT34()，所以原不等式成立1114n3 【 2018 湖南衡阳县四中 12 月联赛】各项均为正数的等比数列 满足 ，na32，9234a（1 ）求数列 的通项公式；n（2 ）设 ，数列 前 项和 ，在（1 ）的条件下，证明不等式13lognnabnbnT1nT【答案】 （1） ；（2）证明见解析13na（2 ）由（1 ）得 313()log()log(1)nnnba 1()n 1211123nnTbbnn 4 【 2018 湖北部分重点中学高三上学期第二次联考 】在正项等差数列 中，其前 项和na为 23
36、235,nSaaS（1 ）求 ；（2 ）证明： 12134nSS【解析】 （1） 325a235 7ana5 【 2016 高考江苏卷】记 1,20U， 对数列 *naN和 U的子集 T，若T，定义 0TS；若 ktt， ，定义 12+kTtttSa例如：=1,36时， 136+a现设*n是公比为 3 的等比数列，且当2,4时， T（1 ）求数列 n的通项公式；（2 ）对任意正整数 10k，若 1,2kT， ，求证： 1TkSa；（3 ）设 ,CDUS，求证： 2CDSS【答案】 （1） 13na（2）详见解析（3）详见解析【试题解析】 （1）由已知得 1*3,nnaN于是当 2,4T时，2413270rSa又 0r，故 ，即 所以数列 na的通项公式为 1*3,naN（2 ）因为 ,Tk ， 1*3,naN，所以 12 (31)2kkkrkSa 因此， 1rkS（3 ）下面分三种情况证明若 D是 C的子集，则 CDCDDSS若 是 的子集，则 2C若 不是 的子集，且 不是 的子集令 UE， UF则 E， F， E于是 CDS， FCDS，进而由 CDS，得 FS设 k是 中的最大数， l为 中的最大数，则 1,kll由（2）知， 1Eka，于是 133l klFEaa，所以 1k，即 l又 kl，故 ，从而
