1、第 50 题 数列中探索性问题I题源探究黄金母题【例 1】已知 nS是等比数列 na的前 项和， 4S， 2， 3成等差数列，且23418a（I）求数列 na的通项公式；（II）是否存在正整数 ，使得 2013nS?若存在，求出符合条件的所有 n的集合；若不存在，说明理由【解析】（I）设数列 na的公比为 q，则 1a， 0q由题意得2432,18SSa即2321,()8解得 3,2.故数列 na的通项公式为 ()nn（II）由（I）有 3(2)1()nnnS 若存在 n，使得 01n，则 03，即 (2)01.n当 为偶数时， (2)， 上式不成立；当 为奇数时，(2)01n，即 012n，
2、则 n综上存在符合条件的正整数 ，且所有这样的 的集合为,5nkkN精彩解读【试题来源】人教 A 版必修 5P68B 组 T1改编【母题评析】本题主要考查等比数列的通项公式、数列中的存在型问题，考查考生的分析问题解决问题的能力以及基本计算能力【思路方法】应用方程思想列方程组求基本量，进而的数列的通项公式；由题意列出方程组（或不等式组）解决存在型问题II考场精彩真题回放【例 2】【2017 高考北京 20】设 和 是两个等差数列，记nab，12max,ncbn(1,23)其中 表示 这 个数中最大的数s12,sx（）若 ， ，求 的值，并证明 是等差数列；nn3cnc（）证明：或者对任意正数 ，
3、存在正整数 ，当 时， ；MmnM或者存在正整数 ，使得 是等差数列m12,mc【命题意图】这类题以数列为载体考查探索性综合问题，这类问题不仅考查学生的分析问题解决问题的能力，以及探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以解答【答案】（）详见解析；（）详见解析【解析】试题分析：（）分别代入求 ，观察规律，再证明当123,c时， ，所以 关于3n1()()0kkkbnabnkbna单调递减所以*kN，即证明；（）121max,n nca首先求 的通项公式，分 三种情况讨论证明10,0dd试题解析：解：（） cb，212ax,max2,31cb3 3m,1,2
4、,532当 时，n，1 11()()()()0kkkkkbabnbnan 所以 关于 单调递减*N所以 121max,n nca所以对任意 ，于是 ，nc1c所以 是等差数列n（）设数列 和 的公差分别为 ，则nab12,d121121()()()(kbkdknbadnk所以 2121,nca当 时 ，当 时 ，当 时，取正整数 ，则当 时， ，因此0d21dmn12d1ncba此时， 是等差数列2,mc题的形式出现，难度较大【难点中心】解决数列与函数、不等式的综合问题的关键是从题设中提炼出数列的基本条件，综合函数与不等式的知识求解；数列是特殊的函数，以数列为背景的不等式证明问题及以函数为背景
5、的数列的综合问题体现了在知识交汇点上命题的特点与数列有关的探索问题：第一步：假设符合条件的结论存在；第二步：从假设出发，利用题中关系求解；第三步，确定符合要求的结论存在或不存在；第四步：给出明确结果；第五步：反思回顾，查看关键点当 时，对任意 ，10d1n2121()max,0()max,0).ncbadbnd此时， 是等差数列123,nc 当 时，当 时，有 10d21d12d所以 12 12112()()ncbanbdnan11212()|.db对任意正数 ，取正整数 ，M12121|max,Mbdd故当 时， nmnc【考点】1新定义；2数列的综合应用；3推理与证明【名师点睛】近年北京卷
6、理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对于新的信息的的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明方法，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二两步难度较大，适合选拔优秀学生【例 3】【2017 高考江苏 19 改编】 对于给定的正整数 ，若数列 满足kna对任意正整数 总成111nknnkkaaa 2na()k立，则称数列 是“ 数列”()P（1）证明：等差数列 是“ 数列”；na3（2）是否存在数列 ，它既是“ 数列”，又是“ 数
7、列”？若存(2)(3)P在给出证明；若不存在说明理由【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）证明： 为等差数列，设其公差为 ，则nad，从而，当 时，1nad4n，112213k nnkakdada,k,，2126n nn因此等差数列 是“ 数列”n3P（2）数列 既是“ 数列”，又是“ 数列”，因此a23P当 时， 3nnnaa124当 时， 4 n32136由知， nna4()nn231a将代入，得 ，其中 是等差数12nn345,a列，设其公差为 d在中，取 ，则 ；在中，取42356423,ad，则 ，数列 是等差数3n1613,ana列【例 4】【2016 高考上海数】若无穷
8、数列 满足：只要 ，n *(,)pqN必有 ，则称 具有性质 1pqanaP（1）若 具有性质 ，且 ，n1245,3,2a，求 ；67823（2）若无穷数列 是等差数列，无穷数列 是公比为正数的等比数列，nbnc， ， 判断 是否具有性质 ，并说明理15bc51cnnabaP由；（3）设 是无穷数列，已知 求证：“对任意n *1si()nnN都具有性质 ”的充要条件为“ 是常数列”1,aPb【答案】（1） （2） 不具有性质 （3）见解析316ana【解析】（1）因为 ，所以 ， ， 56374a852a于是 ，又因为 ，解得 678382136（3）证充分性：当 为常数列时， nb1sin
9、naba对任意给定的 ，只要 ，则由 ，必有1apq1ipq1pq充分性得证必要性：用反证法证明假设 不是常数列，则存在 ，nbk使得 ，而 12kb1k下面证明存在满足 的 ，使得 ，但1sinnaa121kaa21ka设 ，取 ，使得 ，则sifxbmb， ，故存在 使0m0fc得 fc取 ，因为 （ ），所以 ，1a1sinnba1k21sinabca依此类推，得 121kaac但 ，即 2sinsinsikkbb21ka所以 不具有性质 ，矛盾必要性得证n综上，“对任意 ， 都具有性质 ”的充要条件为“ 是常数列”1annbIII理论基础解题原理近几年的高考试卷中经常出现以数列为载体的
10、探索性问题，这类问题不仅考查学生的探索能力，而且给学生提供了创新思维的空间，而这类问题有下列三类题型：规律探索性问题；条件探索性问题；结论探索性问题IV题型攻略深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，主要以解答题的形式出现，难度较大【技能方法】处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解若推理不出现矛盾，能求得在范围内的数值或图形，就得到肯定的结论，即得到存在的结果【易错指导】对等差数列，需注
11、意分公差是否为零讨论，对等比数列需注意分公比是否为 1 讨论V举一反三触类旁通考向 1 规律（存在）探索性问题通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论其中反证法在解题中起着重要的作用【例 1】【2018 江西省南昌市二中高三上第四次考试】设等差数列 的前 项和为 ，nanS数列 的前 项和为 满足56124,3aSnbnT112()naTN（）求数列 的通项公式及数列 的前 项和；na1na（）是否存在非零实数 ，使得数列 为等比数列？并说明理由b【分析】（）设数列 的公差为 ，由 又 ，
12、解得 ，nad1643,1,Sa5624a51,2ad由此即可求出数列 的通项公式，即 ，所以 ，然后再n *2naN13nn利用裂项相消法即可求出结果；（）由（）可知 ，当 时， ；当 时，124nT16b2，所以 ，若 是等比数列，则有 而 ，1134nnnbT142nbb241,所以 矛盾，故数列 不是等比数列2211与 n（）因为 1113,2(),42na nTNT124n当 时， ；当 时， n6b113nnb所以 ，若 是等比数列，则有 而 ，所以 矛142nn214b261,b22114bb与盾，故数列 不是等比数列nb【点评】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一
13、个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型，类型一: 型，通过拼凑法裂解成 ；类型nkafc 1ncnckada二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如型，常见的有 ；对数运算nkaffnc11nn本身可以裂解11logllognaanan【例 2】【2018 江苏南通高三上学期第一次调研】若数列 同时满足：对于任意的正整数 ， nan恒成立；对于给定的正整数 ， 对于任意的正整数 恒成立，则称数1ank2nk()k列 是“ 数列”Rk（1）已知 判
14、断数列 是否为“ 数列”，并说明理由；2, na为 奇 数为 偶 数 na2R（2）已知数列 是“ 数列”，且存在整数 ，使得 ， ， ， 成等差nb3(1)p3pb31p31pb3p数列，证明： 是等差数列【答案】（1）是（2）见解析试题解析：（1）当 为奇数时， ，所以 n12130nan1na2na2a当 为偶数时， ，所以 1 0na1n2n42n所以，数列 是“ 数列”n2R（2）由题意可得： ，3nbb则数列 ， ， ， 是等差数列，设其公差为 ，147 1d数列 ， ， ， 是等差数列，设其公差为 ，2b38 2数列 ， ， ， 是等差数列，设其公差为 69 3因为 ，所以 ，1
15、n31234nnbb所以 ，21bdd所以 ， 1221d若 ，则当 时，不成立；210d12bnd若 ，则当 时，不成立；21121若 ，则和都成立，所以 210d12d同理得： ，所以 ，记 3123d3d设 ，313ppbb1pb则 213nnn31pd同理可得： ，所以 313nnbbd1nbd所以 是等差数列【例 3】【2018 广东茂名五大联盟学校高三 3 月联考】设数列 的前 n 项和为 ，且满足 （）（1）求数列 的通项公式；（2）是否存在实数 ，使得数列 为等差数列？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由【答案】(1) ；(2)答案见解析【分析】（1）由题意可得 ，据此有
16、且 （ ） ，故，整理可得 数列 是以 2 为首项，2 为公比的等比数列，（2）由（1）知， ， ，必要条件探路，若为等差数列，则 ， ， 成等差数列，据此可得 经检验 时， 成等差数列，故 的值为-2（2）由（1）知， ，所以 若 为等差数列，则 ， ， 成等差数列，即有 ，即 ，解得 经检验 时， 成等差数列，故 的值为-2 【跟踪练习】1【2018 湖南长沙雅礼中学高三模拟】已知首项为 的等比数列 的前 项和为 ，且23na)(NnS成等差数列432,S（1）求数列 的通项公式；na（2）对于数列 ，若存在一个区间 ，均有 ，则称 为数列 的“容值区AM),321(,iAi MnA间”设
17、 ，试求数列 的“容值区间”长度的最小值nnSb1nb（注：区间 的长度均为 ）,),(),aaa【答案】（1） ；（2） 13nn6当 为偶数时， ，易知 随 增大而增大， ，此时 ；nnnS)21(nS)1,43nS125,(nnSb当 为奇数时， ，易知 随 增大而减小， ，此时 nn)(n 2,(n 63,(nn又 ， 故数列 的“容值区间”长度的最小值为 12563213,nbnb612【2018 安徽六安一中上学期期末考】已知数列 na的前 项和为 nS， ， 是 6 与 2nS的等1a13n差中项 nN（1）求数列 a的通项公式；（2）是否存在正整数 ，使不等式 恒成立，若存在，
18、求出 k的最大值；若不存k21nnkaSN在，请说明理由【答案】(1) ；(2)存在， *13Nnan【解析】（1）解法一：因为 是 6 与 2 的等差中项，1nSn所以 ，即 ，162nS13nn当 时有13n得 ，即 对 都成立 11nSS13nna2又根据 有 即 ，所以 2213a所以 所以数列 是首项为 1，公比为 的等比数列13naNn解法二：因为 是 6 与 2 的等差中项，所以 ，即 ，nS 162nSN13nnS由此得 ，13313222nnnnSS又 ，所以 ，11a132nNS所以数列 是以为 首项， 为公比的等比数列32nS得 ，即 ，13nn132nnSN所以，当 时
19、， ，2121 133nnnna又 时， 也适合上式，所以 1n1na（2）根据（1）的结论可知，数列 是首项为 1，公比为 的等比数列，na3所以其前 项和为 ，n132nSN原问题等价于 恒成立113nk当 为奇数时，不等式左边恒为负数，右边恒为正数，所以对任意正整数 不等式恒成立；n k当 为偶数时， 等价于 恒成立，21103nnk令 ，有 ，则 等价于 在 恒成立，13nt0t 23kt13t因为 为正整数，二次函数 的对称轴显然在 轴左侧，k2yty所以当 时，二次函数为增函数，故只须 ，解得 ， ，所以存103t2130k12kN在符合要求的正整数 ，且最大值为 11k3【201
20、8 北京海淀区高三二模】如果数列 满足“对任意正整数 ，都存在正整数 ，使得 , =”，则称数列 具有“性质 ”已知数列 是无穷项的等差数列，公差为 （）若 ，公差 ，判断数列 是否具有“性质 ”，并说明理由； 1=2 =3 （）若数列 具有“性质 ”，求证： 且 ； 10 0（）若数列 具有“性质 ”，且存在正整数 ，使得 ，这样的数列共有多少个？并说明理 =2018由【答案】（）不具有性质 ；（）证明见解析；（） 3039详解：（）若 ，公差 ，则数列 不具有性质 1=2 =3 理由如下：由题知 ，对于 和 ，假设存在正整数 k，使得 ，则有 ，=31 1 2 =12 31=25=10解得
21、 ，矛盾！所以对任意的 ， =113 12（）若数列 具有“性质 P”，则假设 ， ，则对任意的 ， 10假设 ， ，则存在正整数，使得10 1123+1 假设 ， ，则存在正整数，使得10 230+1+2设 ， ， ， ， +1+2=1 +1+3=2 +1+4=3 +12+2=+1 ，则 ，但数列 中仅有项大于等于 0，矛盾，=1,2,+1 0123+1 综上， ， 10 0（）设公差为 的等差数列 具有“性质 P”，且存在正整数 ，使得 =2018若 ，则 为常数数列，此时 恒成立，故对任意的正整数 ，=0 =2018 ，这与数列 具有“性质 P”矛盾，故 =201820182=12 0设
22、 是数列 中的任意一项，则 ， 均是数列 中的项，设 + +2 ， ，则 ，1=(+)2=(+2) 21=(21)因为 ，所以 ，即数列 的每一项均是整数0 =21 由（）知， ， ，故数列 的每一项均是自然数，且 是正整数10 0 由题意知， 是数列 中的项，故 是数列中的项，设 ，2018+ 2018(2018+) =2018(2018+)则 ，=2018(2018+)2018=20182017+2018=()即 (2018)=20182017因为 ， ，故 是 的约数2018 20182017所以， ， =1,2,1009,2017,21009,22017,100920172100920
23、17当 时， ，得 ，故=1 1=2018(1)0 =1,2,.,2018,2019，共 2019 种可能；1=2018,2017,.,2,1,0当 时， ，得 ，故=2 1=20182(1)0 =1,2,.,1008,1009,1010，共 1010 种可能；1=2018,2016,2014,.,4,2,0当 时， ，得 ，故 ，共 3 种可能；=10091=20181009(1)0 =1,2,3 1=2018,1009,0当 时， ，得 ，故 ，共 2 种可能；=20171=20182017(1)0 =1,2 1=2018,1当 时， ，得 ，故 ，共 2 种可能；=210091=2018
24、2018(1)0 =1,2 1=2018,0当 时， ，得 ，故 ，共 1 种可能；=220171=201822017(1)0 =1 1=2018当 时， ，得 ，故 ，共 1 种可能；=100920171=201810092017(1)0 =1 1=2018当 时， ，得 ，故 ，共 1 种可=2100920171=2018210092017(1)0 =1 1=2018能综上，满足题意的数列 共有 （种） 2019+1010+3+2+2+1+1+1=3039经检验，这些数列均符合题意点睛：本题的难点是第（）问，难在先要通过分析转化得到数列 的特征， 这一点突破后，后面就迎刃而解=1,2,10
25、09,2017,21009,22017,10092017210092017了本题主要考查学生的知识迁移转化能力，属于难题考向 2 条件探索性问题对于条件开放的探索性问题，往往采用分析法，从结论和部分已知的条件入手，执果索因，导出所需的条件另外，需要注意的是，这一类问题所要求的往往是问题的充分条件，而不一定是充要条件，因此，直觉联想、较好的洞察力都将有助于这一类问题的解答【例 4】【2018 届江苏省扬州中学高三 12 月月考】已知数列 为等差数列， ， 的前 和为na12an，数列 为等比数列，且 对任意的 恒成立nSnb 2123(1)4abb N（）求数列 、 的通项公式；an（）是否存在
26、非零整数 ，使不等式 对一切 都成 112()()cos2nnaa 立？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由（）各项均为正整数的无穷等差数列 ，满足 ，且存在正整数 k，使 成等比数列，nc39107139,kc若数列 的公差为 d，求 d 的所有可能取值之和nc【分析】（）因为 对任意的 恒成立，所以取2123()4nnababnN，又知 为等差数列， 为等比数列，设出首项，公差，公比解方程组即可；（）由1,23n，得 ，设 ，则不等式等价于2na11coss()(2nna121()()n nbaa，问题转化为求 的最小值，因 ，利用 知 单调递增，1()nbnb0n3nbnb求 的最小值
27、，再根据 求解；n 1()n（）特殊情况 时，成立，当 d0 时， ，0d391182048cdcd，由等比中项知 ，化简得39()214()kck 391k，整理得： ，由2575(7)kk *539Nd，所以 ，根据 ，故10483()03cddd 30d*8，从而 ，所以公差 d 的所有可能取值之和为 53,2952,14 137当 为奇数时，得 ； nmin123()b 当 为偶数时，得 ，即 in285()851综上， ，由 是非零整数，可知存在 满足条件8523,1（）易知 d=0，成立 当 d0 时， ， ，3911820438cdcd39()2014(39)kcdkd2 239
28、1(4)(9)04(5)39kck k 553k253(7)()3(7)kddkdk，91095，*3()38538955k Ndddd又 ， ，120480cQ， ，所以公差 d 的所有可能取值之和为 16 分53,9d52,134d 137【点评】第一问采取特殊化的思想，转化为联立方程组求首项，公差公比问题，比较容易解决；第二问学会构造数列，将恒成立问题转化为求数列的最小值，选择做商的方法研究数列的单调性，进而求其最值，特别注意最后结果需要对 分奇偶讨论；第三问通过等比中项，构造公差和项数的方程，利用项数是正整n数，分析对公差 的要求，进而得到 的可能取值，此类问题虽然比较常见，但是对变形
29、、运算、分析能dd力要求很高【例 5】【2018 上海市普陀区高三下学期质量调研（二模）】若数列 同时满足条件：na存在互异的 使得 （ 为常数）；*,Npqpqac当 且 时，对任意 都有 ，则称数列 为双底数列n*nnan（1）判断以下数列 是否为双底数列（只需写出结论不必证明）；n ； ； 6nasi2a35n（2）设 ，若数列 是双底数列，求实数 的值以及数列 的前 项和5012, nmnnamna；nS（3）设 ，是否存在整数 ，使得数列 为双底数列？若存在，求出所有的 的值；9310nnakknak若不存在，请说明理由【答案】(1) 是双底数列，不是双底数列(2) （3）存在整1m
30、2490,150 8nnS数 或 ，使得数列 为双底数列1k3na【解析】试题分析：（1）根据双底数列的定义可判定是双底数列，不是双底数列；（2）由双底数列定义可知 ，解得 ， 当 时，数列成等差，501a1m50，当 时，2920nnSn，从而可得结果；225010511n （3） ， 若数列 是双底数列，则 有解（否则不是双底1930nnakna93kn数列），即 ，该方程共有四组解，分别验证是否为双底数列即可得结果3（3） 11993300nnnakk， 901nk若数列 是双底数列，则 有解（否则不是双底数列），即 ，na93k39nk得 或 或 或 ，故当 时， ，1 6k3 8 1
31、2n 01k160na当 时， ；当 时， ；当 时， ；5n1a61na71n从而 ，数列 不是双底数列；1234578 n同理可得：当 时， ，数列 不是双底数列；k12910 na当 时， ，数列 是双底数列；121345aaa 当 时， ，数列 是双底数列；3k0213 n综上，存在整数 或 ，使得数列 为双底数列kn【方法点睛】本题考查数列的通项公式及求和公式、新定义问题的应用，属于难题新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的
32、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决本题定义双底数列达到考查数列性质的目的【例 6】【2018 江苏扬州第一学期期末调研】已知各项都是正数的数列 的前 项和为 ，且 ，数列 满足 ， （1）求数列 、 的通项公式；（2）设数列 满足 ，求和 ；（3）是否存在正整数 ， ， ，使得 ， ， 成等差数列？若存在，求出所有满足要求的 ，若不存在，说明理由所以数列 是等比数列，其中首项为 ，公比为 ，所以 （2） ，裂项得 ，所以 （3）假设存在正整数 ，使得 成等差数列，则 ，即 ，因为 ，所以数列 从第二
33、项起单调递减，当 时， ，若 ，则 ，此时无解；若 ，则 ，因为 从第二项起递减，故 ，所以 符合要求，若 ，则 ，即 ，不符合要求，此时无解； 当 时，一定有 ，否则若 ，则 ，即 ，矛盾，所以 ，此时 ，令 ，则 ，所以 ， ，综上得：存在 或 ， ， 满足要求【跟踪练习】1【2018 河北武邑中学高三上学期调研】已知数列 的前 项和为 ，且 ，又数列nanS12nn满足 nb:nab()求数列 的通项公式；()当 为何值时，数列 是等比数列？并求此时数列 的前 项和 的取值范围nbnbnT【答案】（） ；() 1,2nna1,2()由 有 则数列 为等比数列，nab1,2nnnb则首项为
34、 满足 的情况，故 ，1则 11212nnn nbqb+而 是单调递增的，故 2n 121,2nnb+2【2018 江西鹰潭一中高三上学期月考】设等差数列 的前 项和为 ， ， ，nanS1,a10,ba若 ，且 ，数列 的前 项和为 ，且满足 （ ）4abA13SnbT12naT*N（）求数列 的通项公式及数列 的前 项和 ；n 1na（）是否存在非零实数 ，使得数列 为等比数列？并说明理由b【答案】（） ， ；（）不存在非零实数，使数列为等比数列，理由见解析21na96nM（）因为 （ ）且 可得 ，112naT*nN13a124nT当 时， ；当 时， ，此时有 ，若是 等比数列，则有1
35、6b21nnnbT1nbnb，而 ， ，彼此相矛盾，故不存在非零实数，使数列为等比数列214123【2018 河南师大附中高三 8 月开学考试】设数列 的前 项和为 ， ， nanS1a1nSa*nN（1）求数列 的通项公式 ；na（2）是否存在正整数 ，使得 ？若存在，求出 值；若不存在，2312 106nS n说明理由【答案】（） ；（） 65na807n（） ，所以 ，231=(65)31nSannn32nS12 1.2.所以 22312 3153. 06nS nn所以 ，所以 ，即当 时， 540n8078072.1S考向 3 结论探索性问题探索结论型问题是指那些题目结论不明确、或者答
36、案不唯一，给同学们留有较大探索余地的试题一般是由给定的已知条件求相应的结论它要求同学们充分利用已知条件进行猜想、透彻分析，发现规律、获取结论，这一类问题立意于对发散思维能力的培养和考察，具有开放性，解法活、形式新，无法套用统一的解题模式，不仅有利于考查和区分同学们的数学素质和创新能力，而且还可以有效地检测和区分考生的学习潜能，因而受到各方面的重视，近年来已成为高考试题的一个新亮点【例 7】【2018 江苏省清江中学高三上测评】已知数列 中， （ 为非零常数），其前 n 项和na2a满足 nS1()()2naN（1）求数列 的通项公式；n（2）若 ，且 ，求 的值；a214mnSn、（3）是否存
37、在实数 ，使得对任意正整数 ，数列 中满足 的最大项恰为第 项？b、 pnanbp32p若存在，分别求出 与 的取值范围；若不存在，请说明理由a【分析】(1)先由 得 ， ， 两式相减整12nS1()02aSA2naS11()2na理得 ， ， 再相减化为 ，故 是等差数列，1()na21()nna121nnaan；(2)先求出 代入 整理得n ,S24mS，只有 且 ，解得 ；(3)先(23)()43m23,m,1排除 的情况，再求得 时有 ，再由 对任意正数 成立可得0a0a1pbna231pbap，最后验证 得 1,323又 ， 120,a(1)na（3）由 ，得 ，nabp(1)anb
38、p若 ，则 ，不合题意，舍去；0a1pbna若 ，则 不等式 成立的最大正整数解为 ，nbp32p ，3213pa即 对任意正整数 都成立，() ，解得 ，03此时， ，解得 ，213b21b故存在实数 满足条件， 与 的取值范围是 ，a、 a12,3ab【点评】判定一个数列为等差数列的常见方法是：验证 n时 1na为同一常数；验证 3n时，12nn恒成立；验证 npq；验证 2SAB本题（1）运用了方法【例 8】【2018 江苏省盐城中学高三上学期期末】已知数列 满足 ， ，其na1214nna中 ， ， 为非零常数*Nn（1）若 ， ，求证： 为等比数列，并求数列 的通项公式；381nan
39、a（2）若数列 是公差不等于零的等差数列na求实数 ， 的值；数列 的前 项和 构成数列 ，从 中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列试问：nnSnnS是否存在首项为 的四项子数列，使得该子数列中的所有项之和恰好为 2017？若存在，求出所有满足条1件的四项子数列；若不存在，请说明理由经检验，满足题意综上， ， ， 1421na由知 nS设存在这样满足条件的四元子列，观察到 2017 为奇数，这四项或者三个奇数一个偶数、或者一个奇数三个偶数1若三个奇数一个偶数，设 ， ， ， 是满足条件的四项，1S21x21yS2z则 ，21x2407yz，这与 1007 为奇数矛盾，不合题意舍去2若一个
40、奇数三个偶数，设 ， ， ， 是满足条件的四项，1S2xy2zS则 ， 214x2407yz504由 504 为偶数知， ， ， 中一个偶数两个奇数或者三个偶数1）若 ， ， 中一个偶数两个奇数，不妨设 ， ， ，z 12x1y12z则 ，这与 251 为奇数矛盾2211xy52）若 ， ， 均为偶数，不妨设 ， ， ，z1x1y1z则 ，继续奇偶分析知 ， ， 中两奇数一个偶数，2116xy不妨设 ， ， ，则 22y12z22xy23z因为 ， 均为偶数，所以 为奇数，不妨设 ，yz 0当 时， ， ，检验得 ， ， ，21x22y30214y2y25z21x当 时， ， ，检验得 ， ，
41、 ，322z2143当 时， ， ，检验得 ， ， ，25xy6y20y2z2x即 ， ， ， 或者 ， ， ， 或者 ， ， ， 满足条件，1S484S12S436S14S40综上所述， ， ， 为全部满足条件的四元子列1,20,【例 9】【2018 江苏如东高级中学等四校高三 12 月联考】已知数列 满足 ， ，且对任意na1028a， 都有 m*nN221134mnmnaa（1）求 ， ；35（2）设 （ ）21nnba*N求数列 的通项公式；设数列 的前 项和 ，是否存在正整数 ， ，且 ，使得 ， ， 成等比数列？1nbnSpq1pq1Spq若存在，求出 ， 的值，若不存在，请说明理由pq【答案】（） ， （） ，31a532nbp16q， 131ba132nbn因为 112n所以 134732331n nSn 则 ， ， 11p1qS因为 ， ， 成等比数
