1、钢城四中 2018 届高三模拟测试卷理科数学第 I 卷（选择题 共 60 分）一、选择题:本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知集合 ， ，则 （ ）A. B. C. D. 2下列命题中错误的是A. 若命题 p 为真命题,命题 q 为假命题,则命题“pV(q)”为真命题B. 命题“若 a+b7,则 a2 或 b5”为真命题C. 命题“若 x2-x=0,则 x=0 或 x=1”的否命题为“若 x2-x=0,则 x0 且 x1”D. 命题 p: x0,sinx2x-1,则 p 为 x0,sinx2 x-13已知 是公比为 4
2、的等比数列 的前 项和，若 ，则 （）nSna38nmaSA. 3 B. 4 C. 5 D. 64已知 是 所在平面内一点，且 ， ，则 （ ）A. 2 B. 1 C. D. 5南宋数学家秦九韶在数书九章中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法，已知 ，下列程序框图设计的是求201720168fxxx的值，在 处应填的执行语句是( )0fMA. B. C. D. ni201i1ni2017ni6如图的折线图是某公司 2017 年 1 月至 12 月份的收入与支出数据，若从 7 月至 12 月这 6个月中任意选 2 个月的数据进行分析，则这 2 个月中至少有一个月利润（利润=收入-支出
3、）不低于 40 万的概率为（ ）A. B. C. D. 5125347已知 ，若存在点 ，使得 ，则 的取值范围为（ ）A. B. C. D. ),21(),21(),43(),43(8 是 上奇函数，对任意实数 都有 ，当 时，则 （ ）A. B. C. D. 9某几何体的三视图如图所示，则其体积为（ ）A. 8 B. 10 C. 12 D. 1410下列关函数 的命题正确的个数为（ ） 的图象关于 对称； 的周期为 ；若 ，则 ； 在区间 上单调递减.A. 1 B. 2 C. 3 D. 411设 为坐标原点，点 为抛物线 ： 上异于原点的任意一点，过点OPC2(0)ypx作斜率为 的直线交
4、 轴于点 ，点 是线段 的中点，连接 并延长交抛物P0yMPNO线于点 ，则 的值为（ ）HNA. B. C. D. p123212已知定义在 上的偶函数 在 上单调递减，若不等式对任意 恒成立，则实数 的取值范是（ ）A. B. C. D. 3ln2,1ee,1,e,2第 II 卷（非选择题 共 90 分）二、填空题:本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13记直线 的倾斜角为 ，则 的值为_.:210lxy1tan2si14 的展开式中含 的系数为 50，则 的值为_5a2x15四棱锥 中，底面 是边长为 2 的正方形，侧面 是以 为斜边的等腰直角三角形，若 ，则四棱锥 的外接
5、球的表面积为_16已知 是椭圆 上关于原点对称的两点，若椭圆 上存在点 ，使得直线 斜率的绝对值之和为 1，则椭圆 的离心率的取值范围是_.三解答题:本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（本小题满分 12 分）若正项数列 的前 项和为 ，首项 ， 点nanS1a1,nPS在曲线 上21yx（1）求数列 的通项公式 ；nan（2）设 ， 表示数列 的前 项和，若 恒成立，求 及实数1nbnTnbnTanT的取值范围a18（本小题满分 12 分）如图，在四棱锥 中，四边形 为梯形，ABCFEFCB，且 ， 是边长为 2 的正三角形，顶点 在 上的射影/EF
6、BC34BA为点 ，且 ， ， .G3F21C5BF（1）证明：平面 平面 ；BA（2）求二面角 的余弦值.E19（本小题满分 12 分）某市教育部门为了了解全市高一学生的身高发育情况，从本市全体高一学生中随机抽取了 100 人的身高数据进行统计分析。经数据处理后,得到了如下图 1 所示的频事分布直方图，并发现这 100 名学生中,身不低于 1.69 米的学生只有 16名,其身高茎叶图如下图 2 所示，用样本的身高频率估计该市高一学生的身高概率.(I)求该市高一学生身高高于 1.70 米的概率,并求图 1 中 的值.(II)若从该市高一学生中随机选取 3 名学生,记 为身高在 的学生人数,求
7、的分布列和数学期望；()若变量 满足 且 ,则称变量 满足近似于正态分布 的概率分布.如果该市高一学生的身高满足近似于正态分布 的概率分布，则认为该市高一学生的身高发育总体是正常的.试判断该市高一学生的身高发育总体是否正常,并说明理由.20（本小题满分 12 分）如图，已知 ， 分别为椭圆 ： 的上、1F21C21(0)yxab下焦点， 是抛物线 ： 的焦点，点 是 与 在第二象限的交点，且1F2C4xyM2153MF（1）求椭圆 的方程；1C（2）与圆 相切的直线 ： （其中22xylykxt）交椭圆 于点 ， ，若椭圆 上一点 满0kt1AB1CP足 ，求实数 的取值范围OABP221（本
8、小题满分 12 分）已知 ,函数 .()若 有极小值且极小值为 0，求 的值；()当 时， , 求 的取值范围.请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.22（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原xOy1C3 xcosyin点 为极点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为2C.4sin6（1）写出曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程；1C2C（2）若射线 ： 平分曲线 ，且与曲线 交于点 ，曲线 上的点OM01CA1C满足 ，求 .B2AB23（
9、本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）若关于 的不等式 恒成立，求 的取值范围.钢城四中 2018 届模拟测试卷理科数学参考答案一、选择题：BCBCB DCADA CA二、填空题：13 14-1 15 1612三、解答题：17. 解：（1）由 ，得 ，21nnS1nnS所以数列 是以 为首项，1 为公差的等差数列，所以 ，即 ，1n2n由公式 ，得1, nnSa1, ,na所以 2n（2）因为 ，11122nbann所以 ，nT显然 是关于 的增函数，所以 有最小值 n nT1min123T由于 恒成立，所以 ，nTa13a于是 的取值范围
10、是 ,18.解：（）证明：由顶点 在 上投影为点 ，可知， FACGFAC取 的中点为 ，连结 ， ACOB在 中， ， ，所以 RtFG32132在 中， ， ，所以 RtGBO312OG132B所以， ，即 22F ,AC 面 GB又 面 ，所以面 面 FFGBAC（）由（）知， ， ，且OFG所以 面 ，且 面 以 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，BACOBxOCy过点 作平面 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，如图所示： z， 10,13,0,32ABF， ，3,2E3,B51,42BF设平面 ， 的法向量分别为 ，则AEB,mn，则 ，0mM1,3，则0nBF， 1,32，785c
11、osmn所以二面角 的余弦值为 EABF78519.解： (I)由图 2 可知，100 名样本学生中身高高于 1.70 米共有 15 名，以样本的频率估计总体的概率，可得这批学生的身高高于 1.70 的概率为 0.15.记 为学生的身高，结合图 1 可得:，,又由于组距为 0.1,所以 ，（）以样本的频率估计总体的概率，可得: 从这批学生中随机选取 1 名，身高在 的概率.因为从这批学生中随机选取 3 名，相当于三次重复独立试验，所以随机变量 服从二项分布 ，故 的分布列为:0 1 2 30.027 0.189 0.441 0.343（或()由 ，取由（）可知， ,又结合(I)，可得:，所以这
12、批学生的身高满足近似于正态分布 的概率分布，应该认为该市高一学生的身高发育总体是正常的.20解：（1）由题意得 ，所以 ，又由抛物线定义可知 ，10,F21ab153MFy得 ，于是易知 ，从而 ，由椭圆定23My6,3222673MF义知，得 ，故 ，122aF42ab从而椭圆 的方程为 1C13xy（2）设 ， ， ，则由 知， ， 1,Ay2,B0,PxyOABP120x，10y且 ，2034x又直线 ： （其中 ）与圆 相切，所以有 ，lykxt0kt221xy21kt由 ，可得 （ ， ） ，0k21tt又联立 消去 得 ，且 恒成立，2, 43yxy222436310kxtkt且
13、， ，1226ktx21tk所以 ，1212843tyxt所以得 ，代入式，得 ，2268,43ktktP42211633ktkt所以 ，2tk又将式代入得， ， ， ，2241t0t1t易知 ，且 ，所以 21t23t 240,321.解：() .若 ，则由 解得 ,当 时， 递减；当 上， 递增；故当 时， 取极小值 ，令 ，得 （舍去）.若 ，则由 ，解得 .(i)若 ，即 时，当 ， . 递增；当上， 递增.故当 时， 取极小值 ，令 ，得 （舍去）（ii）若 ，即 时， 递增不存在极值；(iii)若 ，即 时，当 上， 递增； ，上， 递减；当 上， 递增.故当 时， 取极小值 ,得
14、 满足条件.故当 有极小值且极小值为 0 时,() 等价于 ，即当 时，式恒成立；当 时， ，故当 时，式恒成立；以下求当 时,不等式 恒成立，且当 时不等式恒成立时正数 的取值范围.令 ,以下求当 恒成立，且当,恒成立时正数 的取值范围.对 求导，得 ，记 .(i)当 时， ,故 在 上递增，又 ，故 ,即当 时， 式恒成立；(ii)当 时， ,故 的两个零点即 的两个零点和 ,在区间 上， 是减函数，又 ，所以 ，当 时式不能恒成立.综上所述,所求 的取值范围是 .22. 解：（1）曲线 的直角坐标方程是 ，化成极坐标方程为 ；1C213xy2231sin曲线 的直角坐标方程是 22214（2）曲线 是圆，射线 过圆心，所以方程是 ，代入 得2COM032231sin，又 ，所以 ，因此 .65AB2B245AB23.解：（1）当 时，由 ，得 ，当 时，由 ，得 ；当 时，由 ，得 ；当 时，由 ，得 ；综上所述， 的解集为 .（2）不等式 ，即为 ，即关于 的不等式 恒成立，而，当且仅当 时等号成立，所以 ，解得 或 ，解得 或 .所以 的取值范围是 .
