1、排列、组合问题分类解析一、解决排列、组合问题常用方法：两个原理、优限法、排除法、捆绑法（视一法） 、插空法、隔板法、等可能法、固定模型、树图法等，但最基础的是“两个原理”.二、排列、组合问题大体分以下几个类型类型一：排队问题例 1：7 人站成一排，求满足下列条件的不同站法：（1）甲不站排头，乙不站排尾_（2）甲、乙两人不站两端_（3）甲、乙两人相邻_（4）甲、乙两人不相邻_（5）甲、乙之间隔着 2 人_（6）甲在乙的左边_（7）若 7 人顺序不变，再加入 3 个人，要求保持原先 7 人顺序不变_（8）若 7 人中有 4 男生，3 女生，男、女生相间隔排列_（9）7 人站成前后两排，前排 3 人
2、，后排 4 人的站法_（10）甲站中间_（11）7 人中现需改变 3 人所站位置，则不同排法_（12）若 7 人身高各不相同，则按照从高到低的站法_（13）甲、乙、丙 3 人中从左向右看由高到底（3 人身高不同）的站法_（14）若甲、乙两人去坐标号为 1，2，3，4，5，6，7 的七把椅子，要求每人两边都有空位的坐法_类型二：分组与分配问题例 2：将 6 本不同的书，若按如下方式来分，则不同分法种数有：（1）平均分成 3 堆，每堆 2 本_（2）分给甲、乙、丙 3 人，每人 2 本_（3）分成 3 堆，每堆本数分别是 1，2，3，_（4）分给甲 1 本，乙 2 本，丙 3 本_（5）分给 3
3、人，1 人 1 本，1 人 2 本，1 人 3 本_（6）分给甲、乙、丙 3 人，每人至少 1 本_（7）若将 6 本不同书放到 5 个不同盒子里，有_种不同放法（8）若将 6 本不同书放到 5 个不同盒子里，每个盒子至少 1 本，则有_种不同放法。（9）若将 6 本不同书放到 6 个不同盒子里，恰有一个空盒子的方法_。（10）若将 6 本书放到四个不同盒子中，每个盒子至少一本_（11）若将 6 本编号为 1，2，3，4，5，6 的不同的书放到编号为1，2，3，4，5，6 的 6 个不同盒子中，要求有 3 本书的编号与盒子不一致的放法_（12）将 6 名优秀指标分到 4 个不同的班中去，每班至
4、少 1 名，则分法种数_从中得出注意问题：分清是否是平均分配，有无归属，如 2 本书平均分成 2 份，仅有一种分法，而 7 本书按 2，2，3 来分有 种分法。3472CA类型三：数字问题例 3：现有 0，1，2，3，4，5 共 6 个数字（1）可组成数字可重复的 5 位数有_个（2）可组成无重复数字的 5 位数_个（3）可组成无重复数字的 5 位偶数的个数_ （4）可组成能被 5 整除的无重复数字的五位数_个（5）在（3）中所有的偶数中，从小到大，第 100 个数是_（6）用 1，2，3，4 组成无重复数字的四位数，所有这些四位数的数字和是_，所有这些四位数的和是_（7）由 0，1，2，3，
5、4，5 六个数构成四位数中个位数与百位数之差的绝对值为 4的有_个（8）在由数字 1，2，3，4，5 组成的无重复数字的 5 位数中，大于 23145 且小于43521 的数有_个。（9）若从 1 到 100 这 100 个自然数中，任取 20 个数，要求这 20 个数两两不相邻的选法_种。（10）1800 的正约数的个数为_个类型四：几何问题例 4（1）从正方体的 6 个面中任选取 3 个面，其中有 2 个面不相邻的选法种数是_（2）从正方体的 8 个顶点中，任取两点相连，可形成_对异面直线。（3）从正方体的 8 个顶点中任取 3 点连成一个三角形，其中直角三角形有_个。（4）从三棱柱中，任
6、取两个顶点连成一条直线，其中异面直线有_对。（5）在四面体的顶点、各棱中点共 10 个点中，任取 4 点，使其不共面，不同取法有_种。GDFCNMEHBA A5A4A3A2A1B4B3B2B1O5 题图6 题图（6）如图，在 的边 OM 上有 5 个异于 O 的点，ON 上有 4 个异于 O 的点，MON以这 10 个点为顶点，可得_个三角形。（7）正六边形的中心和顶点共 7 个点，以其中 3 个点为顶点的三角形共有_个。（8）A、B、C、D 是海上四岛，要建三座桥，将四岛联接起来，则不同建桥方案有_种。（9）在平面直角坐标系中，平行直线 X=n（n：0，1，2，3，4，5）与平行直线y=m(
7、m:0，1，2，3，4，5)组成图形中，矩形有 _个。（10）从集合 中任取两个元素，作为椭圆方程 的 m、n，, 2xy1且能组成落在矩形区域 内的椭圆个数为_B(x,y)|1|9且个（11）已知直线 与圆 有公共点，且公共点2axby10(ab)2y50的横、纵坐标为整数，这样的直线有_条。（12） 内有任意三点不共线的 2005 个点，加上 A、B、C 三个顶点共 2008ABC个点，把这 2008 个点连线形成互不重叠的小三角形，则一共可形成小三角形_个。（13）若直线方程 的系数 A、B 可以从 0，1，2，3，6，7 这六个数字xy0中取不同的数而得到，则这样的方程表示不同直线的条
8、数是_。（14）空间中有 12 个点，其中 5 点共面，此外无任何四点共面，这 12 个点可确定_个不同的平面。（15）如图，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中与正八边形有公共边的三角形有_个。15 题图（16）从长度分别为 1，2，3，4，5 的五条线段中，任取 3 条的不同取法共有 n 种，在这些取法中，以取出的三条线段为边构成钝角三角形的个数为 m，则_。mn类型五：涂色问题例 5：（1）如图用 5 种不同颜色给图中 A、B、C、D 四个区域涂色，规定每一区域只涂一种颜色，相邻区域涂不同色，共有_种不同涂法DCBA45321（2）如图一地区有 5 个行政区域，现给地图涂色，要求相邻区
9、域不得使用同一颜色，现有 4 种颜色供选择，则不同着色方法有_种。（3）某城市中心广建一花圃，花辅分 6 个部分，现有 4 种不同颜色的花，每部分栽种一种，且相邻区域不能栽种同一种花，则不同栽种方法有_种。 CBDHS（4）如图将一四棱锥每一个顶点染上同一种颜色，并使同一条棱上的端点颜色不同，如果仅有 5 种颜色供使用，则有_种不同染色方法。（5）直线 将圆面 分成若干块，现用 5 种不同颜色给这若xm,y2xy4干块涂色，每块只涂一种颜色，且任意两块不同色，共有 120 种涂色，则 m 的取值范围是_。1 题图2 题图3 题图4 题图（6）如右图所示，用 5 种不同颜色着色，相邻部分不能用同
10、一种颜色，但同一种颜色可反复利用，则不同着色方案有_种。类型六：列方程求解问题例 6：（1）某场足球比赛的计分规则是胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，一球队打完 15 场后积 33 分，若不考虑顺序，则该队胜、负、平的情况共有多少种？（2）某电脑用户计划用不超过 500 元的资金购买单价分别是 60 元、70 元的单片软件和盒装磁带，根据需要，软件至少买 3 件，磁盒至少买 2 盒，则不同的选购方法有几种？（3）一个口袋内有 4 个不同的红球和 6 个不同的白球。从中任取 4 个球，使红球的个数不比白球少，这样的取法有多少种？若取一红球记 2 分，取一白球记 1 分，从口袋
11、中取 5 个球，使总分不少于7 的取法种数有多少种？（4）一铁路原有 n 个车站，为适应客运要求，新增 m 个车站（ ） ，客运票增1加了 62 种，则原有车站_个，现有_个。类型七：选人问题例 7：现从 12 人中选出 5 人参加一项活动，求满足下列条件的选法。（1）A、B、C 三人必须入选：（2）A、B、C 三人不能入选：（3）A、B、C 三人中只有 1 人入选：（4）A、B、C 三人中至少有 1 人入选：（5）A、B、C 三人中至多二人入选：例 8：（1）在 11 名工人中，有 5 人只会排版，4 人只会印刷，还有 2 人既会排版也会印刷，现从 11 人中选 4 人排版，4 人印刷，共有
12、_种不同选法。（2）某外商计划在 4 个侯选城市投资 3 个不同的项目，且在每一城市投资项目不超过 2 个，则该外商不同的投资方案，有_种。xOy5 题图 6 题图（3）函数 满足 ，则这样的函数个数共有_个。f:1,23,f(x)f(（4）写有 0，1，2，5，7，9 的六种卡片，若允许 9 可以当 6 用，那么从中抽出三张卡片，可以组成_个不同的三位数。（5）设 是等差数列，从 中任取 3 个不同的数，使这三个数仍成na1210,a等差数列，则这样的等差数列最多可有_（6）从 6 名学生中，选出 4 人分别从事 A、B、C、D 四项不同的工作，若其中甲、乙两人不能从事工作 A，则不同的选派
13、方案共有 _种。（7）将 展开后，经合并同类项后的项数有_项。10(xyz)参考答案一、排队问题例 1:解(1)法 1: (优限法)6153720AC法 2: (排除法)7652(2) (优限法)540(3) (捆绑法)261A(4) (排除法)75226630(5) (捆绑法)549(6) (等可能法)720A(7) (插空法)1890C(8) (插空法)34A(9) (分步计数)75(10) (优限法)620(11) (分 步 计 数 ,从 7 人 中 任 取 3 人 ,如 a,b,c,则 改 变 原 位 置 站 法 有 2 种 ,b,c,a 和 c,a,b)37C(12) 1 (固定模型
14、)(13) (等可能)73840A(14)6 (固定模型 ,甲、乙两人坐法有(2,4)(2,5)(2,6)(3,5)(3,6)(4,6)6 种)21二、分组与分配问题例 2:解(1) (平均分组,无归属)264315CA种(2) (平均分配 ,有归属,而这种分法又可分以下两步:先平均分成26490种3 份,每份 2 本,再分给 3 人)(3) 种 (不平均分配,无归属)165C(4) 种 (不平均分配,有归属)230(5) (不平均分配,有归属但不固定)1653A种(6) (分类计数,3 人手中书本数可分(2,2,2)2431346540CCA种(1,1,4)(1,2,3)3 类)(7) 种
15、(分步计数)65(8) 26180A种(9) 5C种(10) (有(1,1,1,3)(1,1,2,2)两类放法)234466150A种(11) 种 (同例 1 第(11) 题)360(12) 种 (隔板法)251C三、数字问题例 3:解(1) (2) (3) 1456 14560CA413524AC(4) (5)23510432A(6) 3324(1)40,(124)(101)6(7)48 (8)58 (9) 08C(10)36 (1800= 的取法种数分别有 4,3,3 种)325,四、几何问题例 4:解(1) 36812C(2)174 (转化为找组成四面体的个数 : 每个四面体有 3 对异
16、面直线)4812,C(3) (4)3846(3)(5) (6)1061C1212545490C(7) (8) (共可有桥 )372366座(9) (10)26510872C(11)72 (12)22005+1=4011(13)18 (14)211 (15)40 (16) 15五、涂色问题例 5:解:(1)180(2)72( 相同 , 4322=48 种, 不同:4 3211=24 种)(3)120(可分 相同,相同 ,都不同 3 类)(4)420(分 A、C 相同与 A、C 不同)(5)( ) (6)5402,六、列方程求解问题例 6: (1)解:设胜 x 场,平 y 场,负 z 场,则 z=
17、15xy , 3,30,yx1,5又 1096 42xzz或 或 共 种(2)解:设买软件 x 个,磁带 y 个则 共 7 种买法.3 ,607503226xyy时 ,可 取时 可 取时 ,时(3)解: 4312645C种设取出红球 x 个,白球 y 个,则 27xy又 2406232414668xxyyCC或 或 种(4)解:由已知 mnA21()06 8mz又经检验只有 .15n成 立七、选人问题例 7:解:(1)36 (2)126 (3)378 (4)666 (5)756例 8:解:(1)185( 以 4 个只会印刷工人被选中人数分类标准分 3 类,4312476518CC(2)60 种(3)10(分以下 3 种类型)(4)152(分 4 类, 有 0 无 9,有 9 无 0,无 0 无 9,有 0 有 9)(5)180 (6)240(以甲、乙两个被选中人数为分类标准)(7)66(开展式中项为 则 n,l 有 11 种取法,()1,0,mnlxyzmnl则 若m=1,n,l 有 10 种取法,m=10,n,l 有 1 种取法.1+2+3+11=66.)6 个3 个1 个123 321123 321 123321
