1、 高三数学试题（理科）第卷（选择题 共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，则 等于（ ）2 240 log1AxNBxNx， ABA B C D23， 3， 45， 5 6，2.已知 （ 是虚数单位） ，那么复数 对应的点位于复平面内的（ ）izizA第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3.下列四个命题：任意 ； ：存在 ； ：任意 ； ：1p 20xR， 2p2 10xRx， 3p sin2xxR， 4p存在 ， .xcos1其中的真命题是（ ）A B C D12p， 23p
2、， 34p， 14 p，4.若直线 与以 ， 为端点的线段没有公共点，则实数 的取值范0xay 1A， 2B， a围是（ ）A B 21， 21 ， ，C. D， ， ，5.要得到函数 的图象，只需将 图象上的所有点（ ）sin26yxcos26yxA向左平行移动 个单位长度 B向右平行移动 个单位长度C.向左平行移动 个单位长度 D向右平行移动 个单位长度12 126.已知等差数列 的公差 ， 是其前 项和，若 成等比数列，且na0dnS236 a， ，则 的最小值是（ ）107a2SA B C. D12583815327.已知某几何体的三视图（单位： ）如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
3、cmA B 2945cm21023cmC. D128.已知实数 满足 ，若目标函数 的最小值的 7 倍与 xy， 2503xyk13zxy的最大值相等，则实数 的值为（ ）27zkA2 B1 C. D129.在直三棱柱 中， ，点 是侧面 内的一点，若 与平面1CACBM1ABMC所成的角为 ， 与平面 所成的角也为 ，则 与平面 所成的角30M1A301B正弦值为（ ）A B C. D12232310.函数 的图象大致为（ ）sin3xfA B C. D11.如果直线 和函数 的图象恒过同一70axbyb， 1log0 1mfxx，个定点，且该定点始终落在圆 的内部或圆上，那么 的取值范围2
4、215xya ba是（ ）A B C. D34， 340 ， ， 4 3， 30 4，12.已知函数 的图象恰有三对点关于原点成中心对称，则 的取值2 xfax， ， a范围是（ ）A B C. D176， 17 28， 196， 17 6，第卷（非选择题 共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.已知两个平面向量 满足 ，且 与 的夹角为 ，则 ab， 1 21ab， ab120b14.机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走” ，如图所示， “海宝”从圆心 出发，先T沿北偏西 方向行走 13 米至点 处，再沿正南方向行走 14 米至点 处，最后沿1
5、2sin3AB正东方向行走至点 处，点 都在圆 上，则在以线段 中点为坐标原点 ，正东方C B， TBCO向为 轴正方向，正北方向为 轴正方向的直角坐标系中，圆 的标准方程为 xyT15.在封闭的直三棱柱 内有一个体积为 的球，若 ，1ABCVABC， ，则 的最大值是 6 8AB， 15V16.已知定义域为 的奇函数 的导函数为 ，当 时，Ryfxyfx0，若 ， ，则 的大小关0fxf12 2afbf， 1lnl2cf abc， ，系是 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 10 分）设等差数列 的前 项和为 ，且
6、.nanS5625a（1）求 的通项公式；na（2）若不等式 对所有的正整数 都成立，求实数 的取值范围.28714nnSkank18.（本小题满分 12 分）设 的三内角 的对边分别是 ，向量 ，ABC BC， ， bc， ， bca，且 .sin sinA， mn（1）求角 的大小；（2）若 ，求 的面积. 43sinacB， C19.（本小题满分 12 分）已知函数 .21lfxx（1）当 时，解关于 的不等式 ；0a2fa（2）若对任意 及 时，恒有 成立，求实数 的取值范4 2， 1 3x， 2mfxam围.20.（本小题满分 12 分）如图，在矩形 中， ， ，且 ， 分别为ABC
7、D1 Aa， PABCD平 面 1P EF，中点，在 上有且只有一个点 ，使得 . P， Q（1）求证：平面 ；BEFPDQ 平 面（2）求二面角 的余弦值.21.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系 中，已知圆 的半径为 ，且圆 与圆 ： 外切，xOyM5MN20xyE切点为 .2 4A，（1）求 及圆 的标准方程；E（2）设平行于 的直线 与圆 相交于点 ，点 ，且 ，求直线 的方程；OAlMBCOAl（3）设点 满足：存在圆 上的两点 和 ，使得 ，求实数 的取值范 0Tt， PQTPQt围.22.（本小题满分 12 分）已知函数 .2xfeab（1）当 时，求 的单调区间；0 1a
8、， fx（2）设函数 在点 处的切线为 ，直线 与 轴相交于点 ，若点fx 01Ptt， llyQ的纵坐标恒小于 1，求实数 的取值范围.Qa中原名校豫南九校 20162017 学年第四次质量考评高三数学试题（理科）参考答案、提示及评分细则一、选择题1.B2.C ， 对应的点 位于复平33344ii iizi z3 4，面内的第三象限.3.D4.D5.D ，向右平移 个cos2cos2sin2sin263316yxxxx12单位得 .in6.A ， ，211110152 97adadad， 1 2ad， ， ， 时， 最小.nSnSnS42nS7.C 如图所示，该几何体是棱长为 2 的正方体砍
9、去两个小三棱柱得到的四棱柱，其表面积.2121255cm8.A 过点 取最小值 5，联立方程 ，解得 ，代入13zxy1 2， 7350xy74xy，得 .50kk9.B 以 为对角线作长方体，设 与平面 所成的角为 ，则MCMC1B，故 .222sini30sin12sin10.A ，故函数 为偶函数，即函数图象关于 轴对称；当xff fxy且趋于原点时， ，又当 且无限大时， 趋于 0，故选 A.0x0fx11.A 根据指数函数的性质，可知函数 恒过定点 ，1log 1mfx， ， 1 ，将点 代入 ，可得 ，由于 始终落在所给圆的内部或圆上，所以1 ， 7axby7ab ，由 ，解得 或
10、 ，这说明点 在以 和25ab2534a ab， 3 4，为端点的线段上运动，所以 的取值范围是 .4 3， b4 3，12.D 由题意，问题转化为函数 与 的图象恰有三个公30yxa20yx共点，显然 时，不满足条件，当 时，画出草图如图，0a方程 ，即 有两个小于 的实数根.234x24xa结合图形，有 ， .2900a176a二、填空题13.2 14. ，2295xy22 5cos16921342TBATAB，圆 方程为 . 143cosOT295xy15. 由题意得要使球的体积最大，则球与直三棱柱的若干面相切，设球的半径为 ，2 R 的内切圆半径为 ， ，又 ， ，ABC 68102R
11、252R. 3max42V16. .bc三、解答题17.解：（1）设公差为 ，则 ， .d11154522adad1 3ad， 的通项公式为 .na3n（2） ， ， ；2S28737nSn43na，当 为奇数时， ；当 为偶数时， ，91nk 91k 91kn ，当且仅当 时取等号，当 为奇数时， 的最小值为 7，当 为73nn91nn偶数时， 时， 的最小值为 ， .10 分4n91294274k18.解：（1）因为 ，所以 ，mnsinsin0bBCcaAC由正弦定理得 ， ，0bac2bb19.解：（1） ，2120axfx当 时，恒有 ，则 在 上是增函数，0a0f ，又 ， 化为
12、， .4 分12f2fxa1fxfx（2）由题意知对任意 及 时，4 ， 3，恒有 成立，等价于 ，2mafx2maxaf当 时，由 得 ，4 ， 1 0xf12因为 ，所以 ， 2a， 42a从而 在 上是减函数，fx1 3，所以 ，所以 ，即 ，max2f2m2a因为 ，所以 ，所以实数 的取值范围为 .124 ， 0am2分20.解：（1）方法一：以 点为原点，分别以 的方向为 轴， 轴， 轴的A ABDP， ， xyz正方向，建立空间直角坐标系 ，xyz则 ，0 1 0 0 1ABDaP， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，设 ，则 ， ，2 分1 Qx， ， 1PQx， ， 0Q
13、ax， ，若 ，则 ，PD0a即 ，2210 4xa， .4 分 x， ， ，1 0 1 0QD， ， ， ， ，又 是 中点， ， ， ， ，EA E， ， 1 0BE， ， QDBEDQ又 ， ， ，BP平 面 QP平 面 P 平 面又 是 中点， ，FFD ， ， ，E平 面 平 面 EFDQ 平 面 ， ，平面 .6 分B BEPQ， 平 面 BP 平 面方法二：（几何法）题意转化为矩形 中只需 垂直于 的点 只有一个，则以AC为直径的圆与线段 相切，易得 ， 是线段 的中点，由 ，AD2CBEQD，易得两平面平行.6 分EFP（2）设平面 是一个法向量 ，则 ，BQ mxyz， ，
14、0mBF由（1）知 ， ，1 02， ， 0 1B， ， ，取 ，得 ，2xzyz 2， ，同样求平面 的一个法向量 ，BEF1 n， ，30cos 6mn，二面角 的余弦值为 .12 分EBFQ21.解：（1）由 在圆 得 ，2 4A， 20xyE4160E ，1 分5E圆 化为 ，圆心为 ，20xy2254xy50 2N，直线 方程为 ，AN3542yx设 ，则 ，且 ， Mab， a又 ， .2256 7b，圆 的方程为 .4 分25xy（2）因为直线 ，所以直线 的斜率为 ，lOA l402设直线 的方程为 ，即 ，l2yxmxy则圆心 到直线 的距离 ，Ml6755md因为 ，24B
15、COA而 ，所以 ，解得 或 .2d255m1故直线 的方程为 或 .8 分l 0xy10xy（3）设 ， ，1 P， 2 Q，因为 ， ， ，所以 ，2 4A， 0Tt， ATP214xty因为点 在圆 上，所以 ，M22675xy将代入，得 ，21143t于是点 既在圆 上，又在圆 上，1 Pxy， 22435xty从而圆 与圆 有公共点，22675t所以 ，25435t解得 .2121t因此，实数 的取值范围是 .12 分2 21，22.解：（1）当 时， .1 分0 1ab， 1xxfefe，所以，当 时， ；当 时， .3 分 x， 0fx ， 0f所以函数 的单调递减区间为 ，单调
16、递增区间为 .4f ， ，分（2）因为 ，所以 处切线的斜率 ，2xfeab Ptf， 2tkfeab所以切线 的方程为 ，l 22t tyeabxt令 得， .5 分0x101teat当 时，要使得点 的纵坐标恒小于 1，tQ只需 ，即 .6 分211tea20teat令 ，则 .7 分tgttgt因为 ，所以 ，01te若 ，即 时， ，2a20ta所以，当 时， ，即 在 上单调递增，0 1t， gtgt 1，所以 恒成立，所以 满足题意.8 分gt2a若 即 时， ，2ae20te所以，当 时， ，即 在 上单调递减，0 1t， gtgt 1，所以 ，所以 不满足题意.9 分gt2ea若 ，即 时， ，21ea10ln21a则 、 、 的关系如下表：tgtt0 ln2a， ln2aln2 1a，gt 0 t递减 极小值 递增所以 ，所以 不满足题意，ln20gag12ea结合，可得，当 时， 时，此时点 的纵坐标恒小于10gttQ1.12 分
