1、必修五高中数学人教 A 版模块综合测试(时间 120 分钟,满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.数列 0,1,0,-1,0,1, 0,-1 ,的一个通项公式是 ( )A. B.cos C.cos D.cos2(n2n21n2)(n解析:分别取 n=1,2,3,4 代入验证可得.答案:D2.(2006 全国高考卷,理 6 文 8)ABC 的内角 A、B 、C 的对边分别为 a、b、c.若 a、b、c成等比数列,且 c=2a,则 cosB 等于( )A. B. C. D.41434232解析: a
2、、b、c 成等比数列,b2=ac.又 c=2a,b2=2a2.cosB= = = .acb224a3答案:B3.在等比数列a n中,a 9+a10=a(a0),a19+a20=b,则 a99+a100 等于( )A. B.( )9 C. D.( )1089abb90bb解析:a 19+a20=a9q10+a10q10=q10(a9+a10)(q 为公比) ,q10= = .1092ab又 a99+a100=a19q80+a20q80=q80(a19+a20)=( )8b= .ab9答案:A4.首项为 2,公比为 3 的等比数列,从第 n 项到第 N 项的和为 720,则 n,N 的值分别是(
3、)A.n=2,N=6 B.n=2,N=8C.n=3,N=6 D.n=3,N6解析:S N-Sn-1=720, =720,即 3N-3n-1=720.31)(2)(n将选项代入知 N=6,n=3 适合上述方程.答案:C5.设 、 是方程 x2-2x+k2=0 的两根,且 ,+, 成等比数列,则 k 为( )A.2 B.4 C.4 D.2解析:+=2,=k 2,又(+) 2=, 4=k2.k=2.答案:D6.等比数列a n中,前 n 项和 Sn=3n+r,则 r 等于( )A.-1 B.0 C.1 D.3解析:当 n=1 时,a 1=3+r;当 n2 时,a n=Sn-Sn-1=23n-1,要使a
4、 n为等比数列,则 3+r=2,即 r=-1.答案:A7.(2006 高考辽宁卷,8)若钝角三角形三内角的度数成等差数列 ,且最大边长与最小边长的比值为 m,则 m 的范围是( )A.(1,2) B.(2,+) C.3,+) D.(3,+)解析:设 ABC,则 B= ,A+C= ,0C ,于是326m= = = = cotC+ ,caCsinsin1cosi)2(231 cotC,3m2.答案:B8.设数列a n、 bn都是等差数列,且 a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么 an+bn 所组成的数列的第 37 项的值是( )A.0 B.37 C.100 D.-37解析:设a n的公
5、差为 d1,bn的公差为 d2,则 an=a1+(n-1)d1,bn=b1+(n-1)d2.an+bn=(a1+b1)+(n-1)(d1+d2).an+bn也是等差数列.又 a1+b1=100,a2+b2=100,a n+bn是常数列.故 a37+b37=100.答案:C9.(2006 高考陕西卷,文 9)已知函数 f(x)=ax2+2ax+4(a0),若 x1x 2,x 1+x2=0,则( )A.f(x1) f(x2) B.f(x1)=f(x2)C.f(x1)f(x 2) D.f(x1)与 f(x2)的大小不能确定解析:函数 f(x)=ax2+2ax+4(a0),二次函数的图象开口向上,对称
6、轴为 x=-1,a0,x1+x2=0,x1 与 x2 的中点为 0,x 1x 2.x2 到对称轴的距离大于 x1 到对称轴的距离.f(x1) f(x2).答案:A10.数列a n中, an0 且a nan+1是公比为 q(q0) 的等比数列,满足anan+1+an+1an+2a n+2an+3(nN *),则公比 q 的取值范围是( )A.0q B.0q21251C.0q D.0q解析:令 n=1,不等式变为 a1a2+a2a3a 3a4,a1a2+a1a2qa 1a2q2.a1a20,1+q q 2.解得 0q .5答案:B11.在ABC 中,tanAsin 2B=tanBsin2A,那么A
7、BC 一定是( )A.锐角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等腰或直角三角形解析:由题意得 sin2A=sin2B,则 A=B 或 A+B= .2答案:D12.某人从 2002 年起,每年 1 月 1 日到银行新存入 a 元(一年定期 ),若年利率为 r 保持不变,且每年到期存款自动转为新的一年定期,到 2006 年 1 月 1 日将所有存款及利息全部取回,他可取回的钱数为(单位为元 )( )A.a(1+r)5 B. (1+r) 5-(1+r)raC.a(1+r)6 D. (1+r) 6-(1+r)解析:2002 年 1 月 1 日到 2002 年 12 月 31 日的钱数为 a(1+
8、r);2003 年 1 月 1 日到 2003 年 12 月 31 日的钱数为a(1+r)+a(1+r);2004 年 1 月 1 日到 2004 年 12 月 31 日的钱数为a(1+r) 2+(1+r)+a(1+r),即 a(1+r) 3+(1+r)2+(1+r) ;2005 年 1 月 1 日到 2005 年 12 月 31 日的钱数为a(1+r) 3+(1+r)2+(1+r)+a(1+r),即a(1+r) 4+(1+r)3+(1+r)2+(1+r) ,2006 年 1 月 1 日可取回的钱数为a = (1+r) 5-(1+r).)(4ra答案:B二、填空题(本大题共 4 小题,每小题
9、4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上)13.三角形两条边长分别为 3 cm,5 cm,其夹角的余弦值是方程 5x2-7x-6=0 的根,则此三角形的面积是_.解析:由 5x2-7x-6=0,得 x1=- ,5x2=2(舍去),cos=- ,sin= .534S= 35 =6 (cm2).21答案:6 cm 214.数列a n的通项公式为 an=2n-49,S n 达到最小时,n 等于 _.解析:a n=2n-49,an是等差数列,且首项为-47,公差为 2.由 0,49-1)2(1-n解得 n=25.从第 25 项开始为正,前 24 项都为负数,故前 24 项之和最小 .答案:2415
10、.若关于 x 的方程 x2-x+a=0 和 x2-x+b=0 的四个根可组成首项为 的等差数列,则 a+b 的41值是_.解析:由题意知,首项为 ,则第四项为 ,则另两根应为 + = , + 2= .4143625127a= = ,b= = .4136257a+b= + = .答案: 716.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多 19 km,那么在 8 天内它的行程就超过 2 200 km,如果它每天行驶的路程比原来少 12 km,那么它行驶同样的路程得花 9 天多的时间,这辆汽车原来每天行驶的路程(km)范围是_.解析:这辆汽车原来每天行驶的路程为 x km,则19),8(x2)-9(0 解之
11、,得 256x260.答案:256x260三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(12 分) 在ABC 中,已知 tan(A+B)=1,且最长边为 1,tanAtanB,tanB= ,求角 C 的大31小及ABC 最短边的长.解:由已知得 A+B= ,C= .又 tanAtanB,B 是 ABC 的最小内角.又 tanB= ,sinB=43.10 = ,b= sinB= .BbsinCcisin5C= ,其最短边长为 .4318.(12 分) 写出数列 13+2,13+6,13+12,13+20,13+30,的一个通项公式,并验证 2
12、 563 是否为数列中的一项.解:该数列的一个通项公式为 an=13+n(n+1).令 13+n(n+1)=2 563,则 n2+n-2 550=0,解得 n=50 或 n=-51(舍).2 563 是该数列的第 50 项.19.(12 分)(2006 高考全国卷 ,文 17)在ABC 中,B=45,AC= ,cosC= ,1052(1)求 BC 边的长;(2)记 AB 的中点为 D,求中线 CD 的长.解:(1)由 cosC= 得 sinC= ,sinA=sin(180-45-C)= (cosC-sinC)= .525210由正弦定理知 BC= sinA= = .BACsin210(2)AB
13、= sinC= =2.si5BD= AB=1.21由余弦定理知CD= = .BCDBcos22 132312820.(12 分) 数列a n的前 n 项和记为 Sn,已知 a1=1,an+1= Sn(n=1,2,3,),证明(1)数列 是等比数列;S(2)Sn+1=4an.证明:(1)a n+1=Sn+1-Sn,an+1= Sn,2(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn).整理得 nSn+1=2(n+1)Sn, =2 .1Sn故 是以 2 为公比的等比数列.nS(2)由(1)知 =4 (n2).11nS于是 Sn+1=4(n+1) =4an(n2).又 S1=a1=1,a2=3S1=3,故 S2=
14、a1+a2=4=4a1.因此对于任意整数 n1,都有 Sn+1=4an.21.(12 分) 一个公差不为 0 的等差数列a n共有 100 项,首项为 5,其第 1、4、16 项分别为正项等比数列b n的第 1、3、5 项.(1)求a n各项的和 S;(2)记b n的末项不大于 ,求b n项数的最值 N;2(3)记a n前 n 项和为 Sn,b n前 N 项和为 Tn,问是否存在自然数 m,使 Sm=Tn.解:设a n公差为 d,a 1=5,a4=5+3d,a16=5+15d 分别为b n的第 1、3、5 项,(5+3d)2=5(5+15d),得 d=5 或 d=0(舍).(1)S=1005+
15、 5=25 250.90(2)b1=a1=5,b3=a4=20, q2= =4.13bq=2 或 q=-2(舍),b n=52n-1.令 52n-1 ,2502n5 050.又 2125 0502 13,即 n13,且 212=4 0965 050,n 的最大值 N=12.(3)设有 Sm=Tn,即 5m+ 5=5(212-1),整理得 m2+m-8 190=0,)1(m=90100 或 m=-91(舍) ,即存在 m=90 使 S90=T12.22.(14 分) 某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产甲种产品 1 t 需耗 A 种矿石 10 t,B 种矿石 5 t,煤 4 t;生产乙种产品 1
16、t 需耗 A 种矿石 4 t,B 种矿石 4 t,煤 9 t;每 1 t 甲种产品的利润是 600 元,每 1 t 乙种产品的利润是 1 000 元,工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗 A 种矿石不超过 3 00 t,B 种矿石不超过 200 t,煤不超过 360 t .甲、乙两种产品各生产多少,能使利润总额达到最大?(准确到 0.1 t)解:设生产甲、乙两种产品分别为 x t、y t ,利润总额为 z 元,那么 0,yx36,94250,y1z=600x+1 000y.作出以上不等式组所表示的平面区域( 如图) 即可行域.作直线 l:600x+1 000y=0,即作直线 l:3x+5y=0.把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置时,直线经过平行域上的点 M,且与原点距离最大,此时 z=600x+1 000y 取最大值.解方程组 得 M 的坐标为360,9y4x25x= 12.4,y= 34.5.23601答:应生产甲产品约 12.4 吨,乙产品约 34.5 吨,能使利润总额达到最大