1、关于定积分的三个应用定积分的应用非常广泛，在高中阶段常用来解决平面图形的面积，变速直线运动及变力做功问题，下面举例介绍其用法，供参考。一、求平面图形的面积例 1求由曲线 y=x2与 y2=8x 所围成的封闭图形的面积解析：解由 y=x2与 y2=8x 联立的方程组得二交点为(0,0) 及(2,4) ，由于封闭图形的面积在第一象限，故而由 y2=8x 得 y=2 ，则x面积为 S= dx =( x x3)| = 。2020421208点评：在遇到与二次曲线有关的问题时，要根据实际情况将曲线方程转化为函数表达式，以方便求出原函数。二、变速直线运动问题例 2一质点在直线上以速度 v(t)=t2-4t
2、+3(m/s)运动，求质点从时刻 t=0s 开始到t=4s 时行使的路程。解析：根据题意，作出草图可知，所求路程即为图 2 中阴影部分的面积。所以所求路程为 S= -120(43)tdt1(43)td+ =( )| -( )|423()tdt32t2+( )| =4(m).143答：质点行使的路程是 4 米。点评：求行使的路程即阴影部分的面积，故而应求各曲边梯形面积的代数和，如果直接求 S= ，则为质点从时刻 t=0s 开始到 t=4s 的位移，应注意分辩。420(3)tdt三、变力做功问题例 3在弹性限度内，弹簧受压时长度的改变量与所受外力成正比（虎克定律） 。已知弹簧被压缩 0.5cm 时，需压力 9.8N，现弹簧被压缩了 3cm，求压力所做的功。解析：设弹簧的弹性系数为 k，则弹簧受力 F(x)=kx(x 表示弹簧被压缩的长度） ，将x=0.005 代入，得 9.8=0.005k，解得 k=1960，所以 F(x)=1960x.弹簧在x，x+x内移动时外力所做的功为W，则W=F(x)x，所以 W= = =(980x2)0.3()Fxd0.3196xd| =0.30.882(J).点评：在利用定积分计算压力所做的功时，首先要将单位统一到功的单位上去，否则容易发生错误。
