1、模块综合测试(一)(时间 120 分钟 满分 150 分)一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分)1若命题 p：xR,2x 210，则 p 是( )AxR,2x 210Bx R,2x 210Cx R,2x 210 成立的一个充分不必要条件是( )1xA. 11B. x1D. x1解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法画出直线 yx 与双曲线y 的图象，两图象的交点为(1,1)、(1，1) ，依图知 x 011 (*)，显1x 1x然 x1(*)；但 (*) x1，故选 D.答案：D 32014西安模拟命题“若 ab，则 a1b”的逆否命题是 ( )A若 a
2、1b，则 abB若 a1bC若 a1b，则 abD若 a1b，则 a1 b”的逆否命题为“若 a1b，则 ab” ，故选 C.答案：C 42014山东省日照一中模考 下列命题中，为真命题的是( )A. xR，x 2x 10B. ，R， sin( )0”为真20命题，即 0，b0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则x2a2 y2b2双曲线离心率的取值范围是( )Ae B12 D1c2a， 2.ca答案：C 82013课标全国卷一个四面体的顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1) ，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以 zO
3、x 平面为投影面，则得到正视图可以为( )解析：本题主要考查空间直角坐标以及三视图的有关知识利用正方体模型，建立空间直角坐标系，根据点的坐标确定几何体形状，注意画三视图中的正视图时，是以 zOx 平面为投影面，故选 A.答案：A 9设双曲线 1(a0，b0)的渐近线与抛物线 yx 21 相切，则该双曲线的离x2a2 y2b2心率等于( )A. B23C. D.5 6解析：双曲线 1 的渐近线方程为 y x，因为 yx 21 与渐近线相切，故x2a2 y2b2 bax21 x0 只有一个实根， 40， 4，ba b2a2 c2 a2a2 5，e .c2a2 5答案：C 10已知正四棱柱 ABCD
4、A1B1C1D1 中，AA 12AB ，E 为 AA1 的中点，则异面直线BE 与 CD1 所成角的余弦值为( )A. B.1010 15C. D.31010 35解析：以 DA、DC、DD 1 所在直线为 x 轴、y 轴和 z 轴，建立如右图所示的空间直角坐标系，设 AB1，则 AA12，依题设有B(1,1,0)，C(0,1,0)，D 1(0,0,2)，E(1,0,1)， (0 ，1,1)， (0，1,2)BE CD1 cos .BE CD1 0 1 22 5 31010答案：C 11已知抛物线 C：y 28x 的焦点为 F，准线与 x 轴的交点为 K，点 A 在 C 上且|AK| |AF|
5、，则AFK 的面积为( )2A4 B8C16 D32解析：抛物线 C：y 28x 的焦点为 F(2,0)，准线为 x2，K(2,0) 设 A(x0，y 0)，如右图所示，过点 A 向准线作垂线，垂足为 B，则 B(2，y 0)|AK | |AF|，2又|AF| |AB| x0(2)x 0 2，由|BK |2|AK| 2| AB|2，得 y (x 02) 2，20即 8x0(x 02) 2，解得 x02，y 04.AFK 的面积为 |KF|y0| 448，故选 B.12 12答案：B 122013浙江高考如图，F 1、F 2 是椭圆 C1： y 21 与双曲线 C2 的公共焦点，x24A、B 分
6、别是 C1、C 2 在第二、四象限的公共点若四边形 AF1BF2 为矩形，则 C2 的离心率是( )A. B. 2 3C. D. 32 62解析：本题考查椭圆、双曲线的定义和简单的几何性质设双曲线的方程为 1( a0，b0) ，点 A 的坐标为(x 0，y 0)x2a2 y2b2由题意 a2b 23c 2 ，| OA|OF 1| ，3Error!，解得 x ，y ，又点 A 在双曲线 C2 上，代入得， b2 a2a 2b2 2083 20 13 83 13，联立解得 a ，所以 e ，故选 D.2ca 62答案：D 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)13已知 a(
7、2，1,3)，b(1,4，2) ，c (7,5 ， )，若 a、b、c 三向量共面，则实数 等于_ 解析：a，b，c 三向量共面，axby c(x，yR )，(2，1,3) x (1,4，2)y(7,5，) ， .657答案：65714已知命题 p：xR ，x 22axa0，若命题 p 是假命题，则实数 a 的取值范围是_解析：p 是假命题，则p 为真命题，p 为：xR，x 22axa0，所以有4a 2 4aa，故 Ba|a0，设 p： yc x为减函数；q：函数 f(x)x 在 x ，2上恒成1x1c 12立，若“pq”为真命题， “pq”为假命题，求 c 的取值范围解：由 yc x为减函数
8、，得 0 .若 p 真 q 假，则 0 ，所以 c1.综上： c(0 ， 1，) 12 1219(12 分) 2014东北育才学校月考如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC ，AD 1，BC3，E 为 BC 上一点，BE2EC ，且 DE .将梯形 ABCD 沿 DE3折成直二面角 BDEC，如图 2 所示(1)求证：平面 AEC平面 ABED；(2)设点 A 关于点 D 的对称点为 G，点 M 在BCE 所在平面内，且直线 GM 与平面ACE 所成的角为 60，试求出点 M 到点 B 的最短距离解：(1)在图 1 中，由平面几何知识易知 DEBC ，在图 2 中，DEBE ，DE CE
9、，BEC 是二面角 BDE C 的平面角，二面角 BDEC 是直二面角，BECE.DEBEE，DE平面 ABED，BE平面 ABED，CE平面 ABED，又 CE平面 AEC，平面 AEC平面 ABED.(2)由(1)知 DE，BE ，CE 两两互相垂直，以 E 为原点，分别以 EB，EC，ED 所在直线为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 Exyz，如图所示则 E(0,0,0)，A(1,0， )，B(2,0,0)，3C(0,1,0)，D(0,0， )，G(1,0 ， )， (1,0 ， )， (0,1,0)设平面 ACE 的法向量3 3 EA 3 EC 为 n( x，y，z )，则Erro
10、r!，即Error!，取 x ，则 z1，平面 ACE 的一个法向量为3n( ，0， 1)3设 M(x，y,0) ，则 (x1，y， )GM 3直线 GM 与平面 ACE 所成的角为 60， sin60，|GM n|GM |n|即 ，化简得 y22x ，| 3x 1 3|2x 12 y2 3 32从而有|MB| ，x 22 y2 x 22 2x x2 2x 4 x 12 3当 x1 时，|MB| 取得最小值 ，即点 M 到点 B 的最短距离为 .3 320(12 分) 已知椭圆 1，F 1、F 2 分别是椭圆的左、右焦点，点 A(1,1)为椭圆内x29 y25一点，点 P 为椭圆上一点求|PA
11、 |PF 1|的最大值解：由椭圆的定义知|PF 1| PF2|2a6，所以|PF 1|6| PF2|，这样|PA| PF1|6|PA|PF 2|.求|PA| |PF1|的最大值问题转化为 6|PA| |PF 2|的最大值问题，即求|PA| PF2|的最大值问题，如图在PAF 2 中，两边之差小于第三边，即|PA| |PF2|0，可得 m28.由 x1x 2 m，x 1x2 ，22 m2 44故|BC | |x1x 2| .3316 2m22又点 A 到 BC 的距离为 d ，|m|3故 SABC |BC|d12 m216 2m24 .142 2m2 16 2m22 2因此ABC 面积的最大值为
12、 .222(12 分) 2014广东省广州六中期末考试如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD为直角梯形，且 ADBC，ABCPAD90，侧面 PAD底面 ABCD.若PA ABBC AD.12(1)求证：CD 平面 PAC；(2)侧棱 PA 上是否存在点 E，使得 BE平面 PCD？若存在，指出点 E 的位置并证明，若不存在，请说明理由；(3)求二面角 APDC 的余弦值解：因为PAD90，所以 PAAD .又因为侧面 PAD底面 ABCD，且侧面 PAD底面 ABCDAD，所以 PA底面 ABCD.又因为BAD 90，所以 AB，AD，AP 两两垂直分别以 AB，AD ，AP 所在直
13、线为 x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系设 AD2，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，P(0,0,1)(1) (0,0,1)， (1,1,0)， ( 1,1,0)，AP AC CD 可得 0 ， 0，所以 APCD，ACCD.又因为 APACA，所以AP CD AC CD CD平面 PAC.(2)设侧棱 PA 的中点是 E，则 E(0,0， )， ( 1,0， )设平面 PCD 的法向量是12 BE 12n( x， y，z)，则 Error!，因为 (1,1,0) ， (0,2，1)，所以Error!，取 x1，则CD PD y1，z 2，所以平面 PCD 的一个法向量为 n(1,1,2)所以 n (1,1,2)( 1,0， )BE 120，所以 n .BE 因为 BE平面 PCD，所以 BE平面 PCD.(3)由已知，AB平面 PAD，所以 (1,0,0)为平面 PAD 的一个法向量AB 由(2)知，n(1,1,2) 为平面 PCD 的一个法向量设二面角 APDC 的大小为 ，由图可知， 为锐角，所以 cos |nAB |n|AB | .|1，1，21，0，0|61 66即二面角 APDC 的余弦值为 .66
