1、第一篇 小考点抢先练，基础题不失分,第3练 复数与数学文化,明晰考情 1.命题角度：复数的四则运算和几何意义；数学文化的考查内容不拘一格，古今中外文化兼有. 2.题目难度：复数的考查难度为低档难度，数学文化的考查难度为中档难度.,核心考点突破练,栏目索引,易错易混专项练,高考押题冲刺练,考点一 复数的概念,要点重组 (1)复数：形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，i为虚数单位.若b0，则abi为实数；若b0，则abi为虚数；若a0且b0，则abi为纯虚数. (2)复数相等：abicdiac且bd(a，b，c，dR). (3)共轭复数：abi与cdi共轭ac，bd
2、(a，b，c，dR). (4)复数的模：向量 的模r叫做复数zabi(a，bR)的模，记作|z|或|abi|，即|z|abi|r (r0，rR).,核心考点突破练,方法技巧 复数的四则运算类似于多项式的四则运算，复数除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数.,|z|1.故选C.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,故选D.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,3.已知a，bR，i是虚数单位.若ai与2bi互为共轭复数，则(abi)2等于 A.54i B.54i C.34i D.34i,解析 由已知得a2，b1，即abi2i， (abi)2(2i)234i.故选D.,答案,解析,1,2,3,4,
3、5,6,解析 (13i)(1ai)1ai3i3a， (13i)(1ai)R， 虚部为0，则a30，a3.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,5.(2018浙江省杭州市第二中学月考)若复数z满足(12i)z3i(i为虚数单位)，则z_；|z|_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,6.(2017浙江)已知a，bR，(abi)234i(i是虚数单位)，则a2b2_，ab_.,解析 (abi)2a2b22abi.,答案,解析,5 2,解得a24，b21.所以a2b25，ab2.,1,2,3,4,5,6,考点二 复数的几何意义,7.已知z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取
4、值范围是 A.(3,1) B.(1,3) C.(1，) D.(，3),解析 由复数z(m3)(m1)i在复平面内对应的点在第四象限，,答案,解析,7,8,9,10,11,8.已知复数 (i为虚数单位)在复平面上对应的点在虚轴上，则实数a_.,答案,解析,2,7,8,9,10,11,9.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1，点A，B对应的复数分别是z1，z2，则 _.,解析 由题意，根据复数的表示可知z1i，z22i，,答案,解析,12i,7,8,9,10,11,10.设复数z满足(2i)z i为虚数单位，则复数z在复平面内对应的点在第_象限.,在第四象限.,答案,解析,四,7
5、,8,9,10,11,11.已知复数z ，则复数z在复平面内对应的点位于第_象限.,解析 因为i4nkik(nZ)，且ii2i3i40， 所以ii2i3i2 017i，,答案,解析,一,7,8,9,10,11,考点三 几何中的数学文化,方法技巧 从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题.,12.我国古代数学名著九章算术在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是 A.3步 B.6步 C.4步 D.8步,解析
6、由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17， 设其内切圆半径为r，,答案,解析,解得r3，故其直径为6步.,12,13,14,15,16,17,13.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积 为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为 ，则tan 等于,解析 由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为 2， 210cos 10sin ，,答案,解析,12,13,14,15,16,17,14.(2018全国)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构
7、件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是,答案,解析,解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.,12,13,14,15,16,17,15.我国南北朝时期数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都 相等，则两几何体体积相等.已知某不规则几何体 与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”， 则该不规则几何体的体积为,答案,解析,12,13,14,15,16,17,解析 由三视图知，该几何体
8、是从一个正方体中挖去一个半圆柱.,三视图对应几何体的体积V8. 根据祖暅原理，不规则几何体的体积VV8.,12,13,14,15,16,17,16.我国古代数学名著张邱建算经中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，则谷堆的高为多少？(注：1斛1.62立方尺，3)若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为 A.5尺 B.9尺 C.10.6尺 D.21.2尺,答案,解析,解析 设谷堆的高为h尺，底面半径为r尺，则2r54，r9. 粟米250斛，则体积为250
9、1.62 92h，h5. 谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为R尺. 则R2(hR)2r2，解得R10.6(尺).2R21.2(尺).,12,13,14,15,16,17,17.卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道和的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道和的长轴长，给出下列式子： a1c1a2c2；a1c1a2c2； c1a2a1c2. 其中正确的式子的序号是 A. B. C. D.,12,13,14,15,16,17,答案,解析,解
10、析 由题图知2a12a2，2c12c2， 即a1a2，c1c2，a1c1a2c2，不正确. a1c1|PF|，a2c2|PF|，a1c1a2c2，正确.,又a1c1a2c2， 即a1c2a2c1，,即(a1c1)(a1c1)(a2c2)(a2c2)2a1c22a2c1，,12,13,14,15,16,17,整理得(a1c1)(a1a2c1c2)2a1c22a2c1. a1c1，a1a2，c1c2，2a1c2a1c2， 正确. c1a2a1c2，a10，a20，,不正确.故选D.,12,13,14,15,16,17,考点四 其他数学问题中的数学文化,方法技巧 数学文化中蕴含的数列问题，要寻找数列
11、前几项，寻找规律，抽象出数列模型；其他数学问题与数学文化的结合，关键是构造数学模型.,18.张邱建算经是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为,答案,解析,18,19,20,21,22,23,19.(2018北京)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展作出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等
12、于 若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为,答案,解析,18,19,20,21,22,23,20.九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位，递减的比例为40%.今共有粮m(m0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为 A.20%,369 B.80%,369 C.40%,360 D.60%,365,答案,解析,解析 设“衰分比”为a，甲衰分得b石，,解得b125，a20%，m369.,1
13、8,19,20,21,22,23,21.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343、12 521等，两位数的回文数有11,22,33，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是,答案,解析,18,19,20,21,22,23,解析 三位数的回文数为ABA， A共有1到9共9种可能，即1B1,2B2,3B3， B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A， 共有91090(个)； 其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2,4B4,6B6,8B8， B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A， 其有
14、41040(个)，,18,19,20,21,22,23,22.(2017浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率，理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”，将的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6，S6_.,答案,解析,解析 作出单位圆的内接正六边形，如图， 则OAOBAB1，,18,19,20,21,22,23,23.(2018浙江)我国古代数学著作张邱建算经中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x
15、，y，z，则 当z81时，x_，y_.,答案,解析,8,11,18,19,20,21,22,23,方法二 1008119(只)， 81327(元)，1002773(元). 假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则51995(元). 因为957322(元)，所以鸡母：22(53)11(只)， 鸡翁：19118(只).,18,19,20,21,22,23,1.若复数lg(m22m7)(m25m6)i为纯虚数，则实数m的值为 A.2 B.4 C.6 D.8,易错易混专项练,解析 复数lg(m22m7)(m25m6)i为纯虚数，,答案,解析,解得m4.,答案,解析,3.复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y
16、x对称，且z132i，则z1z2等于 A.1213i B.1312i C.13i D.13i,答案,解析,解析 点(a，b)关于直线yx的对称点坐标为(b，a)， 且z132i在复平面内对应的点的坐标为(3,2)， 据此结合题意可知z2在复平面内对应的点的坐标为(2,3)，即z223i， 据此可得z1z2(32i)(23i)13i.,解题秘籍 (1)复数的概念是考查的重点，虚数及纯虚数的意义要把握准确. (2)复数的运算中除法运算是高考的热点，运算时要分母实数化(分子分母同乘分母的共轭复数)，两个复数相等的条件在复数运算中经常用到.,1.下列各式的运算结果为2i的是 A.ii2i3i4 B.|
17、3i|i C.i(2i)1 D. 3i,i(2i)12ii2 12i2；,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,高考押题冲刺练,2.在复平面内，复数z (i是虚数单位)，则z的共轭复数 在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4.南北朝时期的数学古籍张邱建算经有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次
18、更给.问：每等人比下等人多得几斤？”,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列an构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，,5.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的四元玉鉴卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为“官府陆续派遣1 864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每
19、天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40 392升，问修筑堤坝多少天”，在该问题中前5天共分发了多少升大米？ A.1 170 B.1 380 C.3 090 D.3 300,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 设第n天派出的人数为an， 则an是以64为首项，7为公差的等差数列， 则第n天修筑堤坝的人数为Sna1a2an64n 7， 所以前5天共分发的大米数为3(S1S2S3S4S5) 3(12345)64(13610)73 300(升).,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,6.我国古代数学名著数书九章中
20、有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是 (注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸) A.1寸 B.2寸 C.3寸 D.4寸,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,解析 如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸， 下底面半径为6寸，高为18寸. 积水深9寸，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,故选C.,7.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为
21、：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为 A.128平方尺 B.138平方尺 C.140平方尺 D.142平方尺,解析 设四棱锥的外接球半径为r尺，则(2r)2725282138， 这个四棱锥的外接球的表面积为4r2138(平方尺). 故选B.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,8.我国古代数学典籍九章算术“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”上述问题中，两鼠在第_天相逢.,4
22、,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,9.已知z是纯虚数，若(m2i)z23i，则实数m_.,3,解析 设zai(aR且a0)， 由(m2i)z23i，得(m2i)ai2amai23i，,10.(2018浙江省杭州市学军中学模拟)若复数z (i为虚数单位)，则z的虚部为_，|z|_.,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,4 5,11.已知i为虚数单位，复数z(1i)23i，则z的虚部为_.,解析 由z(1i)23i，,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,12.如图所示是毕达哥拉斯(Pythagoras)的生长程序：正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形，如此继续，若共得到4 095个正方形，设初始正方形的边长为 则最小正方形的边长为_.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,答案,解析,因为共有4 095个正方形， 则12222n14 095，所以n12.,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,本课结束,
