1、第二章 3 数学归纳法与贝努利不等式,3.1 数学归纳法,学习目标 1.了解数学归纳法的基本原理. 2.了解数学归纳法的应用范围. 3.会用数学归纳法证明一些简单问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 数学归纳法,在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学将第一辆自行车不小心弄倒了，那么整排自行车就会倒下.,思考1 试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？,答案 第一辆自行车倒下； 任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下.,思考2 由这种思想方法所得的数学方法叫数学归纳法，那么，数学归纳法适用于解决哪类问题？,答案 适合解决一
2、些与正整数n有关的问题.,梳理 数学归纳法的概念及步骤 (1)数学归纳法的定义 一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤： 证明当 时命题成立； 假设当_时命题成立，证明当 时命题也成立. 在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.,nn0,nk1,nk(kN，且kn0),(2)数学归纳法适用范围 数学归纳法的适用范围仅限于与 有关的数学命题的证明. (3)数学归纳法的基本过程,正整数,题型探究,类型一 用数学归纳法证明等式,(2)假设当nk(k1，kN)时，等式成立，,证明,即当nk1时，
3、等式也成立. 由(1)(2)可知，原等式对nN均成立.,反思与感悟 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述nn0时命题的形式，二是要准确把握由nk到nk1时，命题结构的变化特点.并且一定要记住：在证明nk1成立时，必须使用归纳假设.,证明,(2)假设当nk(k1，kN)时，等式成立，,当nk1时，122232k2(k1)2,所以当nk1时等式也成立. 由(1)(2)可知，等式对任何nN都成立.,类型二 证明与整除有关的问题,例2 求证：x2ny2n(nN)能被xy整除.,证明,证明 (1)当n1时，x2y2(xy)(xy)能被xy整除. (2)假设nk(k1，kN)时，x2k
4、y2k能被xy整除， 那么当nk1时，x2k2y2k2 x2x2ky2y2kx2y2kx2y2k x2(x2ky2k)y2k(x2y2). x2ky2k与x2y2都能被xy整除， x2(x2ky2k)y2k(x2y2)能被xy整除. 即当nk1时，x2k2y2k2能被xy整除. 由(1)(2)可知，对任意正整数n，命题均成立.,反思与感悟 利用数学归纳法证明整除问题时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式.这往往要利用“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧来凑出nk时的情形，从而利用归纳假设使问题得证.,跟踪训练2 用数学归纳法证明：n3(n1)3(n2)3能被9整除(nN).,证明,证明
5、 (1)当n1时，13233336能被9整除，所以结论成立. (2)假设当nk(kN，k1)时结论成立， 即k3(k1)3(k2)3能被9整除. 则当nk1时，(k1)3(k2)3(k3)3 k3(k1)3(k2)3(k3)3k3 k3(k1)3(k2)39k227k27 k3(k1)3(k2)39(k23k3). 因为k3(k1)3(k2)3能被9整除，9(k23k3)也能被9整除， 所以(k1)3(k2)3(k3)3也能被9整除， 即当nk1时结论也成立. 由(1)(2)知，命题对一切nN成立.,达标检测,1,2,4,3,解析 边数最少的凸n边形为三角形，故n03.,1.用数学归纳法证明“
6、凸n边形的内角和等于(n2)”时，归纳奠基中n0的取值应为 A.1 B.2 C.3 D.4,答案,解析,1,2,4,3,解析 当n1时，n12，故左边所得的项为1aa2.,A.1 B.1aa2 C.1a D.1aa2a3,答案,解析,1,2,4,3,解析 34(k1)152(k1)134k552k38134k12552k1 8134k18152k15652k181(34k152k1)5652k1.,3.用数学归纳法证明34n152n1(nN)能被8整除，当nk1时，34(k1)152(k1)1应变形为_ _.,答案,解析,81(34k152k1)5652k1(或25(34k152k1),563
7、4k1),1,2,4,3,证明 (1)当n1时，左边1，右边1，等式成立. (2)假设当nk(k1，kN)时，等式成立， 即13(2k1)k2， 那么，当nk1时， 13(2k1)2(k1)1k22(k1)1k22k1(k1)2. 所以当nk1时等式成立. 由(1)(2)可知，等式对任意正整数n都成立.,4.用数学归纳法证明13(2n1)n2(nN).,证明,规律与方法,1.应用数学归纳法时应注意的问题 (1)第一步中的验证，对于有些问题验证的并不是n1，有时需验证n2，n3. (2)对nk1时式子的项数以及nk与nk1的关系的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障. (3)“假设nk时命题成立，利用这一假设证明nk1时命题成立”，这是应用数学归纳法证明问题的核心环节，对待这一推导过程决不可含糊不清，推导的步骤要完整、严谨、规范.,2.判断利用数学归纳法证明问题是否正确 (1)要看有无归纳奠基. (2)证明当nk1时是否应用了归纳假设. 3.与n有关的整除问题一般都用数学归纳法证明.其中关键问题是从当nk1时的表达式中分解出nk时的表达式与一个含除式的因式或几个含除式的因式，这样才能得出结论成立.,本课结束,
