1、第3课时 放缩法、几何法与反证法,第一章 4 不等式的证明,学习目标 1.理解用放缩法证明不等式的原理，会用放缩法证明一些不等式. 2.了解几何法证明不等式的特征，会构造一些特征明显的图形证明一些特定的不等式. 3.理解反证法的理论依据，掌握反证法的基本步骤，会用反证法证明不等式.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 放缩法,思考 放缩法是证明不等式的一种特有的方法，那么放缩法的原理是什么？,答案 不等式的传递性； 等量加(减)不等量为不等量.,梳理 放缩法 (1)放缩法证明的定义 在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减
2、式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法. (2)放缩法的理论依据 不等式的传递性； 等量加(减)不等量为不等量； 同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.,知识点二 几何法,通过构造几何图形，利用几何图形的性质来证明不等式的方法称为几何法.,知识点三 反证法,思考 什么是反证法？用反证法证明时，导出矛盾有哪几种可能？,答案 (1)反证法就是在否定结论的前提下推出矛盾，从而说明结论是正确的. (2)矛盾可以是与已知条件矛盾，也可以是与已知的定义、定理矛盾.,梳理 反证法 (1)反证法证明的定义：反证法是常用的证明方法.它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论
3、一定成立. (2)反证法证明不等式的一般步骤：作出否定结论的假设；进行推理，导出矛盾；否定假设，肯定结论.,题型探究,类型一 放缩法证明不等式,证明,由于x，y，z不全为零，故上述三式中至少有一式取不到等号，,反思与感悟 (1)利用放缩法证明不等式，要根据不等式两端的特点及已知条件(条件不等式)，谨慎地采取措施，进行恰当地放缩，任何不适宜的放缩都会导致推证的失败. (2)一定要熟悉放缩法的具体措施及操作方法，利用放缩法证明不等式，就是采取舍掉式中一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，或者把和式中各项或某项换成较大或较小的数，从而达到证明不等式的目的.,证明,证明 k(k1)k2k(
4、k1)(kN且k2)，,分别令k2,3，n，得,类型二 反证法证明不等式,命题角度1 证明“否定性”结论,证明,(1)ab2；,即ab2，当且仅当ab1时等号成立.,(2)a2a2与b2b2不可能同时成立.,证明,证明 假设a2a2与b2b2同时成立， 则由a2a2及a0，得0a1； 同理，0b1，从而ab1，这与ab1矛盾. 故a2a2与b2b2不可能同时成立.,反思与感悟 当待证不等式的结论为否定性命题时，常用反证法来证明，对结论的否定要全面不能遗漏，最后的结论可以与已知的定义、定理、已知条件、假设矛盾.,跟踪训练2 设0a2，0b2，0c2，求证：(2a)c，(2b)a，(2c)b不可能
5、同时大于1.,证明,证明 假设(2a)c，(2b)a，(2c)b同时都大于1， 即(2a)c1，(2b)a1，(2c)b1， 则(2a)c(2b)a(2c)b1， (2a)(2b)(2c)abc1. 0a2,0b2,0c2，,同理(2b)b1，(2c)c1， (2a)a(2b)b(2c)c1， (2a)(2b)(2c)abc1，这与式矛盾. (2a)c，(2b)a，(2c)b不可能同时大于1.,命题角度2 证明“至少”“至多”型问题 例3 已知f(x)x2pxq，求证： (1)f(1)f(3)2f(2)2；,证明,证明 f(1)f(3)2f(2) (1pq)(93pq)2(42pq)2.,则|
6、f(1)|2|f(2)|f(3)|2， 而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)2，矛盾，,证明,反思与感悟 (1)在证明中含有“至多”“至少”“最多”等字眼时，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法证明. (2)在用反证法证明的过程中，由于作出了与结论相反的假设，相当于增加了题设条件，因此在证明过程中必须使用这个增加的条件，否则将无法推出矛盾.,证明 假设a，b，c都不大于0，即a0，b0，c0，,证明,30，且(x1)2(y1)2(z1)20， abc0，这与abc0矛盾，因此假设不成立. a，b，c中至少有一个大于0.,达标检测,1,2,4,3,解析 对
7、于A，x的正、负不定； 对于B，m的正、负不定； 对于C，x的正、负不定； 对于D，由绝对值三角不等式知，D正确.,1.用放缩法证明不等式时，下列各式正确的是,答案,解析,1,2,4,3,2.用反证法证明命题“a，b，c全为0”时，其假设为 A.a，b，c全不为0 B.a，b，c至少有一个为0 C.a，b，c至少有一个不为0 D.a，b，c至多有一个不为0,答案,1,2,4,3,答案,解析,1,2,4,3,4.已知0a3,0b3,0c3. 求证：a(3b)，b(3c)，c(3a)不可能都大于,证明,显然与相矛盾，假设不成立，故命题得证.,因为a，b，c均为小于3的正数，,1,2,4,3,规律与方法,1.常见的涉及反证法的文字语言及其相对应的否定假设,2.放缩法证明不等式常用的技巧 (1)增项或减项. (2)在分式中增大或减小分子或分母.,(4)利用函数的单调性等.,本课结束,
