1、12016-2017 学年高中数学 第一章 推理与证明 3 反证法课后演练提升 北师大版选修 2-2一、选择题1用反证法证明命题“若 a b，则 ”时，假设的内容是( )3a 3bA. B. 3a 3b 3a 3bC. ，且 D. 或 3a 3b 3a 3b 3a 3b 3a 3b解析： “ ”的否定是“ ”，3a 3b 3a 3b即“ 或 ”3a 3b 3a 3b答案： D2如果两个实数之和为正数，那么这两个数( )A一个是正数，一个是负数 B两个都是正数C至少有一个是正数 D两个都是负数解析： 若都不是正数，则两数之和一定不会是正数答案： C3设 a、 b、 c 都是正数，则三个数 a ，
2、 b ， c ( )1b 1c 1aA都大于 2 B至少有一个大于 2C至少有一个不小于 2 D至少有一个不大于 2解析： 2226，当且仅当(a1b) (b 1c) (c 1a) (a 1a) (b 1b) (c 1c)a b c1 时取“” 故选 C.答案： C4已知 f(x)是 R 上的增函数， a， bR，下列四个命题：若 a b0，则 f(a) f(b) f( a) f( b)；若 f(a) f(b) f( a) f( b)，则 a b0；若a b0，则 f(a) f(b) f( a) f( b)；若 f(a) f(b) f( a) f( b)，则a b0，其中真命题个数为( )A1
3、 个 B2 个C3 个 D4 个解析： 易知正确用反证法：假设 a b0，则 a b， b a， f(a) f( b)， f(b) f( a)， f(a) f(b) f( a) f( b)与条件矛盾，故 a b0，2从而为真命题，类似于用反证法答案： D二、填空题5若 a b c0， ab bc ac0， ab0，则用反证法求证 a0， b0， c0 时，应假设为_答案： a、 b、 c 不全是正数6命题“ a， b 是实数，若| a1| b1|0，则 a b1”用反证法证明时应假设为_答案： a1 或 b1三、解答题7设 f(x) x2 ax b，求证：| f(1)|、| f(2)|、| f
4、(3)|中至少有一个不小于 .12证明： 假设| f(1)| ，| f(2)| ，| f(3)| ，则有Error!12 12 12于是有Error!由、得4 a2， 由、得6 a4. 、显然相互矛盾，所以假设不成立，所以原命题正确8已知 a b c0， ab bc ca0， abc0，求证： a0.证明： 假设 a0，即 a0 或 a0.(1)若 a0，则 abc0，这与 abc0 矛盾；(2)若 a0，则由 abc0，知 bc0，又因为 bc( ac ab)，所以( ac ab)0， ac ab0，即 a(c b)0，而 a0，所以 b c0，所以 a b c0，这与 a b c0 相矛盾
5、，综上所述，假设不成立，从而 a0.9如图，已知平面 a， b ， a b A，且 c ， c a，求证： b、 c 为异面直线3证明： 假设 b、 c 不是异面直线，即 b、 c 为共面直线，则 b、 c 为相交直线或平行直线(1)若 b c P，已知 b ， c ，又 a，则 P( b )，且 P( c )，从而，交点 P 一定在平面 、 的交线上(公理二)，即 P a，于是 a c P，这与已知条件 a c 矛盾因此 b、 c 相交不成立(2)若 b c，已知 a c，则 a b(公理四)，这与已知条件 a b A 矛盾，因此 b、 c 平行也不能成立综合(1)(2)可知 b、 c 为异面直线
