1、第2课时 平均值不等式求最值,第一章 3 平均值不等式,学习目标 1.理解用平均值不等式求最值所需条件. 2.会用平均值不等式求最值. 3.能用平均值不等式解决简单的实际问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,答案 三个实数均为正数； 三个正数的和(或积)为定值； 三个正数可以相等.,知识点 利用平均值不等式求最值,思考2 在利用三元平均值不等式求最值时要注意满足什么条件？,梳理 (1)设x，y都是正数，则有 若xyS(和为定值)，则当 时，积xy取得最大值_； 若xyP(积为定值)，则当 时，和xy取得最小值_. (2)设x，y，z都是正数，则有 若xyzS(和为定值)，则
2、当 时，积xyz取得最大值_； 若xyzP(积为定值)，则当 时，和xyz取得最小值_.,xy,xy,xyz,xyz,题型探究,类型一 利用平均值不等式求最值,命题角度1 二元平均值不等式的应用,解答,f(x)的最大值是12.,解答,反思与感悟 在应用平均值不等式求最值时，分以下三步进行 (1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值. (2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(1)变为同正. (3)利用已知条件对取等号的情况进行验证.若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数的单调性或导数解决.,跟踪训练1 已知x0，y0，且
3、x2yxy30，求xy的最大值.,解答,命题角度2 三元平均值不等式的应用,解答,当且仅当x1x132x，,即x3时等号成立，ymin4.,解答,反思与感悟 (1)利用三元平均值不等式求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”. (2)应用平均值不等式，要注意当三个条件“一正，二定，三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均值不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等.,解答,(2)已知xR，求函数yx(1x2)的最大值.,解答,2x2(1x2)(1x2)2，,类型二 解决恒成立问题,答案,解析,当且仅当xy时，等号成立，,(2)若不等式x
4、2ax10对于一切x(0,2)恒成立，则a的取值范围是 .,答案,解析,2，),解析 x2ax10，x(0,2)，,当且仅当x1时等号成立，,反思与感悟 解决某些含参数的不等式恒成立问题时，可通过分离参数的方法，使参数与变量分别位于不等式两端，从而将问题转化为求关于变量的函数的最值，进而通过平均值不等式求出参数的取值范围.,解答,解 由x0，y0，且xy4，,类型三 利用平均值不等式解决实际问题,例4 某森林出现火灾，火势正以每分钟100 m2的速度顺风蔓延，消防站接到警报立即派消防队员前去，在火灾发生后5分钟到达救火现场，已知消防队员在现场平均每人每分钟灭火50 m2，所消耗的灭火材料、劳务
5、津贴等费用为每人每分钟125元，另附加每次救火所耗损的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而烧毁一平方米森林大约损失60元.问应该派多少消防队员前去救火，才能使总损失最少？,解答,解 设派x名消防员前去救火，用t分钟将火扑灭，总损失为y，,y灭火材料、劳务津贴费车辆、器械、装备费森林损失费 125tx100x60(500100t),即当x27时，y有最小值36 450. 故应该派27名消防队员前去救火，才能使总损失最少，最少损失为36 450元.,反思与感悟 利用平均值不等式解决实际问题的步骤 (1)分析题意，建立函数(或不等式)模型. (2)化简整理使表达式出现平均值不等式的结构形式.
6、(3)考查是否具备利用平均值不等式求解的条件.,跟踪训练4 有一块边长为36 cm的正三角形铁皮，从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的三个四边形面积之和等于多少？最大容积是多少？,解答,解 剪下的三个全等的四边形如图所示，,达标检测,解析 x0，,答案,解析,1,2,4,3,5,1,2,4,3,5,2.已知x为正数，下列各选项求得的最值正确的是,答案,解析,1,2,4,3,5,C中，x0，,1,2,4,3,5,3.某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 A.5千米处 B.4千米处 C.3千米处 D.2千米处,答案,解析,1,2,4,3,5,答案,解析,1,2,4,3,5,解析 因为a0，b0，,答案,解析,9,规律与方法,1.利用平均值不等式求最值，关键是对式子进行恰当的变形，合理构造“和式”与“积式”的互化，必要时可多次应用基本不等式.注意一定要求出使“”成立的自变量的值，这也是进一步检验是否存在最值的重要依据.,本课结束,
