1、2.2 绝对值不等式的解法,第一章 2 含有绝对值的不等式,学习目标 1.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c，|xa|xb|c. 2.理解并掌握绝对值不等式的几种解法，并能根据不等式的结构特征选择适当方法求解.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 |axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法,思考1 |x|2说明实数x有什么特征？,答案 因为x在数轴上对应的点x到原点的距离大于等于2，所以x2或x2.,思考2 若|2x3|5，求x的取值范围.,答案 x|1x4.,梳理 (1)含绝对值不等式|x|a与|x|
2、a的解法,|x|a,axa，a0， _，a0.,|x|a,_，a0， _，a0，a0.,(2)|axb|c(c0)和|axb|c(c0)型不等式的解法 |axb|c ， |axb|c .,R,xR且x0,xa或xa,caxbc,axbc或axbc,知识点二 |xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法,思考 如何去掉|xa|xb|的绝对值符号？,答案 采用零点分段法.即令|xa|xb|0，得 x1a，x2b，(不妨设ab),梳理 |xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法 (1)利用绝对值不等式的 求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几
3、何解释是解题关键. (2)以绝对值的“ ”为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想.确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键. (3)通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键. 特别提醒：解含绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，去绝对值符号的关键是“零点分段”法.,几何意义,零点,题型探究,类型一 |axb|c(c0)与|axb|c(c0)型的不等式的解法,例1 解下列不等式： (1)|5x2|8；,解答,(2)2|x2|4.,解答,由得x22或x22
4、， x0或x4， 由得4x24， 2x6. 原不等式的解集为x|2x0或4x6.,反思与感悟 |axb|c和|axb|c型不等式的解法 (1)当c0时，|axb|caxbc或axbc， |axb|ccaxbc； (2)当c0时，|axb|c的解集为R，|axb|c的解集为； (3)当c0时，|axb|c的解集为R，|axb|c的解集为.,由得x23或x23，x1或x5， 由得4x24，2x6. 原不等式的解集为x|2x1或5x6. 方法二 3|x2|43x24或4x235x6或2x1. 原不等式的解集为x|2x1或5x6.,跟踪训练1 解下列不等式： (1)3|x2|4；,解答,(2)|x1|
5、4|2.,解答,解 |x1|4|22|x1|422|x1|6,不等式|x1|4|2的解集为x|5x1或3x7.,类型二 |xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法,例2 解关于x的不等式：|3x2|x1|3.,解答,解 方法一 分类(零点分段)讨论法,1把实数轴分为三个区间，在这三个区间上根据绝对值的定义，代数式|3x2|x1|有不同的解析表达式， 因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集.,因为当x1时，|3x2|x1|3x2x14x3，,于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，,方法二 构造函数f(x)|3x2|x1|3， 则原不等式的解集为x|f(x)
6、0.,作出函数f(x)的图像，如图.,反思与感悟 |xa|xb|c(c0)，|xa|xb|c(c0)型不等式的三种解法：分区间(零点分段)讨论法、图像法和几何法.分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况.,跟踪训练2 解不等式|x7|x2|3.,解答,解 方法一 |x7|x2|可以看成数轴上的动点(坐标为x)到对应点7的距离与到对应点2的距离的差，先找到这个差等于3的点，即x1.由图易知不等式|x7|x2|3的解为x1， 即x(，1.,方法二 令x70，x20，得x7，x2. 当x7时，不等式变为x7x23， 93成立，x7. 当7x2时，不等式变为
7、x7x23， 即2x2，x1，7x1. 当x2时，不等式变为x7x23， 即93不成立， x. 原不等式的解集为(，1.,方法三 将原不等式转化为|x7|x2|30，,构造函数y|x7|x2|3，,作出函数的图像，由图像可知， 当x1时，y0， 即|x7|x2|30， 所以，原不等式的解集为(，1.,类型三 含绝对值不等式的恒成立问题,例3 已知函数f(x)|2x1|2xa|. (1)当a3时，求不等式f(x)6的解集；,解答,解 当a3时，f(x)|2x1|2x3|， f(x)6等价于|2x1|2x3|60， 令g(x)|2x1|2x3|6，,作出yg(x)的图像，如图， f(x)6的解集为
8、1,2.,(2)若关于x的不等式f(x)a恒成立，求实数a的取值范围.,解答,解 f(x)|2x1|2xa|(2x1)(2xa)|a1|， f(x)min|a1|. 要使f(x)a恒成立，只需|a1|a成立即可. 由|a1|a， 得a1a或a1a，,引申探究 若f(x)|2x1|2xa|且f(x)a恒成立，求a的取值范围.,解答,解 f(x)|2x1|2xa|(2x1)(2xa)|a1|， f(x)max|a1|. f(x)a恒成立， |a1|a，,当a0时，|1|0，无解，当a0时，无解，,反思与感悟 当不等式的解集为R或为空集时，都可以转化为不等式恒成立问题.f(x)a恒成立f(x)max
9、a，f(x)a恒成立f(x)mina.,跟踪训练3 已知不等式|x2|x3|m.根据以下情形分别求出m的取值范围. (1)若不等式有解；,解答,解 方法一 因为|x2|x3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(2)，B(3)距离的差， 即|x2|x3|PA|PB|. 则(|PA|PB|)max1，(|PA|PB|)min1. 即1|x2|x3|1. 若不等式有解，m只要比|x2|x3|的最大值小即可， 即m1，m的取值范围为(，1). 方法二 由|x2|x3|(x2)(x3)|1， 可得1|x2|x3|1. 若不等式有解，则m(，1).,(2)若不等式的解集为R；,解答,解 方法一
10、若不等式的解集为R，即不等式恒成立， m只要比|x2|x3|的最小值还小，即m1， m的取值范围为(，1). 方法二 若不等式的解集为R，则m(，1).,(3)若不等式的解集为.,解答,解 方法一 若不等式的解集为，m只要不小于|x2|x3|的最大值即可，即m1，m的取值范围为1，). 方法二 若不等式的解集为，则m1，).,达标检测,1,2,4,3,5,解析 |x1|3，则x13或x13， 因此x4或x2.,1.不等式|x1|3的解集是 A.x|x4或x2 B.x|4x2 C.x|x4或x2 D.x|4x2,答案,解析,1,2,4,3,5,答案,解析,1,2,4,3,5,解析 |x1|x2|
11、表示数轴上一点到2，1两点的距离之和， 根据2，1之间的距离为1，可得到与2，1距离和为5的点是4,1. 因此|x1|x2|5的解集是(4,1).,3.不等式|x1|x2|5的所有实数解的集合是 A.(3,2) B.(1,3),答案,解析,1,2,4,3,5,解析 |x5|x3|(x5)(x3)|2， m2.,4.已知x为实数，且|x5|x3|m有解，则m的取值范围是 A.m1 B.m1 C.m2 D.m2,答案,解析,1,2,4,3,5,5.解不等式|2x1|3x2|8.,解答,x.,规律与方法,1.解不等式|axb|c，|axb|c (1)当c0时，|axb|ccaxbc，解之即可；|axb|caxbc或axbc，解之即可. (2)当c0时，由绝对值的定义知|axb|c的解集为，|axb|c的解集为R.,2.解|xa|xb|c，|xa|xb|c型的不等式的核心步骤是“零点分段”，即 令每个绝对值符号里的一次式为零，求出相应的根； 把这些根由小到大排序并把实数集分为若干个区间； 由所分区间去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集； 这些不等式的解集的并集就是原不等式的解集.,本课结束,
