1、第一章 2 含有绝对值的不等式,2.1 绝对值不等式,学习目标 1.进一步理解绝对值的意义. 2.理解并掌握绝对值不等式|ab|a|b|的代数及几何解释. 3.会用|ab|a|b|解决一些简单的绝对值不等式问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点 绝对值不等式定理,思考1 实数a的绝对值|a|的几何意义是什么？,答案 |a|表示数轴上以a为坐标的点A到原点的距离.,思考2 代数式|x2|x3|的几何意义是什么？,答案 表示数轴上的点x到点2,3的距离之和.,思考3 画画图，看看|x2|x3|与|(2)3|的关系.,答案 由数轴可以看出数轴上的点x到点2,3的距离之和大于
2、等于点2到3的距离，即|x2|x3|(2)3|.,梳理 (1)实数的绝对值,|a|,，a0，a0，a0.,a,0,a,由定义易得|ab| ； (b0)；|a|2 ； ； |a| a |a|.,|a|b|,a2,|a|,(2)绝对值的几何意义 设a是任意一个实数，在数轴上： |a|表示 的距离； |xa|表示 ； |xa|表示 . (3)绝对值不等式(定理) 对任意实数a和b，有|ab| |a|b|. 拓展 |a|b|ab|a|b|.,实数a对应的点与原点O,实数x对应的点与实数a对应的点之间的距离,实数x对应的点与实数a对应的点之间的距离,题型探究,类型一 含绝对值不等式的证明,例1 设函数f
3、(x)x22x，|xa|1. 求证：|f(x)f(a)|2|a|3.,证明,证明 f(x)x22x，且|xa|1， |f(x)f(a)|x22xa22a| |(xa)(xa)2(xa)| |(xa)(xa2)|xa|xa2| |xa2|(xa)(2a2)|xa|2a2| 1|2a|2|2|a|3， |f(x)f(a)|2|a|3.,反思与感悟 两类含绝对值不等式的证明技巧 一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明. 另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也
4、成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明.,证明 |(ABC)(abc)|(Aa)(Bb)(Cc)|(Aa)(Bb)|Cc|Aa|Bb|Cc|，,证明,|(ABC)(abc)|s.,类型二 利用绝对值不等式求最值,例2 (1)求函数y|x3|x1|的最大值和最小值；,解答,解 |x3|x1|(x3)(x1)|4， 4|x3|x1|4， ymax4，ymin4.,(2)如果关于x的不等式|x3|x4|a的解集为空集，求参数a的取值范围.,解答,解 只要a不大于|x3|x4|的最小值，则|x3|x4|a的解集为空集， 而|x3|x4|x3|4x|x34x|1， 当且仅当(x3)(4x)
5、0，即3x4时等号成立. 当3x4时，|x3|x4|取得最小值1. a的取值范围为(，1.,反思与感悟 (1)利用绝对值不等式求函数最值时，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式. (2)求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键.,跟踪训练2 (1)已知xR，求f(x)|x1|x2|的最值；,解答,解 |f(x)|x1|x2|(x1)(x2)|3， 3f(x)3， f(x)min3，f(x)max3.,(2)若|x3|x1|a的解集不是R，求a的取值范围.,解答,解 |x3|x1|(x3)(x1)|4， |x3|x1|4. 当a4时，|x3|x1|a的解集为R. 又|x3
6、|x1|a的解集不是R，a4. a的取值范围是4，).,类型三 绝对值不等式的综合应用,(1)证明：f(x)2；,证明,证明 由a0，,所以f(x)2.,(2)若f(3)5，求a的取值范围.,解答,反思与感悟 含绝对值的综合问题，综合性强，所用到的知识多，在解题时，要注意应用绝对值不等式的性质、推论及已知条件，还要注意配方等等价变形，同时在应用绝对值不等式放缩性质求最值时，还要注意等号成立的条件.,跟踪训练3 设f(x)ax2bxc，当|x|1时，恒有|f(x)|1，求证：|f(2)|7.,证明,证明 因为当|x|1时，有|f(x)|1， 所以|f(0)|c|1，|f(1)|1，|f(1)|1
7、， 又f(1)abc，f(1)abc， 所以|f(2)|4a2bc| |3(abc)(abc)3c| |3f(1)f(1)3f(0)| 3|f(1)|f(1)|3|f(0)| 3137，所以|f(2)|7.,达标检测,1,2,4,3,5,解析 |4x2y4m2n|4(xm)2(yn)|,答案,解析,解析 由|a|1得a1或a1. 因为关于x的不等式|x|x1|a有解， 而|x|x1|x1x|1， 所以a1. 故“|a|1”是“关于x的绝对值不等式|x|x1|a有解”的必要不充分条件.,2.已知a为实数，则“|a|1”是“关于x的绝对值不等式|x|x1|a有解”的 A.充分不必要条件 B.必要不
8、充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件,1,2,4,3,5,答案,解析,1,2,4,3,5,mn.,A.mn B.mn C.mn D.mn,答案,解析,1,2,4,3,5,解析 |x1|xa|x1(xa)|a1|， 且关于x的不等式|x1|xa|8的解集不是空集， |a1|8， 解得9a7，即a的最小值是9.,4.已知关于x的不等式|x1|xa|8的解集不是空集，则a的最小值是 .,答案,解析,9,1,2,4,3,5,5.下列四个不等式：|logx10lg x|2；|ab|a|b|； 2(ab0)；|x1|x2|1. 其中恒成立的是 .(把你认为正确的序号都填上).,答案,解析,当ab0时，|ab|a|b|，不正确；,由|x1|x2|的几何意义知，|x1|x2|1恒成立，正确.,规律与方法,1.求含绝对值的代数式的最值问题的综合性较强，直接求|a|b|的最大值比较困难，可采用求|ab|，|ab|的最值，及ab0时，|a|b|ab|，当ab0时，|a|b|ab|的定理，达到目的. 2.求y|xm|xn|和y|xm|xn|的最值，其主要方法有 (1)借助绝对值的定义，即零点分段； (2)利用绝对值的几何意义； (3)利用绝对值不等式的性质定理.,本课结束,
