1、考向预测1圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考必考的问题之一，往往作为试卷的压轴题之一；2以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题知识与技巧的梳理1圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值) ，或者利用式子的几何意义求解2定点、定值问题(1)定点问题：在解析几何中，有些含有参数的直线或曲线的方程，不论参数如何变化，其都过某定点，这类问题称为定点问题若得到了直线方程的点斜式：yy 0k (xx 0)，则直线必过定点( x0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：ykx m，则直线必过定点 (0，m )(2)定值问题：在解析几何中，有些
2、几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动直线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题3存在性问题的解题步骤：(1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程( 组)或不等式(组) (2)解此方程(组 )或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在(3)得出结论热点题型热点一 圆锥曲线中的最值、范围【例 1】 (2018济宁期末)已知抛物线 的焦点为 F，过点 F 的直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B:2=2(0)两点，且 ，直线 AO，BO 分别交直线 于点 M，N =3 =1(1)求抛物线 C 的方程；(2)求 的最小值解（1）抛物线 的焦点为 F ， ，:2=
3、2(0) (0,2) (1,1) (2,2)专题四第 3 讲 圆锥曲线综合问题解析几何设直线 的方程为： ， =+2联立直线 与抛物线 的方程可得： ， =+22=2 整理得： ，222=0所以 ， ，1+2=212=2= ，12=(1+2)(2+2)=212+2(1+2)+2424因为 ，且 ， ，=3 =(1,1) =(2,2)所以 ，即 ，解得： 12+12=3 2+24=3 =2所以抛物线 C 的方程为： 。2=4（2）直线 的方程为： ，直线 的方程为： ， =11 =22联立 得： ，所以 ，=11=1 =11 (11,1)联立 得： ，所以 ，=22=1 =22 (22,1)所以
4、 = = ，=|2211|=|211221 | |2(1+2)1(2+2)12 |=|12| (1+2)2412所以 = ，=121|12|=12(1+2)24121242+162当 时，等号成立=0所以 的最小值为 2探究提高 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法：(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围【训练 1】 已知点 A(0，2)，椭圆 E： 1(ab0)的离心率为 ，F 是椭圆 E 的右焦点，直线 AF
5、 的x2a2 y2b2 32斜率为 ，O 为坐标原点233(1)求 E 的方程；(2)设过点 A 的动直线 l 与 E 相交于 P，Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程解 (1)设 F(c， 0)，由条件知， ，得 c 又 ，所以 a2，b 2a 2c 212c 233 3 ca 32故 E 的方程为 y 21x24(2)当 lx 轴时不合题意，故设 l：ykx2，P(x 1，y 1)， Q(x2，y 2)将 ykx2 代入 y 21，得 (14k 2)x216kx120x24当 16(4k 23)0 ，即 k2 时，x 1，2 34 8k24k2 34k2 1从而|PQ| |x1
6、x 2| k2 14k2 1 4k2 34k2 1又点 O 到直线 PQ 的距离 d 2k2 1所以OPQ 的面积 SOPQ d|PQ| 12 44k2 34k2 1设 t，则 t0，S OPQ 4k2 34tt2 4 4t 4t因为 t 4，当且仅当 t2，即 k 时等号成立，且满足 04t 72所以当OPQ 的面积最大时， l 的方程为 y x2 或 y x272 72热点二 圆锥曲线中的存在性问题【例 2】 (2019广州一模)已知动圆 过定点 ，且与定直线 相切 (1,0) =1（1）求动圆圆心 的轨迹 的方程； （2）过点 的任一条直线 与轨迹 交于不同的两点 ，试探究在 轴上是否存
7、在定点 （异于点 ） ，(2,0) , 使得 ？若存在，求点 的坐标；若不存在，说明理由+= 解（1）解法 1：依题意动圆圆心 到定点 的距离与到定直线 的距离相等， (1,0) =1由抛物线的定义，可得动圆圆心 的轨迹是以 为焦点， 为准线的抛物线， 其中 (1,0) =1 =2动圆圆心 的轨迹 的方程为 2=4解法 2：设动圆圆心 ，依题意： (,) (1)2+2=|+1|化简得： ，即为动圆圆心 的轨迹 的方程2=4 （2）解：假设存在点 满足题设条件(0,0)由 可知，直线 与 的斜率互为相反数，+= 即 +=0直线 的斜率必存在且不为 ，设 , 0 :=2由 得 2=4=2 24+8
8、=0由 ,得 或 =(4)2480 2 0)的焦点为 F，直线 2xy20 交抛物线 C 于 A，B两点，P 是线段 AB 的中点，过 P 作 x 轴的垂线交抛物线 C 于点 Q(1)D 是抛物线 C 上的动点，点 E(1，3)，若直线 AB 过焦点 F，求|DF| DE|的最小值；(2)是否存在实数 p，使|2 |2 |？若存在，求出 p 的值；若不存在，说明理由QA QB QA QB 解 (1)直线 2xy20 与 y 轴的交点为(0，2)，F(0，2) ，则抛物线 C 的方程为 x28y，准线 l：y 2设过 D 作 DGl 于 G，则|DF |DE|DG| |DE|，当 E，D，G 三
9、点共线时，|DF| DE|取最小值 235(2)假设存在，抛物线 x22py 与直线 y2x 2 联立方程组得：x 24px4p0，设 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)，(4 p)216p16( p2p)0，则 x1x 24p，x 1x24p，Q (2p，2p)|2 | |2 |，QAQB QA QB QA QB 则 0，可得(x 12p)(x 22p) (y 12p)(y 22p)QA QB (x 1 2p)(x22p)(2x 12 2p)(2x222p)5x 1x2(46p)(x 1x 2)8p 28p40，代入得 4p23p10，解得 p 或 p1(舍去) 14因此存在实数 p
10、，且满足 0，使得|2 |2 |成立14 QA QB QA QB 限时训练 （45 分钟）经典常规题1(2018全国 I 卷)设椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 与 交于 两点，点 的坐标为 :22+2=1 , (2,0)（1）当 与 轴垂直时，求直线 的方程； （2）设 为坐标原点，证明： =高频易错题1(2018全国 III 卷)已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，线段 的中点为 ： 24+23=1 (1 ， )(0)（1）证明： ；b0)的右顶点为 A，直线 y 与椭圆 C 交于2x2a2 y2b2 43P，Q 两点( P 在 Q 的左边)，Q 在 x 轴上的射影为 B，且四边形
11、ABPQ 是平行四边形(1)求椭圆 C 的方程；(2)斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 M，N 若 M 是椭圆的左顶点，D 是直线 MN 上一点，且 DAAM点 G 是 x 轴上异于点 M 的点，且以 DN 为直径的圆恒过直线 AN 和 DG 的交点，求证：点 G 是定点精准预测题1(2017延安调研)如图，椭圆 E： 1(ab0)，经过点 A(0，1)，且离心率为 x2a2 y2b2 22(1)求椭圆 E 的方程；(2)经过点(1 ，1)，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q( 均异于点 A)，证明：直线 AP 与 AQ 的斜率之和为定值2(2017昆明
12、二模)已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，短轴长为 2直线 l：ykxm 与椭圆 Cx2a2 y2b2 22交于 M，N 两点，又 l 与直线 y x，y x 分别交于 A，B 两点，其中点 A 在第一象限，点 B 在第二象限，12 12且OAB 的面积为 2(O 为坐标原点 )(1)求椭圆 C 的方程；(2)求 的取值范围OM ON 参考答案经典常规题1 【解题思路】(1)首先根据 与 轴垂直，且过点 ，求得直线 l 的方程为 x=1，代入椭圆方程求得点 A (1,0)的坐标为 或 ，利用两点式求得直线 的方程；(1,22) (1,22) (2)分直线 l 与 x 轴重合、l 与 x
13、 轴垂直、l 与 x 轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果【答案】 （1）由已知得 ，l 的方程为 x=1(1,0)由已知可得，点 A 的坐标为 或 (1,22) (1,22)所以 AM 的方程为 或 =22+2 =22 2（2）当 l 与 x 轴重合时， =0当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直平分线，所以 =当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 ， ，=(1)(0)(1,1),(2,2)则 ，直线 MA，MB 的斜率之和为 10， 2m1 2k0，m（1 2k）0， )即 m2
14、(14k 2)0，而 m20，14k 20，又|AB| ，(2m1 2k 2m1 2k)2 ( m1 2k m1 2k)2 4|m|1 4k21 k2又原点 O 到直线 l 的距离为 ，即OMN 底边 AB 上的高为 ，|m|1 k2 |m|1 k2S OMN 2，124|m|1 k21 4k2 |m|1 k2 2m21 4k2m 214k 2，设 M(x1，y 1)， N(x2，y 2)，将直线 l 代入椭圆方程，整理可得(12k 2)x24kmx2m 220，x 1x 2 ，x 1x2 ，4km1 2k2 2m2 21 2k216k 2m24(12k 2)(2m22) 48k 20，则 k20，y 1y2(kx 1m)( kx2m ) ，m2 2k21 2k2 x 1x2y 1y2 7，OM ON 2m2 21 2k2 m2 2k21 2k2 81 2k20k 2 ，12k 2 ，14 (1， 32) ， 81 2k2 (163， 8) OM ON ( 53， 1)故 的取值范围为 OM ON ( 53， 1)
