1、1椭圆一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）1. 已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C： 的左焦点，A，B 分别为 C 的左，右顶点 为 C22+22=1(0) .上一点，且 轴，过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M，与 y 轴交于点 若直线 BM 经过 OE 的中点，则 .C 的离心率为 ( )A. B. C. D. 13 12 23 34（正确答案）A解：由题意可设 ， ， ，(,0)(,0)(,0)令 ，代入椭圆方程可得 ，=122=2可得 ，(,2)设直线 AE 的方程为 ，=(+)令 ，可得 ，令 ，可得 ，= (,() =0 (0,)设 OE 的中点为 H，可得
2、 ，(0,2)由 B，H，M 三点共线，可得 ，=即为 ，2=()化简可得 ，即为 ，+=12 =3可得 =13故选：A由题意可得 F，A，B 的坐标，设出直线 AE 的方程为 ，分别令 ， ，可得 M，E 的坐标，=(+) = =0再由中点坐标公式可得 H 的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求值本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题2. 已知椭圆 C： 的左、右焦点为 、 ，离心率为 ，过 的直线 l 交 C 于 A、B22+22=1(0) 1 2 33 2两点，若
3、的周长为 ，则 C 的方程为 1 43 ( )A. B. C. D. 23+22=1 23+2=1 212+28=1 212+24=1（正确答案）A解： 的周长为 ，1 43的周长 ，1 =|1|+|2|+|1|+|2|=2+2=42，4=43，=3离心率为 ，33， ，=33 =1，=22=2椭圆 C 的方程为 23+22=1故选：A利用 的周长为 ，求出 ，根据离心率为 ，可得 ，求出 b，即可得出椭圆的方程1 43 =333 =1本题考查椭圆的定义与方程，考查椭圆的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题3. 曲线的方程为 ，若直线 l 与曲线有+ =2 :=+12公共点，则 k 的取值
4、范围是 ( )A. B. C. D. 1,+) (1,+)（正确答案）A试题分析：方程 表示的是动点 到点 ，+ =2 (,)(1,0)的距离之和为 2，即有 P 的轨迹为线段 ，(1,0) :=0(11)直线 l 为恒过定点 的直线，:=+12 (2,1)， ，= = = =1直线 l 与曲线有公共点，等价为 ，即为 :=+12 14. 若椭圆 C： 的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为 22+22=1(0) ( )A. B. C. D. 12 33 22 24（正确答案）C解：依题意可知 ，而 =2 =2+2=2椭圆的离心率 =22故选：C先根据题意可知 ，进而求得 a 和 c 的关系，离心
5、率可得=3本题主要考查了椭圆的简单性质 属基础题.5. 已知 中，A、B 的坐标分别为 和 ，若三角形的周长为 10，则顶点 C 的轨迹方程是 (0,2)(0,2) ( )A. B. 29+25=1(0) 25+29=1(0)C. D. 236+220=1(0) 232+236=1(0)（正确答案）B解： ，三角形的周长为 10， ，|=4 |+|=104=6|根据椭圆的定义知，顶点 C 的轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆，且 ， ，=2 =3，故椭圆的方程为 ，=94=529+25=1故选：B根据三角形的周长及 ，可得 ，根据椭圆的定义知顶点 C 的轨迹是以 A、B 为|=4 |+|=6|焦点
6、的椭圆，待定系数法求椭圆的方程本题考查根据椭圆的定义，用待定系数法求椭圆的标准方程的方法，属于基础题6. 已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为 A，B，左、右焦点分别是 ， ，在线段 AB22+22=1(0) 1 2上有且只有一个点 P 满足 ，则椭圆的离心率为 12 ( )A. B. C. D. 512 312 53 32（正确答案）A解：依题意，作图如下， ， ， ，(,0)(0,) 1(,0)2(,0)直线 AB 的方程为： ，整理得： ，+=1 +=0设直线 AB 上的点 (,)则 ，=，=，121 2 =(,)(,)=2+22，=()2+22令 ，()=()2+22则 ，()=2()+2
7、由 得： ，于是 ， ()=0= 22+2 = 22+24，1 2 =( 22+2)2+( 22+2)22=0整理得： ，又 ， ，222+2=2 2=22 2=22，432+1=0，又椭圆的离心率 ，2=352 (0,1)，2=3 52 =(512 )2椭圆的离心率为 =512故选 A由题意可求得 AB 的方程，设出 P 点坐标，代入 AB 的方程，由 ，得 ，结合椭圆的离心121 2 =0率的性质即可求得答案本题考查椭圆的性质，考查向量的数量积，考查直线的方程，着重考查椭圆性质的应用，是重点更是难点，属于难题7. 过点 且与椭圆 有相同焦点的椭圆方程为 (3,2) 32+82=24 ( )
8、A. B. C. D. 25+210=1 210+215=1 215+210=1 225+210=1（正确答案）C解：椭圆 的焦点 ，可得 ，设椭圆的方程为： ，32+82=24 (5,0) =522+22=1可得： ， ，解得 ， ，92+42=1 22=5 =15=10所求的椭圆方程为： 215+210=15故选：C求出椭圆的焦点坐标，设出方程利用椭圆经过的点，求解即可本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法，考查计算能力8. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 作一条直线 不与 x 轴垂直 与椭圆交22+22=1(0) 1 2 2 ( )于 A，B 两点，如果 恰好为等腰直角三角形，
9、该直线的斜率为 1 ( )A. B. C. D. 1 2 2 3（正确答案）C解：可设 ， ，|12|=2 |1|=若 构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，1则 ， ，|=|1|=|1|=2由椭圆的定义可得 的周长为 4a，1即有 ，即 ，4=2+2 =2(2 2)，|1|=2(2 2)则 ，|2|=2=(222)在 中，12，21=丨 1丨丨 2丨 =2直线 AB 的斜率为 ， =21=2故选：C假设 构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，根据椭圆的定义及性质求得 ，1 |1|=2(2 2)，则直线 AB 的斜率为 |2|=2=(222) =21=2本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质
10、，考查直线斜率与倾斜角的关系，考查计算能力，属于中档题9. 椭圆 与双曲线 有相同的焦点，且两曲线的离心率互为倒数，则双： 24+23=1 ： 2222=1(,0)曲线渐近线的倾斜角的正弦值为 ( )A. B. C. D. 12 22 33 32（正确答案）D解：椭圆 的焦点坐标 ，离心率为： ，： 24+23=1 (1,0) 12双曲线 的焦点 ， ，双曲线的离心率为 2： 2222=1(,0) (1,0)=1可知 ，则 ，=12 =32双曲线渐近线 的倾斜角的正弦值为： =332故选：D6求出椭圆的离心率，得到双曲线的离心率，求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，然后求解即可本题考查椭
11、圆的简单性质，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力10. 椭圆 上的点到直线 的距离的最小值为 42+2=2 28=0 ( )A. B. C. 3 D. 6655 355（正确答案）A解： 椭圆 ，P 为椭圆上一点， 42+2=2设 ， ， ，( 22 2) 00) 1 2 2是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则离心率为 1 ( )A. B. C. D. 22 2 3 52 6 3（正确答案）D解：如图，设 ， ，|12|=2 |1|=若 构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，1则 ， ，|=|1|=|1|=2由椭圆的定义可得 的周长为 4a，1即有 ，即 ，4=2+2 =2(2 2)则
12、 ，|2|=2=(222)在直角三角形 中，12，|12|2=|1|2+|2|2即 ，42=4(2 2)22+4(21)22，2=(962)27则 ，2=22=962=9218=6 3故选：D设 ， ，若 构成以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 ，|12|=2 |1|= 1 |=|1|=，再由椭圆的定义和周长的求法，可得 m，再由勾股定理，可得 a，c 的方程，求得 ，开方|1|=222得答案本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，同时考查勾股定理的运用，灵活运用椭圆的定义是解题的关键，是中档题12. 已知椭圆 的左顶点和上顶点分别为 A、B，左、右焦点分别是 ， ，在线段
13、AB22+22=1(0) 1 2上有且只有一个点 P 满足 ，则椭圆的离心率为 12 ( )A. B. C. D. 32 312 53 512（正确答案）D解：依题意，作图如下： 由 ， ， ， ，(,0)(0,) 1(,0)2(,0)可得直线 AB 的方程为： ，整理得： ，+=1 +=0设直线 AB 上的点 ，则 ，(,) =，=由 ，121 2 =(,)(,)=2+22，=()2+22令 ，()=()2+22则 ，()=2()+2由 得： ，于是 ，()=0= 22+2 = 22+2，1 2 =( 22+2)2+( 22+2)22=0整理得： ，又 ， ，222+2=2 2=22 2=2
14、28，432+1=0，又椭圆的离心率 ，2=352 (0,1)，2=3 52 =(512 )2可得 ，=512故选：D由题意可求得 AB 的方程，设出 P 点坐标，代入 AB 的方程，由 ，得 ，运用导数求得极121 2 =0值点，结合椭圆的离心率公式，解方程即可求得答案本题考查椭圆的性质，向量的数量积的坐标表示，考查直线的方程的运用，着重考查椭圆离心率，以及化简整理的运算能力，属于中档题二、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）13. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F 是椭圆 的右焦点，直线 与椭圆交于22+22=1(0) =2B，C 两点，且 ，则该椭圆的离心率是_=90（正确答
15、案）63【分析】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为 ，考查化简整理的运算能力，1设右焦点 ，将 代入椭圆方程求得 B，C 的坐标，运用两直线垂直的条件：斜率之积为 ，结合(,0)=2 1离心率公式，计算即可得到所求值 方法二、运用向量的数量积的性质，向量垂直的条件：数量积为 0，结.合离心率公式计算即可得到所求 属于中档题.【解答】解：设右焦点 ，(,0)将 代入椭圆方程可得 ，=2 =1242=32可得 ， ，( 32,2) (32,2)由 ，可得 ，=90 =1即有 ，2 32232=1化简为 ，2=3242由 ，即有 ，2=22 32=229由 ，可得 ，=
16、 2=22=23可得 ，=63另解：设右焦点 ，(,0)将 代入椭圆方程可得 ，=2 =1242=32可得 ， ，( 32,2) (32,2)， ，=( 32,2) =(32,2)，则 十 ，=0 2342 142=0因为 ，代入得 ，2=22 32=22由 ，可得 ，= 2=22=23可得 =63故答案为 6314. 已知 ， 为椭圆 C 的两个焦点，P 为 C 上一点，若 ， ， 成等差数列，则 C 的离心率1 2 |1| |12| |2|为_ （正确答案）12解： ， ， 成等差数列，|1| |12| |2|，2|12|=|1|+|2|=2即 ，4=2=12故答案为： 12根据等差中项的
17、定义及椭圆的定义列方程即可得出离心率本题考查了椭圆的定义，等差中项的性质，属于基础题15. 椭圆 的左、右焦点分别为 ，上、下顶点分别为 ， ，右顶点为 A，： 22+22=1(0) 1,2 1 2直线 与 交于点 若 ，则 C 的离心率等于 _ 1 21 . 2|1|=3|1|（正确答案）1410解：如图所示，设 ，由 ，得： ，(0,0) 2|1|=3|1|1|=35根据三角形相似得： ，求得： ，0=35=0 0=23,0=53又直线 的方程为21+=1将点 代入，得： ，(23,53) 23+53=1,23=1+53=83=2338=14故答案为： 14由 ，得： ，根据三角形相似得： ，则 ，代入即可2|1|=3|1|1|=35 0=35=0 0=23,0=53求得 e 的值本题考查椭圆的离心率，考查三角形的相似的性质，考查数形结合思想的应用，属于中档题16. 已知椭圆 经过点 ，且点 A 到椭圆两焦点的距离之和为 4，则该椭圆的离22+22=1(0) (3,12)心率 _ =（正确答案）32解：根据题意，椭圆上 A 到椭圆两焦点的距离之和为 4，则 ，即 ，2=4 =2又由椭圆 经过点 ，则有 ，22+22=1 (3,12) 32+142=1又由 ，解可得 ，=2 =1则 ，=22=3
