1、2019 年高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版理科数学】专题八 概率与统计考向一 古典概型与几何概型【高考改编回顾基础】1.【数学文化与古典概型】 【2018 年全国卷 II 理改编】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和” ，如 在不30=7+23超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是 . 【答案】115【解析】不超过 30 的素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共 10 个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为 ，所以随机选取两个不同的数，其和等于 30 的
2、有 3 种方法，210=45故概率为 .345=1152. 【数学文化与几何概型】 【2018 年理新课标 I 卷】下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC 的斜边 BC，直角边 AB，ACABC 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为 II，其余部分记为 III在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III 的概率分别记为 p1，p2，p3，则A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3【答案】A3.【几何概型】 【2016 高考新课标 2 改编】某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红
3、灯持续时间为 40 秒.若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 .【答案】 58【解析】因为红灯持续时间为 40 秒.所以这名行人至少需要等待 15 秒才出现绿灯的概率为 40158.【命题预测看准方向】概率考点是近几年高考的热点之一，主要考查随机事件的概率、古典概型、几何概型等知识，近几年高考对概率的考查由单一型向知识交汇型转化，多与统计、函数、方程、数列、平面向量、不等式(线性规划)等知识交汇命题【典例分析提升能力】【例 1】 【2018 年天津文改编】已知某校从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中，抽取名同学去某敬老院参加献爱心活动设抽出的 7 名同学分别用
4、 A，B，C，D，E，F，G 表示，现从中随机抽取 2 名同学承担敬老院的卫生工作（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设 M 为事件“抽取的 2 名同学来自同一年级” ，求事件 M 发生的概率【答案】521【解析】（i）从抽出的 7 名同学中随机抽取 2 名同学的所有可能结果为A， B， A， C， A， D， A， E， A， F， A， G， B， C， B， D， B， E， B， F， B， G，C， D， C， E， C， F， C， G， D， E， D， F， D， G， E， F， E， G， F， G，共 21 种（ii）由（） ，不妨设抽出的 7 名同学中，
5、来自甲年级的是 A， B， C，来自乙年级的是 D， E，来自丙年级的是 F， G，则从抽出的 7 名同学中随机抽取的 2 名同学来自同一年级的所有可能结果为 A， B， A， C，B， C， D， E， F， G，共 5 种 【答案】18【解析】丙种型号的产品在所有产品中所占比例为 ，所以应从丙种型号的产品中300200 400 300 100 310抽取 60 18(件)3102 【系统抽样】 【2014广东卷改编】为了解 1000 名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为 40 的样本，则分段的间隔为_【答案】 25 【解析】由题意得，分段间隔是 25.1000403.【茎叶
6、图、中位数、平均数】 【2017山东卷改编】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位：件)若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则 x 和 y 的值分别为_ 【答案】3，5.【解析】由茎叶图知，甲组的中位数为 65，当乙组的中位数也为 65 时，y5，此时乙组的平均数为66，所以甲组中的未知数为 665(56656274)73，所以 x3.59 61 65 67 7854.【对标准差、平均数、中位数的理解】 【2017全国卷改编 为评估一种农作物的种植效果，选了 n块地作试验田这 n 块地的亩产量(单位：kg)分别为 x1，x 2，x n，给出下列指标：x 1，x
7、 2，x n的平均数；x 1，x 2，x n的标准差；x 1，x 2，x n的最大值；x 1，x 2，x n的中位数其中所给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是_(填序号) 【答案】【解析】根据标准差的概念，可知标准差是刻画一组数据波动与稳定程度的一个量，所以选.5.【回归直线方程及其应用】 【2017山东卷改编】为了研究某班学生的脚长 x(单位：厘米)和身高 y(单位：厘米)的关系，从该班随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 x .已知 xi255， yi1600， 4.该班某学生的脚长为 24，据此估y b
8、a 10 i 1 10 i 1 b 计其身高为_【答案】166【解析】易知 x 22.5，y 160.因为 4，所以 160422.5 ，解得 70，所以回归直22510 160010 b a a 线方程为 4x70，当 x24 时， 9670166.y y 6 【对频率分布直方图的认识】 【2017北京卷改编】某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，从中随机抽取了 100 名学生，记录他们的分数，整理得到如图所示的频率分布直方图，已知样本中分数小于 40的学生有 5 人，估计总体中分数在区间40，50)内的人数为_ 【答案】20【解析】根据题意，样本中分数不小于 50 的频率为(0.01
9、0.020.040.02)100.9，分数在区间40，50)内的人数为 1001000.955.所以总体中分数在区间40，50)内的人数估计为 400 20. 51007 【22 列联表及独立性检验公式】 【2017全国卷改编】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，得到如下列联表：箱产量50 kg 箱产量50 kg旧养殖法 62 38新养殖法 34 66根据列联表判断_(填“有”或“没有”)99%的把握认为箱产量与养殖方法有关 【答案】有【解析】k 15.7056.635，200（ 6266 3834） 210010010496有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关【命题预测
10、看准方向】从近五年高考试题来看,高考对概率的考查重点是基本概念和基本公式,如互斥事件的概率、古典概型、几何概型等;高考对统计与统计案例的考查密度小,有增强的趋势,考查的重点有用样本估计总体、回归分析和独立性检验等. 概率统计试题通常是通过对课本原题进行改编，通过对基础知识的重新组合、变式和拓展，从而加工为立意高、情境新、设问巧、并赋予时代气息、贴近学生实际的问题，这样的试题体现了数学试卷新的设计理念，尊重不同考生群体思维的差异，贴近考生的实际，体现了人文教育的精神.备考重点是互斥事件的概率、古典概型、几何概型、用样本估计总体、回归分析、独立性检验等.【典例分析提升能力】【例 1】 【2018
11、届北京市石景山区高三第一学期期末】某学校高三年级共有 1000 名学生，其中男生 650 人，女生 350 人，为了调查学生周末的休闲方式，用分层抽样的方法抽查了 200 名 【例 2】 【2018 届湖南师大附中高三上月考（五） 】在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司为推广线下分店，计划在 S市的 A区开设分店为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格记 x表示在各区开设分店的个数， y表示这 x个分店的年收入之和 x（个） 2 3 4 5 6y（百万元） 2.5 3 4 4.5 6（）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合 y与 x
12、的关系，求 y关于 x的线性回归方程；（）假设该公司在 A区获得的总年利润 z（单位：百万元）与 ,之间的关系为 ，请结合（）中的线性回归方程，估算该公司应在 A区开设多少个分店，才能使 A区平均每个分店的年利润最大？参考公式： ybxa， ， aybx【答案】 （1） ；（2）公司应在 A区开设 4 个分店，才能使 A区平均每个分店的年利润最大【解析】（1） 4x， y， ， y关于 x的线性回归方程 （2） ，A区平均每个分店的年利润 ， 4x时， t取得最大值，故该公司应在 区开设 4 个分店，才能使 A区平均每个分店的年利润最大【趁热打铁】 【四川省绵阳市 2019 届高三 1 月诊断
13、】进入冬天，大气流动性变差，容易形成雾握天气，从而影响空气质量某城市环保部门试图探究车流量与空气质量的相关性，以确定是否对车辆实施限行为此，环保部门采集到该城市过去一周内某时段车流量与空气质量指数的数据如下表：(1)根据表中周一到周五的数据，求 y 关于 x 的线性回归方程。(2)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2，则认为得到的线性回归方程是可靠的请根据周六和周日数据，判定所得的线性回归方程是否可靠？注：回归方程 中斜率和截距最小二乘估计公式分别为 .=+【答案】 （1） ；（2）可靠.=2+58【解析】（1） ， =5， ， y 关于 x 的线性回归方程为.=
14、2+58（2）当 x=8 时， 满足|74-73|=10.5P(Y 2)，故错误对于，因为 X 的正态分布密度曲线比 Y 的正态分布密度曲线更“瘦高” ，所以 1P(X 1)，故错误对于，在 y 轴右侧作与 x 轴垂直的一系列平行直线，可知在任何情况下，X 的正态分布密度曲线与直线和 x 轴围成的图形面积都大于 Y 的正态分布密度曲线与直线和 x 轴围成的图形面积，即对任意正数t，P(Xt)P(Yt)，故正确对于，由图像可知，在 y 轴的右侧某处，显然满足 P(Xt)P(Yt)，故错误【命题预测看准方向】离散型随机变量分布列的计算 涉及排列、组合和概率的知识,综合性强,是高考考查的重点；两点分
15、布、超几何分布和二项分布等重要的概率模型,应用性强,更是高考命题的重中之重；高考常把随机变量的分布列、均值和方差 结合在一起重点考查考生分析、解决实际问题的能力.复习备考重点是条件概率与相互独立事件的概率；离散型随机变量及其分布列；二项分布与正态分布；离散型随机变量的分布列、均值与方差.【典例分析提升能力】【例 1】 【2017 课标 1，理 19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：cm）根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布2(,)N（1）假 设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的
16、16 个零件中其尺寸在 之外的零件数，求 ()PX及 的数学期望；（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（ ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；（ ）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得 ， ，其中 ix为抽取的第 i个零件的尺寸， 用样本平均数 x作为 的估计值 ，用样本标准差 s作为 的估计值 ，利用估计
17、值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 之外的 .选出两人，记 为选出的两人中指标 x 的值大于1.7 的人数，求 的分布列和数学期望 E（ ）；（）试 判 断 这 100 名 患 者 中 服 药 者 指 标 y 数 据 的 方 差 与 未 服 药 者 指 标 y 数 据 的 方 差 的 大 小 .（ 只 需 写 出 结 论 ）【答案】 （）0.3；（）详见解析；（）在这 100 名患者中，服药者指标 数据的方差大于未服药者指标 y数据的方差.【解析】（）由图知，A,B,C,D 四人中，指标 x的值大于 1.7 的有 2 人：A 和 C.所以 的所有可能取值为 0,1,2.所以 的分布列为
18、0 1 2P162316故 的期望 .（）在这 100 名患者中，服药者指标 y数据的方差大于未服药者指标 y数据的方差.来【例 3】 【2017 天津，理 16】从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为 1,234.（）设 X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量 X的分布列和数学期望；（）若有 2 辆车独立地从甲地到乙地，求这 2 辆车共遇到 1 个红灯的概率.【答案】 (1) 13 (2) 48所以，随机变量 X的分布列为0 1 2 3P142414124随机变量 X的数学期望 .【趁热打铁】 【2018 届江苏省如皋市高三
19、上学期调研（三） 】袋中有大小相同的 3 个红球和 2 个白球,现从袋中每次取出一个球,若取出的是红球，则放回袋中,继续取一个球,若取出的是白球,则不放回,再从袋中取一球,直到取出两个白球或者取球 5 次,则停止取球,设取球次数为 X,(1)求取球 3 次则停止取球的概率;(2)求随机变量 X的分布列.【答案】 （1） 270（2）见解析【解析】（1）记“取球 3 次停止”为事件 A， 则 ； （2）由题意， X可能的取值为 2,3,4,5，；X其分布表如下：2 3 4 5P102705902140【例 4】 【2017 山东 ，理 18】在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对
20、人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有 6 名男志愿者A1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和 4 名女志愿者 B1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取 5 人接受甲种心理暗示，另 5 人接受乙种心理暗示.（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含 A1但不包含 1的频率。（II）用 X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求 X 的分布列与数学期望 EX.【答案】 （I） 5.18(II)X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 42521052112X 的
21、数学期望是 EX.【解析】因此 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 142521052112X 的数学期望是=【趁热打铁】 【2018 届北京市海淀区高三第一学期期末】据中国日报网报道：2017 年 11 月 13 日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机 500 强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席，其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产品牌处理器。为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了 12 次测试，结果如下（数值越小，速度越快，单位是 MIPS）测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试12品牌A3 6
22、 9 10 4 1 12 17 4 6 6 14品牌B2 8 5 4 2 5 8 15 5 12 10 21（）从品牌 A 的 12 次测试中，随机抽取一次，求测试结果小于 7 的概率；（）从 12 次测试中，随机抽取三次，记 X 为品牌 A 的测试结果大于品牌 B 的测试结果的次数，求 X 的分布列和数学期望 E（X） ；（）经过了解，前 6 次测试是打开含有文字和表格的文件，后 6 次测试是打开含有文字和图片的文件.请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价.【答案】 （） 712PA；（）随机变量 X的分布列为：X0 1 2 31929132EX；
23、（）本题为开放问题，答案不唯一. 【解析】（）从品牌 A的 12 次测试中，测试结果打开速度小于 7 的文件有：测试 1、2、5、6、9、10、11，共 7次，设该测试结果打开速度小于 7 为事件 A，因此 P12 （）12 次测试中，品牌 的测试结果大于品牌 B的测试结果的次数有：测试 1、3、4、5、7、8，共 6次，随机变量 X所有可能的取值为：0，1，2，3随机变量 X的分布列为：X0 1 2 3P19291（）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，结合已有数据，能够运用以下 8 个标准中的任何一个陈述得出该结论的
24、理由，标准 1: 会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的平均值与后 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）标准 2: 会用前 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的方差与 后 6 次测试品牌 A、品牌 B 的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含
25、有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件速度的波动）标准 3：会用品牌 A 前 6 次测试结果的平均值、后 6 次测试结果的平均值与品牌 B 前 6 次测试结果的平均值、后 6 次测试结果的平均值进行阐述（品牌 A 前 6 次测试结果的平均值大于品牌 B 前 6 次测试结果的平均值，品牌 A 后 6 次测试结果的平均值小于品牌 B 后 6 次测试结果的平均值，品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌 B，品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌 B）标准 4：会用品牌 A 前 6 次测试结果的方差、后 6 次测试结果的方差与品牌 B 前 6 次测试结果的方差、
26、后6 次测试结果的方差进行阐述（品牌 A 前 6 次测试结果的方差大于品牌 B 前 6 次测试结果的方差，品牌 A后 6 次测试结果的方差小于品牌 B 后 6 次测试结果的方差，品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度波动大于品牌 B，品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌 B）标准 5：会用品牌 A 这 12 次测试结果的平均值与品牌 B 这 12 次测试结果的平均值进行阐述（品牌 A 这 12次测试结果的平均值小于品牌 B 这 12 次测试结果的平均值，品牌 A 打开文件的平均速度快于 B）标准 6：会用品牌 A 这 12 次测试结果的方差与品牌 B 这 12 次测试结果的方
27、差进行阐述（品牌 A 这 12 次测试结果的方差小于品牌 B 这 12 次测试结果的方差，品牌 A 打开文件速度的波动小于 B）标准 7：会用前 6 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次数、后 6 次测试中，品牌A 测试结果大于（小于）品牌 B 测试结果的次数进行阐述（前 6 次测试结果中，品牌 A 小于品牌 B 的有 2次，占 1/3. 后 6 次测试中，品牌 A 小于品牌 B 的有 4 次，占 2/3. 故品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度慢于 B，品牌 A 打开含有文字和图片的文件的速度快于 B）标准 8：会用这 12 次测试中，品牌 A 测试结果大于（小
28、于）品牌 B 测试结果的次数进行阐述（这 12 次测试结果中，品牌 A 小于品牌 B 的有 6 次，占 1/2.故品牌 A 和品牌 B 打开文件的速度相当）参考数据期望 前 6 次 后 6 次 12 次品牌 A 5.50 9.83 7.67品牌 B 4.33 11.83 8.08品牌 A 与品牌 B 4.92 10.83方差 前 6 次 后 6 次 12 次品牌 A 12.30 27.37 23.15 品牌 B 5.07 31.77 32.08 品牌 A 与品牌 B 8.27 27.97 【方法总结全面提升】1.条件概率的两种求解方法: (2)基本事件法,借助古典概型概率公式,先求事件 A 包
29、含的基本事件数 n(A),再求事件 AB 所包含的基本事件数 n(AB),得 P(B|A)= .()()2.判断相互独立事件的三种常用方法:(1)利用定义,事件 A,B 相互独立P(AB)=P(A)P(B).（2）利用性质,A 与 B 相互独立,则 A 与 与 B, 也都相互独立., 与 (3)具体背景下,有放回地摸球,每次摸球的结果是相互独立的.当产品数量很大时,不放回抽样也可近似看作独立重复试验.3. 求离散型随机变量的分布列,首先要根据具体情况确定 X 的取值情况,然后利用排列、组合与概率知识求出 X 取各个值的概率.4. 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程,但需要注意检验该概
30、率模型是否满足公式 P(X=k)= pk(1-p)n-k的三个条件 :(1)在一次试验中某事件 A 发生的概率是一个常数 p;(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验,而且各次试验的结果是相互独立的;(3)该公式表示 n 次试验中事件 A 恰好发生了 k 次的概率.5. 求离散型随机变量的均值与方差的基本方法有:(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接按定义(公式)求解;(2)已知随机变量 X 的均值、方差,求 X 的线性函数 Y=aX+b 的均值、方差,可直接用均值、方差的性质求解,即E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)(a,b 为常数
31、). (2)已知随机变量 X 的均值、方差,求 Y=aX+b 的均值、方差可直接用均值、方差的性质求解.(3)若随机变量服从常用的分布,可直接利用常用分布的均值、方差公式求解.【误区警示】1正确阅读理解，弄清题意：与概率统计有关的应用问题经常以实际生活为背景，且常考常新，而解决问题的关键是理解题意，弄清本质，将问题转化为离散型随机变量分布列求解问题，如本题第(1)问就是利用正态分布求出 P(X1)，进而求出 EX.2注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，要可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上利用小概率问题，说明监控生产过程方法的合理性3注意规范答题：解题时要写准每一小题的解题过程，尤其是解题得分点要准确、规范，需要文字表达的，不要惜墨，但也不能过于啰嗦，恰到位置就好，本题就需要用文字表达，准确说明是解题关键
