1、导数中的不等式证明【考点点睛】放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性，多出现在压轴题的位置。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！ 放缩法的合理运用，往往能起到事半功倍的效果，有时能令人拍案叫绝；但其缺点也是显而易见，如果使用放缩法证题时没有注意放和缩的“度”，容易造成不能同向传递，即放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及，所以要熟练地驾驭它是件不容易的事。命题角度
2、1 构造函数命题角度 2 放缩法命题角度 3 切线法命题角度 4 二元或多元不等式的证明思路命题角度 5 函数凹凸性的应用在求解过程中，力求“脑中有形，心中有数”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.命题角度 4 二元或多元不等式的解证思路【典例 7】（2018 年安庆市二模）已知函数 ，曲线 在点2lnfxabxyfx处的切线方程为 .1,f 2yx（1）求实数 的值；,ab（2）设 分别是函数 的两个零点，求证：21212,0FxfxmRxxFx.10【解析】（1） ；1,ab（2） ， ， ，2lnfxx1lnFmx1Fxmx因为 分别是函数 的两个零点，所以 ， 找到结构对
3、等式12, 12l两式相减，得 ， 含 时两式相减，含 时两式相比12lnxmlnxxe，12121212lnxFxx 要证明 ，只需证 . 运用分析法，将待证式变形1201212lx思路一：因为 ，只需证 .12x 11221212lnln0xx令 ，即证 . 运用换元法，构造函数120,txl0t令 ，则 ，ln1httt22110thtt所以函数 在 上单调递减， ，即证 .t0, 0tlnt由上述分析可知 .12Fx【规律总结】这是极值点偏移问题，此类问题往往利用换元把 转化为 的函数，常把 的关12,xt12,x系变形为齐次式，设 等，构造函数来解决，可称之为构造比较函数121122
4、2,ln,xxttte法.思路二：因为 ，只需证 ，120x1212ln0x设 ，则 变多元为一元，构造函数222ln0Qx， 222 22211 0x xxx 所以函数 在 上单调递减， ，即证 .Qx20,20Q22lnx由上述分析可知 .12F【规律总结】极值点偏移问题中，由于两个变量的地位相同，将待证不等式进行变形，可以构造关于 （或 ）的一元函数来处理应用导数研究其单调性，并借助于单调性，达到待证不等式的证1x2明此乃主元法.思路三：要证明 ，只需证 .120Fx1212lnxx即证 ，由对数平均数易得. 1212lnx【规律总结】极值点偏移问题中，如果等式含有参数，则消参，有指数的
5、则两边取对数，转化为对数式，通过恒等变换转化为对数平均问题，利用对数平均不等式求解，此乃对数平均法.【知识拓展】对于 ，则 ，其中 称之为对数0,ab2lnabab+-lna-平均数.简证如下：不妨设 ，只需证明 即可，即()1x=1xx（下略）.()211lnxx-+【典例 8】（A10 联盟 2018 年高考最后一卷）已知函数 .2,xfegabxR（1）当 时，方程 在区间 上有两个不同的实数根，求 的取值范围；0b0fxg,（2）当 时，设 是函数 两个不同的极值点，a12,Fxfx证明： .12lnx【解析】（1）因为 ，所以 ，即 ，0fxg20xea2xea设 ，则 ， 变量分离
6、，转化为函数性质的研究20xeh3xh所以 在 上单调递减，在 上单调递增，,2,，当 时， ，当 时， ，24ehx0xhxxhx要使方程 在区间 上有两个不同的实数根，则 ，解得 ，fg,24ea24ea故 的取值范围是 ；a2,4e【一题多解】本题也可以变形为 ，转化为过原点的直线 与函数 图象有两个xeayaxxey交点问题，应用数形结合思想求解，直线与曲线相切对应所求范围的界点.（2）由题意， ， ，2xFe2xFea因为 是函数 两个不同的极值点，12,xfg不妨设 ， ，即 ，120,x1 20,0xxeea两式相减得 . 剖析结构特点，灵活变形21ea要证 ，即证明 ， 分析法
7、是证明问题的重要方法12lnx12xea只需证 ，即 ，亦即 .1212xxe1212xx12121 0xxe令 ，只需证当 时，不等式 恒成立， 120t0t20tte设 ，则 灵活换元，构造函数21ttQe，ttttt e 易证 ，所以 ，0te0Qt所以 在 上单调递减， ，即 .Qt,0210tte综上所述， 成立.12lnxa【审题点津】函数的拐点偏移问题的证明思路可以根据类似的结构特征，适当变形为两个变量之差（或比值）的关系，整体换元，构造函数，借助于导数的应用解决问题.【典例 9】（2018 届合肥三模）已知函数 有两个极值点 (e为自然对数21xfeax12x，的底数).（1）
8、求实数 的取值范围；a（2）求证： .12fxf解析：（1）由于 ，则 ，1xfeaxxfea设 ，则 .gx 1g令 ，解得 .10xgex所以当 时， ；当 时， . ，0g,0gx所以 .minxa当 时， ，所以函数 单调递增，1afxf没有极值点；当 时， ，且当 时，min10gax；当 时， .gxx此时， 有两个零点 ，不妨设xfe12，则 ，12120所以函数 有两个极值点时，实数 的取值范围是 ；21xfeaxa1,【答案速得】函数 有两个极值点实质上就是其导数 有两个零点，亦即函数 与直线f fx xye有两个交点，如图所示，显然实数 的取值范围是 .yxaa,（2）由（
9、1）知， 为 的两个实数根， ， 在 上单调递减.12x，0g120g 0，下面先证 ，只需证 . 应用数形结合，挖掘拐点不等关系1021xg由于 ，得 ，2xgea2xe所以 .2x设 ，则 ，0xhe120xhe所以 在 上单调递减，0 ，所以 ， ，所以 .x220xg12x由于函数 在 上也单调递减，所以 .f1 ff要证 ，只需证 ，1222f即证 . 利用单调性放缩，化多元为一元2 0xe设函数 ，则 .2xkex，2xke设 ，则 ，x 0xe所以 在 上单调递增， ，即 .x0， x1 xyOxe1所以 在 上单调递增， .kx0，0kx故当 时， ，则 ，2xe220xe所以 ，亦即 .22ff1ff【规律总结】本题是极值点偏移问题的泛化，是拐点的偏移，依然可以使用极值点偏移问题的有关方法来解决.只不过需要挖掘出拐点偏移中隐含的拐点的不等关系，如本题中的 ，120x如果“脑中有形”，如图所示，并不难得出.xye1 xOa2x
