1、恒成立或有解问题的解决策略恒成立与有解问题的解决策略大致分四类：构造函数，分类讨论；部分分离，化为切线；完全分离，函数最值；换元分离，简化运算；在求解过程中，力求“脑中有形，心中有数”.依托端点效应，缩小范围，借助数形结合，寻找临界.一般地，不等式恒成立、方程或不等式有解问题设计独特，试题形式多样、变化众多，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，有一定的综合性，属于能力题，在提升学生思维的灵活性、创造性等数学素养起到了积极的作用，成为高考的一个热点【考点突破】命题角度 2 可化为恒成立或有解问题【典例 3】（厦门 2018 届高三第一
2、学期期末质检）已知函数 .2ln1afxxx（1）讨论函数 的单调性；fx（2）当 时，记函数 的极小值为 ， ，求满足条件的afga32154ba最小整数 .b【解析】（1） 的定义域为 ，fx0,21afx211axaxa，判断导数的正负，自然需要对 a的取值分类讨论若 0a，当 ,x时， 0fx，故 fx在 0,单调递减，若 ，由 0f，得 1a， 2，（）若 a，当 ,x时， 0fx，当 1,aU时， 0fx，故 fx在 1,a单调递减，在 0,a， 1,单调递增；（）若 ， fx， fx在 ,单调递增；（）若 1a，当 ,a时， 0f，当 1,xaU时， 0fx，故 fx在 ,单调递
3、减，在 1,， ,a单调递增；【审题点津】研究含有参数的超越函数的单调性时，必须探寻出分类讨论的界点，其界点的确定往往是由数学的严谨性所确定的.（2）由（1）得：若 1a， fx在 1,a单调递减，在 10,a， ,单调递增，所以 x时， fx的极小值为 ，3ln2gf由 2154gaba恒成立，即 l4ab恒成立，两个变量进行分离、化简设 2ln14xhx，则 5ln4hx， 令 5l，则 ，1x当 1,x时， 0x，所以 h在 ,单调递减，且 104h，332lnl6n4he，所以 0,2x， 005l4hxx，且 01,x， 0x， 0,2x，所以 200maxln4xh， 零点不可求，
4、设而不求，整体代入因为 05ln4，得 20max1h，其中 01,2x，因为 21yx在 ,上单调递增，所以 max,h，因为 maxbh， bZ，所以 min0.【审题点津】确定函数具有零点但又无法求解或求解相对比较繁杂的情况下，可以再次求导，进行多次求导，判断正负，此时要保持层次清晰，思维缜密.【典例 4】（郑州 2018 高中毕业年级第一次质量预测）已知函数 在()ln(1)fxaxR处的切线与 轴平行.(1,)fx（1）求 的单调区间；()f（2）若存在 ，当 时，恒有 成立，求 的取值范围.01x0(,)x21()()xfkxk【解析】（1）由已知可得 的定义域为 ， ，f,fa所
5、以 ，即 ， 应用导数的几何意义0fa1所以 ， ，()ln()xxfx令 ，得 ，令 ，得 ， 借助于导数的正负加以判断f01所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .()x,1（2）法一：不等式 可化为 ，2()(1)xfkx21ln()xkx直接“左减右”构造函数令 ，则 ，21ln()1xgkx2(1)()1xkgxk令 ，其对称轴为 ，2()()h 2k当 ，即 时， 在 上单调递减，所以 ，1k1()hx01, ()1hxk若 ，则 ， ，所以 在 上单调递减， ，不适合题意；()0xggx0(,) 0g正确理解题意是关键，就是在直线 右侧附近是否为单调递增x若 ，则 ，必定存在
6、 ，使得 时， ，即存在 ，当1k(1)h010(,)()01x时，恒有 成立；0(,)x2()xfkx当 ，即 时，欲使存在 ，当 时，恒有 成12k101x0(,)x21()()xfkx立，只需 ，即 ，此时 ，()0gx()hkk综上， 的取值范围是 .k,1【审题点津】本题不等式恒成立问题直接构造函数 ，用多21ln()1xgkx次求导，应用分类讨论思想探求该函数的增减性，达到求解问题的目标.法二：不等式 可化为 ，21()()xfkx21ln()xkx若存在 ，当 时，恒有 成立，亦即存在 ，当01x0(,)21ln()k01时，函数 的图象在直线 的上方. 0(,)21lnxy()
7、yx部分分离，数形结合，化为图象的位置关系令 ，则 ， ，21lnxu1()ux0,1u令 ，则()v，210x所以 单调递减，xv为凸函数，如图所21lnux示，又 是过定点 的直线系，当直线与曲线相切时， ，(1)ykx,0 01ku所以 的取值范围是 .【审题点津】本题不等式恒成立问题采取适当恒等变形，部分分离，化为过定点的直线与函数 图象的位置关系，进而应用运动的数学思想求解参数的取值范(1)ykx21lnxy围.xyO1法三：不等式 可化为 ，21()()xfkxln12xk若存在 ，当 时，恒有 成立，亦即存在 ，当01x0(,)2ln()01x时， . 完全分离，转化为函数的最值
8、0(,)ln12xk问题令 ，则 ，ln12xM22 21ln1lnxxxM令 ，则 ，lnPx3l0P 部分求导，简化运算所以 在 单调递减， ，即 ，x1,10x所以 在 单调递减，M因为 ，当且仅当 时取等号（证明略），lnxx所以当 时， ， ，1ln11M所以 的取值范围是 .k,【审题点津】本题采取适当恒等变形，完全分离，转化为 恒成立，只需使得ln12xk即可，进而化归为求解函数 的最小值的求解.本题要注意的是，端minl12xk l1yx点效应的处理需借助于不等式 恒成立，说明 .l1xln法四：不等式 可化为 ，2()()fk21l()xkx因为 ，当且仅当 时取等号（证明略），ln1x1x若存在 ，当 时，恒有 成立，亦即存在 ，当00(,)21ln()xkx01x时， ， 重要不等式 是放缩的途径0(1,)x21()xk ln所以 .32xk因为 ，所以 的取值范围是 .1,1【审题点津】本题不等式 恒成立借助于不等式 进行灵活放缩，2ln()xkxln1x转化为 恒成立，这是知识整合能力的较好的体现.21()xk
