1、课时规范练A 组 基础对点练1若直线上有两个点在平面外，则( )A直线上至少有一个点在平面内B直线上有无穷多个点在平面内C直线上所有点都在平面外D直线上至多有一个点在平面内解析：根据题意，两点确定一条直线，那么由于直线上有两个点在平面外，则直线在平面外，只能是直线与平面相交，或者直线与平面平行，那么可知直线上至多有一个点在平面内答案：D2四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面有( )A4 个 B3 个C2 个 D1 个解析：首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面答案：A3已知 m，n 为异面直线， m平面 ，n平面 .直线 l 满足 lm，ln，l ，l ，则(
2、 )A 且 l B 且 lC 与 相交，且交线垂直于 lD 与 相交，且交线平行于 l解析：由于 m，n 为异面直线， m平面 ，n平面 ，则平面 与平面 必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线 m， n，又直线 l 满足 lm，ln，则交线平行于 l，故选 D.答案：D4过正方体 ABCDA1B1C1D1 的顶点 A 作直线 l，使 l 与棱 AB，AD ，AA 1 所成的角都相等，这样的直线 l 可以作( )A1 条 B2 条C3 条 D4 条解析：如图，连接体对角线 AC1，显然 AC1与棱 AB，AD，AA 1所成的角都相等，所成角的正切值都为 .联想正方体的其他体对角线，如连接 BD1
3、，2则 BD1与棱 BC，BA ，BB 1所成的角都相等， BB1AA1， BCAD， 体对角线 BD1与棱AB，AD ，AA 1所成的角都相等，同理，体对角线 A1C，DB 1也与棱 AB，AD，AA 1所成的角都相等，过 A 点分别作 BD1， A1C，DB 1的平行线都满足题意，故这样的直线 l 可以作 4条答案：D5若直线 ab，且直线 a平面 ，则直线 b 与平面 的位置关系是( )Ab BbCb 或 bDb 与 相交或 b 或 b解析：结合正方体模型可知 b 与 相交或 b或 b都有可能答案：D6若 l，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面 ，则“lm”是“l ”的( )A充分而不
4、必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析：由“m 且 lm”推出“l 或 l”，但由“m 且 l”可推出“lm” ，所以“lm”是“l”的必要而不充分条件，故选 B.答案：B7已知 A，B ，C，D 是空间四点，命题甲：A，B，C ，D 四点不共面，命题乙：直线 AC和 BD 不相交，则甲是乙成立的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：若 A，B，C，D 四点不共面，则直线 AC 和 BD 不共面，所以 AC 和 BD 不相交，充分性成立；若直线 AC 和 BD 不相交，若直线 AC 和 BD 平行，则 A，B，C，D 四点共面，
5、必要性不成立，所以甲是乙成立的充分不必要条件答案：A8(2018绵阳诊断)已知 l，m ，n 是三条不同的直线， 是不同的平面，则 的一个充分条件是( )Al ，m ，且 lmBl ，m ，n ，且 lm ，l nCm ，n ，m n，且 lmDl ，lm，且 m解析：依题意知，A、B、C 均不能得出 .对于 D，由 lm，m 得 l，又 l，因此有 .综上所述，选 D.答案：D9下列命题中，错误的是( )A如果平面 平面 ，那么平面 内一定存在直线平行于平面 B如果平面 不垂直于平面 ，那么平面 内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面 平面 ，平面 平面 ，l ，那么 l平面 D如果平面 平
6、面 ，那么平面 内所有直线都垂直于平面 解析：选项 A 显然正确根据面面垂直的判定定理，选项 B 正确对于选项 C，设 m ，n，在平面 内取一点 P 不在 l 上，过点 P 作直线 a，b，使am，bn. ，am，a，al ，同理有 bl .又abP，a ，b ，l .故选项 C 正确对于选项 D，设 l ，则 l，但 l 不垂直于 ，故在 内存在直线不垂直于平面 ，选项 D 错误答案：D10已知 l，m，n 为不同的直线， 为不同的平面，则下列判断正确的是( )A若 m ，n，则 mnB若 m，n ， ，则 mnC若 l，m ，m，则 mlD若 m ，n，l m ，l n，则 l解析：A：
7、m，n 可能的位置关系为平行，相交，异面，故 A 错误；B ：根据面面垂直与线面平行的性质可知 B 错误；C：根据线面平行的性质可知 C 正确；D：若 mn，根据线面垂直的判定可知 D 错误，故选 C.答案：C11已知 ， ， 是三个不同的平面，命题“，且 ”是真命题，如果把， 中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有( )A0 个 B1 个C2 个 D3 个解析：将 ， 分别换成直线 a，b，则命题变为“ab，ab”是真命题；将 ，分别换成直线 a，b，则命题变为“，abb”是假命题；将 ， 分别换成直线a，b，则命题变为“a，bab”是真命题，故真命题有 2 个
8、答案：C12设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 ；若 外的一条直线 l 与 内的一条直线平行，则 l；设l，若 内有一条直线垂直于 l，则 ；直线 l 的充要条件是 l 与 内的两条直线垂直其中所有的真命题的序号是_解析：若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 ，所以正确；若 外的一条直线 l 与 内的一条直线平行，则 l，所以正确；设 l ，若 内有一条直线垂直于 l，则 与 不一定垂直，所以错误；直线 l 的充要条件是 l 与 内的两条相交直线垂直，所以错误所有的真命题的序号是.答案：13如图为正方体表面的一种展开图，则图中
9、的 AB，CD，EF，GH 在原正方体中互为异面直线的有_对解析：平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则 AB，CD，EF 和 GH 在原正方体中，显然 AB 与 CD，EF 与 GH，AB 与 GH 都是异面直线，而 AB 与 EF 相交，CD 与GH 相交，CD 与 EF 平行故互为异面直线的有 3 对答案：3B 组 能力提升练1(2018天津检测)设 l 是直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A若 l，l，则 B若 l，l ，则 C若 ，l ，则 lD若 ，l ，则 l解析：对于 A 选项，设 a，若 la，且 l ，l ，则 l，l ，此时 与 相交，故 A 项错
10、误；对于 B 选项，l，l ，则存在直线 a，使得 la，此时 a，由平面与平面垂直的判定定理得 ，故 B 选项正确；对于 C 选项，若 ，l ，则 l或l，故 C 选项错误；对于 D 选项，若 ，l ，则 l 与 的位置关系不确定，故 D 选项错误故选 B.答案：B2(2018贵阳监测)设 m，n 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，下列命题正确的是( )Am ，n ，且 ，则 mnBm，n ，且 ，则 mnCm，mn，n ，则 Dm ，n ，m，n，则 解析：A：m 与 n 的位置关系为平行，异面或相交，A 错误；B：根据面面垂直的性质可知正确；C：由题中的条件无法推出 ，C 错误；D：
11、只有当 m 与 n 相交时，结论才成立， D 错误故选 B.答案：B3设 l，m，n 为三条不同的直线， 为一个平面，下列命题中正确的个数是( )若 l，则 l 与 相交；若 m，n ，lm，ln，则 l；若 lm，mn，l，则 n；若 lm，m，n，则 ln.A1 B2C3 D4解析：由于直线与平面垂直是相交的特殊情况，故正确；由于不能确定直线 m，n 相交，不符合线面垂直的判定定理，故不正确；根据平行线的传递性，ln，故 l 时，一定有 n，故正确；由垂直于同一平面的两条直线平行得 mn，再根据平行线的传递性，可得 ln，故 正确答案：C4(2018宁波模拟)下列命题中，正确的是 ( )A
12、若 a，b 是两条直线， 是两个平面，且 a，b ，则 a，b 是异面直线B若 a，b 是两条直线，且 ab，则直线 a 平行于经过直线 b 的所有平面C若直线 a 与平面 不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行D若直线 a平面 ，点 P，则平面 内经过点 P 且与直线 a 平行的直线有且只有一条解析：对于 A，当 ，a， b 分别为第三个平面 与 ， 的交线时，由面面平行的性质可知 ab，故 A 错误对于 B，设 a，b 确定的平面为 ，显然 a，故 B 错误对于 C，当 a时，直线 a 与平面 内的无数条直线都平行，故 C 错误易知 D 正确故选 D.答案：D5已知 m，n 是两条不同
13、直线， ， 是两个不同平面，则下列命题正确的是( )A若 ， 垂直于同一平面，则 与 平行B若 m，n 平行于同一平面，则 m 与 n 平行C若 ， 不平行，则在 内不存在与 平行的直线D若 m，n 不平行，则 m 与 n 不可能垂直于同一平面解析：A 中，垂直于同一个平面的两个平面可能相交也可能平行，故 A 错误；B 中，平行于同一个平面的两条直线可能平行、相交或异面，故 B 错误；C 中，若两个平面相交，则一个平面内与交线平行的直线一定和另一个平面平行，故 C 错误；D 中，若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行，所以若两条直线不平行，则它们不可能垂直于同一个平面，故 D 正确答案：
14、D6已知两条不重合的直线 m，n 和两个不重合的平面 ，有下列命题：若 mn，m，则 n；若 m，n，mn，则 ；若 m，n 是两条异面直线， m，n ，m，n，则 ；若 ， m，n ，nm ，则 n .其中正确命题的个数是( )A1 B2C3 D4解析：若 mn，m，则 n或 n，故错误；因为 m ，m n，所以 n ，又 n，则 ，故正确；过直线 m 作平面 交平面 于直线 c，因为 m，n 是两条异面直线，所以设 ncO .因为 m，m ， c，所以 mc.因为 m，c ，所以c.因为 n，c ，ncO ，c，n，所以 ，故正确；由面面垂直的性质定理可知正确答案：C7.如图所示，在正方体
15、 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 是棱 CC1 上的一个动点，平面 BED1 交棱AA1 于点 F.则下列命题中真命题有( )存在点 E，使得 A1C1平面 BED1F；存在点 E，使得 B1D平面 BED1F；对于任意的点 E，平面 A1C1D平面 BED1F；对于任意的点 E，四棱锥 B1BED1F 的体积均不变A0 个 B1 个C2 个 D3 个解析：当点 E 为棱 CC1中点时， A1C1EF，可得 A1C1平面 BED1F；因为 B1D 与 BD1不垂直，因此 B1D平面 BED1F 不成立；因为正方体的体对角线 BD1与平面 A1C1D 垂直，因此平面 A1C1D平面 BED
16、1F；四棱锥 B1BED1F 的体积等于2VB1BED12VD 1BEB12 D1C1 BB1BC 为定值，故选 D.13 12答案：D8直三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCA 90 ，M ，N 分别是 A1B1，A 1C1 的中点，BCCACC 1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )A. B.110 25C. D.3010 22解析：如图，取 BC 的中点 D，连接 MN， ND，AD ，由于 MN 綊 B1C1綊 BD，因此有 ND 綊12BM，则 ND 与 NA 所成角即为异面直线 BM 与 AN 所成的角设 BC2，则BMND ，AN ，AD ，因此 cosAND .6 5
17、5ND2 NA2 AD22NDNA 3010答案：C9已知正四面体 ABCD 中，E 是 AB 的中点，则异面直线 CE 与 BD 所成角的余弦值为( )A. B.16 36C. D.13 33解析：设正四面体 ABCD 的棱长为 2.如图，取 AD 的中点 F，连接 EF，CF.在ABD 中，由 AEEB ，AF FD，得 EFBD，且 EF BD1.12故 CEF 为直线 CE 与 BD 所成的角或其补角在ABC 中，CE AB ；32 3在ADC 中，CF AD .32 3在CEF 中，cosCEFCE2 EF2 CF22CEEF . 32 12 32231 36所以直线 CE 与 BD
18、 所成角的余弦值为 .36答案：B10已知两个不同的平面 ， 和两条不重合的直线 m，n，则下列四个命题中不正确的是( )A若 mn，m，则 n B若 m，m，则 C若 m，mn，n ，则 D若 m ， n，则 mn解析：由线面平行、垂直之间的转化知 A、B 正确；对于 C，因为 m ，m n，所以n，又 n，所以 ，即 C 正确；对于 D，m ，n，则 mn，或 m 与 n 是异面直线，故 D 不正确答案：D11在长方体 ABCDA1B1C1D1 中，过点 A，C，B 1 的平面与底面 A1B1C1D1 的交线为 l，则l 与 AC 的位置关系是_解析：平面 ABCD平面 A1B1C1D1，
19、平面 ABCD平面 ACB1AC，平面 A1B1C1D1平面ACB1l，由面面平行的性质定理得 ACl.答案：平行12如图所示，四棱锥 PABCD 中，ABC BAD 90，BC2AD，PAB 和PAD都是等边三角形，则异面直线 CD 与 PB 所成角的大小为_解析：如图所示，延长 DA 至 E，使 AEDA，连接 PE，BE.ABCBAD90，BC2AD，DEBC ，DE BC.四边形 CBED 为平行四边形，CDBE.PBE 就是异面直线 CD 与 PB 所成的角在PAE 中，AEPA ，PAE120，由余弦定理，得PE PA2 AE2 2PAAEcosPAE AE2 AE2 2AEAE( 12) AE.3在ABE 中，AEAB ，BAE90，BE AE.2PAB 是等边三角形，PBABAE，PB2BE 2AE 22AE 23AE 2PE 2，PBE90.答案：9013(2018济南模拟)在正四棱锥 VABCD 中，底面正方形 ABCD 的边长为 1，侧棱长为2，则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为_解析：如图，设 ACBDO ，连接 VO，因为四棱锥 VABCD 是正四棱锥，所以 VO平面 ABCD，故 BDVO .又四边形 ABCD 是正方形，所以 BDAC，所以 BD平面 VAC，所以 BDVA，即异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为 .2答案：2
