1、第 3 讲 机械能守恒定律及应用一、重力做功与重力势能的关系1.重力做功的特点(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关.(2)重力做功不引起物体机械能的变化.2.重力势能(1)表达式：E pmgh.(2)重力势能的特点重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面的选取无关.3.重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能 增大；(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量.即 WG( Ep2E p1) Ep.自测 1 关于重力势能，下列说法中正确的是( )A.物体的位
2、置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定B.物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大C.一个物体的重力势能从5J 变化到3J，重力势能减少了D.重力势能的减少量等于重力对物体做的功答案 D二、弹性势能1.定义：发生弹性形变的物体之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能.2.弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加.即 WE p.自测 2 (多选)关于弹性势能，下列说法中正确的是( )A.任何发生弹性形变的物体，都具有弹性势能B.任何具有弹性势能的物体，一定发生了弹性形变C.物体只要发生形变，就一定具有弹性势能D.弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度
3、有关答案 AB三、机械能守恒定律1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变.2.表达式：mgh 1 mv12mgh 2 mv22.12 123.机械能守恒的条件(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力.(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功.(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零.(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化.自测 3 (多选)如图 1 所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是 ( )图 1A.甲图中，
4、物体 A 将弹簧压缩的过程中，物体 A 机械能守恒B.乙图中，物体 A 固定，物体 B 沿斜面匀速下滑，物体 B 的机械能守恒C.丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时，A 加速下落，B 加速上升过程中，A、B 组成的系统机械能守恒D.丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒答案 CD自测 4 教材 P78 第 3 题改编( 多选)如图 2 所示，在地面上以速度 v0抛出质量为 m 的物体，抛出后物体落到比地面低 h 的海平面上.若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法中正确的是( )图 2A.重力对物体做的功为 mghB.物体在海平面上的势能为 mghC.物体在海平面上的
5、动能为 mv02mgh12D.物体在海平面上的机械能为 mv0212答案 AD命题点一 机械能守恒的判断1.只有重力做功时，只发生动能和重力势能的相互转化.如自由落体运动、抛体运动等.2.只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化.如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒.3.只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化.如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒.4.除受重力(或系统内弹力)外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零
6、.如物体在沿斜面向下的拉力 F 的作用下沿斜面向下运动，其拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，其机械能守恒.例 1 关于机械能守恒定律的适用条件，下列说法中正确的是( )A.只有重力和弹力作用时，机械能才守恒B.当有其他外力作用时，只要合外力为零，机械能守恒C.当有其他外力作用时，只要其他外力不做功，机械能守恒D.炮弹在空中飞行不计阻力时，仅受重力作用，所以爆炸前后机械能守恒答案 C解析 机械能守恒的条件是“只有重力或系统内弹力做功”而不是“只有重力和弹力作用” ，“做功”和“作用”是两个不同的概念，A 项错误.物体受其他外力作用且合外力为零时，机械能可以不守恒，如拉一物体匀速上升，
7、合外力为零，物体的动能不变，重力势能增加，故机械能增加，B 项错误.在炮弹爆炸过程中产生的内能转化为机械能，机械能不守恒，故D 项错误.变式 1 下列关于机械能守恒的说法中正确的是( )A.做匀速运动的物体，其机械能一定守恒B.物体只受重力，机械能才守恒C.做匀速圆周运动的物体，其机械能一定守恒D.除重力做功外，其他力不做功，物体的机械能一定守恒答案 D命题点二 单物体的机械能守恒问题1.表达式2.一般步骤3.选用技巧(1)在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面.(2)在处理连接体问题时，通常应用转化观点和转移观点，都不用选取零势能面.例 2 (20
8、16全国卷24) 如图 3 所示，在竖直平面内有由 圆弧 AB 和 圆弧 BC 组成的光14 12滑固定轨道，两者在最低点 B 平滑连接.AB 弧的半径为 R，BC 弧的半径为 .一小球在 A 点R2正上方与 A 相距 处由静止开始自由下落，经 A 点沿圆弧轨道运动.R4图 3(1)求小球在 B、A 两点的动能之比；(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到 C 点.答案 (1)51 (2) 能，理由见解析解析 (1)设小球的质量为 m，小球在 A 点的动能为 EkA，由机械能守恒得EkA mg R4设小球在 B 点的动能为 EkB，同理有EkB mg 5R4由式得 5 EkBEkA(2)若小球能
9、沿轨道运动到 C 点，小球在 C 点所受轨道的正压力 FN应满足FN0 设小球在 C 点的速度大小为 vC，由牛顿第二定律和向心加速度公式有FNmg m vC2R2由式得 mgm 2vC2RvC Rg2对全程应用机械能守恒定律得 mg mvC 2 R4 12由式可知，v Cv C，即小球恰好可以沿轨道运动到 C 点.变式 2 如图 4 甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道 AB 和圆轨道 BCD 组成，AB 和 BCD 相切于 B 点，CD 连线是圆轨道竖直方向的直径(C、D 为圆轨道的最低点和最高点)，已知BOC30.可视为质点的小滑块从轨道 AB 上高 H 处的某点由静止滑下，用力传感
10、器测出小滑块经过圆轨道最高点 D 时对轨道的压力为 F，并得到如图乙所示的压力F 与高度 H 的关系图象，取 g10m/s 2.求：图 4(1)滑块的质量和圆轨道的半径；(2)是否存在某个 H 值，使得小滑块经过最高点 D 后能直接落到直轨道 AB 上与圆心等高的点？若存在，请求出 H 值；若不存在，请说明理由 .答案 (1)0.1kg 0.2m (2)存在 0.6m解析 (1)设小滑块的质量为 m，圆轨道的半径为 R根据机械能守恒定律得mg(H 2R) mvD2，Fmg12 mv2DR得：F mg2mgH 2RR取点(0.50m,0)和(1.00m,5.0N)代入上式得：m0.1kg，R0.
11、2m(2)假设小滑块经过最高点 D 后能直接落到直轨道 AB 上与圆心等高的 E 点(如图所示)由几何关系可得 OERsin30设小滑块经过最高点 D 时的速度为 vD由题意可知，小滑块从 D 运动到 E，水平方向的位移为 OE，竖直方向上的位移为 R，则 OEv Dt ，R gt212解得 vD2m/s而小滑块过 D 点的临界速度 vD0 m/sgR 2由于 vDv D0，所以存在一个 H 值，使得小滑块经过最高点 D 后能直接落到直轨道 AB上与圆心等高的点mg(H 2R) mvD 212解得 H0.6m.命题点三 连接体的机械能守恒问题1.对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系
12、统的机械能是否守恒.2.注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.3.列机械能守恒方程时，一般选用 EkE p或 EAE B的形式.例 3 如图 5 所示，左侧竖直墙面上固定半径为 R0.3m 的光滑半圆环，右侧竖直墙面上与圆环的圆心 O 等高处固定一光滑直杆 .质量为 ma100g 的小球 a 套在半圆环上，质量为mb36g 的滑块 b 套在直杆上，二者之间用长为 l0.4m 的轻杆通过两铰链连接.现将 a 从圆环的最高处由静止释放，使 a 沿圆环自由下滑，不计一切摩擦，a、b 均视为质点，重力加速度 g10m/s 2.求：图 5(1)小球 a 滑到与圆心 O 等高的 P 点时的向
13、心力大小；(2)小球 a 从 P 点下滑至杆与圆环相切的 Q 点的过程中，杆对滑块 b 做的功.答案 (1)2N (2)0.1944J解析 (1)当 a 滑到与 O 同高度的 P 点时，a 的速度 v 沿圆环切向向下，b 的速度为零，由机械能守恒可得：m agR mav212解得 v 2gR对小球 a 受力分析，由牛顿第二定律可得：F 2m ag2Nmav2R(2)杆与圆环相切时，如图所示，此时 a 的速度沿杆方向，设此时 b 的速度为 vb，则知 vav bcos由几何关系可得：cos 0.8ll2 R2球 a 下降的高度 hRcosa、b 及杆组成的系统机械能守恒：m agh mava2
14、mbvb2 mav212 12 12对滑块 b，由动能定理得：W mbvb20.1944J12变式 3 (多选)(2015新课标全国21)如图 6 所示，滑块 a、b 的质量均为 m，a 套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距 h，b 放在地面上.a、b 通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动.不计摩擦，a、b 可视为质点，重力加速度大小为 g.则( )图 6A.a 落地前，轻杆对 b 一直做正功B.a 落地时速度大小为 2ghC.a 下落过程中，其加速度大小始终不大于 gD.a 落地前，当 a 的机械能最小时， b 对地面的压力大小为 mg答案 BD解析 滑块 b 的初速度为零，末速度也为零，
15、所以轻杆对 b 先做正功，后做负功，选项 A错误；以滑块 a、b 及轻杆组成的系统为研究对象，系统的机械能守恒，当 a 刚落地时，b的速度为零，则 mgh mva20，即 va ，选项 B 正确； a、b 的先后受力分析如图甲、12 2gh乙所示.由 a 的受力情况可知，a 下落过程中，其加速度大小先小于 g 后大于 g，选项 C 错误；当a 落地前 b 的加速度为零(即轻杆对 b 的作用力为零) 时， b 的机械能最大，a 的机械能最小，这时 b 受重力、支持力，且 FNbmg，由牛顿第三定律可知，b 对地面的压力大小为 mg，选项 D 正确.变式 4 半径为 R 的光滑圆环竖直放置，环上套
16、有两个质量分别为 m 和 m 的小球 A 和3B.A、B 之间用一长为 R 的轻杆相连，如图 7 所示.开始时， A、B 都静止，且 A 在圆环的2最高点，现将 A、B 释放，试求：(重力加速度为 g)图 7(1)B 球到达最低点时的速度大小；(2)B 球到达最低点的过程中，杆对 A 球做的功；(3)B 球在圆环右侧区域内能达到的最高点位置.答案 (1) (2)0 (3)高于 O 点 R 处2gR32解析 (1)释放后 B 到达最低点的过程中 A、B 和杆组成的系统机械能守恒，m AgRm BgRmAvA2 mBvB2，又 OA 与 OB 相互垂直，AB 杆长 l R，故 OA、OB 与杆间夹
17、角均为12 12 245，可得 vAv B，解得 vB .2gR(2)对小球 A 应用动能定理可得W 杆 A mAgR mAvA212又 vAv B解得杆对 A 球做功 W 杆 A0.(3)设 B 球到达右侧最高点时，OB 与竖直方向之间的夹角为 ，取圆环的圆心 O 所在水平面为零势能面，由系统机械能守恒可得mAgR mBgRcosm AgRsin代入数据可得 30.所以 B 球在圆环右侧区域内达到最高点时，高于圆心 O 的高度 hBRcos R.32命题点四 含弹簧类机械能守恒问题1.由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械
18、能守恒.2.在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短) 时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大.3.如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放 ).例 4 (2016全国卷25) 轻质弹簧原长为 2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为 5m 的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为 l.现将该弹簧水平放置，一端固定在 A 点，另一端与物块 P 接触但不连接.AB 是长度为 5l 的水平轨道，B 端与半径为 l 的光滑半圆轨道 BCD 相切，半圆的直径 BD 竖直，如图
19、 8 所示.物块 P 与 AB 间的动摩擦因数 0.5. 用外力推动物块 P，将弹簧压缩至长度 l，然后放开，P 开始沿轨道运动，重力加速度大小为 g.图 8(1)若 P 的质量为 m，求 P 到达 B 点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到 AB 上的位置与 B 点之间的距离；(2)若 P 能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求 P 的质量的取值范围 .答案 (1) 2 l (2) mMMg4l 要使 P 仍能沿圆轨道滑回，P 在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点 C.由机械能守恒定律有 MvB 2Mgl 12Ep MvB 2Mg 4l 12联立式得 mM0，解得 H2R，故选 B.5.
20、(2018江西景德镇模拟)如图 4 所示，将一质量为 m 的小球从 A 点以初速度 v 斜向上抛出，小球先后经过 B、C 两点.已知 B、C 之间的竖直高度和 C、A 之间的竖直高度都为 h，重力加速度为 g，取 A 点所在的平面为参考平面，不考虑空气阻力，则( )图 4A.小球在 B 点的机械能是 C 点机械能的两倍B.小球在 B 点的动能是 C 点动能的两倍C.小球在 B 点的动能为 mv22mgh12D.小球在 C 点的动能为 mv2mgh12答案 D6.如图 5 所示，在下列不同情形中将光滑小球以相同速率 v 射出，忽略空气阻力，结果只有一种情形小球不能到达天花板，则该情形是( )图
21、5A.甲 B.乙 C.丙 D.丁答案 B7.如图 6 所示，在倾角 30的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为 1kg 和 2kg 的可视为质点的小球 A 和 B，两球之间用一根长 L0.2m 的轻杆相连，小球 B 距水平面的高度h0.1m.两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g 取10m/s2.则下列说法中正确的是( )图 6A.整个下滑过程中 A 球机械能守恒B.整个下滑过程中 B 球机械能守恒C.整个下滑过程中 A 球机械能的增加量为 J23D.整个下滑过程中 B 球机械能的增加量为 J23答案 D解析 在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，
22、但在 B 球沿水平面滑行，而 A 球沿斜面滑行时，杆的弹力对 A、B 球做功，所以 A、B 球各自机械能不守恒，故 A、B 错误；根据系统机械能守恒得：m Ag(hLsin)m Bgh (mAm B)v2，解得：12v m/s，系统下滑的整个过程中 B 球机械能的增加量为 mBv2m Bgh J，故 D 正确；236 12 23A 球的机械能减少量为 J，C 错误.238.(多选)(2017河北衡水中学二调)如图 7 所示，将质量为 2m 的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为 m 的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为 d，杆上的 A 点与定滑轮等高，杆上的
23、 B 点在 A 点下方距离为 d 处.现将环从 A 处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是( )图 7A.环到达 B 处时，重物上升的高度 hd2B.环到达 B 处时，环与重物的速度大小相等C.环从 A 到 B，环减少的机械能等于重物增加的机械能D.环能下降的最大高度为 d43答案 CD解析 根据几何关系，环从 A 下滑至 B 点时，重物上升的高度 h dd，故 A 错误；将2环在 B 点的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向分解，沿绳子方向上的分速度等于重物的速度，有：v 环 cos45v 重物 ，故 B 错误；环下滑过程中无摩擦力对系统做功，系统机械能守恒，即环减小的机械能等于重物增加
24、的机械能，故 C 正确；环下滑到最大高度为 H 时环和重物的速度均为 0，此时重物上升的最大高度为 d，根据机械能守恒有H2 d2mgH2mg( d)，解得：H d，故 D 正确.H2 d2439.(2015天津理综5) 如图 8 所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为 m 的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态.现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为 L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为 2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )图 8A.圆环的机械能守恒B.弹簧弹性势能变化了 mgL3C.圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D.圆
25、环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变答案 B解析 圆环在下落过程中弹簧的弹性势能增加，由能量守恒定律可知圆环的机械能减少，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒，故 A、D 错误；圆环下滑到最大距离时速度为零，但是加速度不为零，即合外力不为零，故 C 错误；圆环重力势能减少了 mgL，由机械能3守恒定律知弹簧弹性势能增加了 mgL，故 B 正确.310.如图 9 所示，半径为 R 的光滑半圆轨道 ABC 与倾角 37 的粗糙斜面轨道 DC 相切于C，圆轨道的直径 AC 与斜面垂直.质量为 m 的小球从 A 点左上方距 A 点高为 h 的 P 点以某一速度水平抛出，刚好与半圆轨道的 A 点相切进入半圆
26、轨道内侧，之后经半圆轨道沿斜面刚好滑到与抛出点等高的 D 处.已知当地的重力加速度为 g，取 R h，sin375090.6，cos370.8，不计空气阻力.求：图 9(1)小球被抛出时的速度 v0；(2)小球到达半圆轨道最低点 B 时，对轨道的压力大小；(3)小球从 C 到 D 过程中克服摩擦力做的功 W.答案 (1) (2)5.6mg (3) mgh432gh 169解析 (1)小球到达 A 点时，速度与水平方向的夹角为 ，如图所示.设竖直方向的速度为vy，则有 vy 2gh由几何关系得 v0vytan得 v0 .432gh(2)A、B 间竖直高度 HR(1cos)设小球到达 B 点时的速
27、度为 v，则从抛出点到 B 过程中由机械能守恒定律有mv02mg( Hh) mv212 12在 B 点，由牛顿第二定律有 FNmgmv2R解得 FN5.6mg由牛顿第三定律知，小球在 B 点对轨道的压力大小是 5.6mg.(3)小球沿斜面上滑过程中克服摩擦力做的功等于小球做平抛运动的初动能，有W mv02 mgh.12 16911.如图 10 所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧静止放于光滑斜面上，其一端固定，另一端恰好与水平线 AB 平齐；长为 L 的轻质细绳一端固定在 O 点，另一端系一质量为 m 的小球，将细绳拉至水平，此时小球在位置 C.现由静止释放小球，小球到达最低点 D 时，细绳刚好
28、被拉断，D 点与 AB 相距 h；之后小球在运动过程中恰好与弹簧接触并沿斜面方向压缩弹簧，弹簧的最大压缩量为 x.不计空气阻力，试求：图 10(1)细绳所能承受的最大拉力 F；(2)斜面倾角 的正切值；(3)弹簧所获得的最大弹性势能 Ep.答案 (1)3mg (2) (3)mg (x hL )hL hh L解析 (1)小球由 C 运动到 D 的过程中机械能守恒，mgL mv1212解得：v 1 2gL在 D 点由牛顿第二定律得： Fmg mv21L解得：F3mg由牛顿第三定律知，细绳所能承受的最大拉力为 3mg(2)小球由 D 运动到 A 的过程做平抛运动，则： vy22gh解得：v y ，tan 2ghvyv1 hL(3)小球到达 A 点时，有：v A2v y2v 122g( hL)小球在压缩弹簧的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，则：E pmgxsin mvA212解得：E pmg(x hL).hh L
