1、坐标法的妙用与内切球【典例 13】某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为（ ）A 1 B 2 C 13 D 4解析：如图，在长、宽、高分别为 的长方体中，2,为所在棱的中点，由三视图知识可知，几何体即为三,D棱锥 ，以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如ABC图所示，则 ， ，0,1,01,0,CD设球心为 ，Mxyz，于是有ABDR，222 222221zxyzxy解得 ，所以 ，123xyz13,2M所以外接球的半径为 ,表面积为 .22131A241R点评：用坐标法求解，要善于借助于长方体.将几何体纳入长方体后，各个顶点的坐标容易求出，设出球心坐标，利用球心到球面上各顶点的距离
2、都等于半径，求解球心坐标，进而求解问题.类型二 多面体的内切球【典例 14】四棱锥 的底面 是边长为 6 的正方形，且PABCDPAB，若一个半径为 1 的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是（ ）BACDzxyA6 B5 C. 92 D 94【解析】由于四棱锥 的底面 是正方形，且 PABCPD，PABC所以四棱锥 是正四棱锥，设四棱锥的内切球球心为 ，与底面切于点 ，OH与侧面切于点 ，则点 是底面的中心，点 在GHG侧面 的中线 上， ，易知PBCM1，1tan3O所以 ，3ttan24P又 ，所以 .ahPH9【试题点评】球与多面体间的“切”的问题，关键突破口是作出过它们的“切”
3、的切点且与轴截面重合的一个截面，将空间问题转化为平面问题解决，在计算过程中要抓住球半径这个主要元素，再利用平面几何、三角函数知识求解.【典例 15】在九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马.若四棱锥 MABCD为阳马，侧棱 MA底面 BCD，且2ABC，则该阳马的外接球与内切球表面积之和为 【解析】因为侧棱 底面 ，且底面为长方形，所以内切球 在侧面 内的正视1O图为 的内切圆 ，设 的半径为 ，根ADYer据圆的切线长定理得，所以内切球 的2Mr1半径为 ；设该阳马的外接球半径为 ，易知该阳马补形所得的正方体的对角线为其外接球的直R径，所以 ，2213RABDM所
4、以该阳马的外接球与内切球表面积之和为 . 243612Rr【试题点评】由于“球”是“圆”在空间概念上的延伸，所以研究球的性质时，应注意与圆的性质类比球的轴截面是大圆，它几乎含有球的全部元素，所以有关球的计算，ABCDXYZ1OABCDHOGM往可以作出球的一个大圆，化“球”为“圆”来解决问题，把空间问题转化为平面问题. 【典例 16】（2018 届湖南常德二模）在九章算术中，将四个面都是直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥 为鳖臑，侧棱 底面 ，PABCPABC，且 ，则该鳖臑的2,3,4内切球的半径为 【解析】由鳖臑的性质可知， ，13,5,29PCABP所以 ，4,6,3,213,CABCPABPCPCAVSSSS VVVV故 .2713614r【试题点评】求解三棱锥的内切球的半径也可以应用等体积法：先求出四个表面的面积和整个三棱锥的体积，再设出内切球的半径 ，建立等式r，利用棱锥的体OPABCOPABCPAVVV积公式可得 .3PABPABCrSSVVAPB
