1、第 1 讲 曲线运动 运动的合成与分解一、曲线运动1.速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向.2.运动的性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动.3.运动的条件：物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一条直线上或它的加速度方向与速度方向不在同一条直线上.4.合外力方向与轨迹的关系物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧.自测 1 (多选)一质点做曲线运动，它的速度方向和加速度方向的关系是 ( )A.质点速度方向时刻在改变B.质点加速度方向时刻在改变C.质点速度方向一定与加速度方
2、向相同D.质点速度方向一定沿曲线的切线方向答案 AD自测 2 已知物体运动的初速度 v0 的方向及恒力 F 的方向如下列各图所示，则图中运动轨迹可能正确的是( )答案 B自测 3 (多选)关于做曲线运动的物体，下列说法中正确的是 ( )A.它所受的合外力一定不为零B.它所受的合外力一定是变力C.其速度可以保持不变D.其速度的大小可以保持不变答案 AD二、运动的合成与分解1.遵循的法则位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则.2.合运动与分运动的关系(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止 .(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各
3、分运动独立进行 ，不受其他运动的影响.(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果.3.运动性质的判断Error!4.两个直线运动的合运动性质的判断标准：看合初速度方向与合加速度方向是否共线.两个互成角度的分运动 合运动的性质两个匀速直线运动 匀速直线运动一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动如果 v 合 与 a 合 共线，为匀变速直线运动两个初速度不为零的匀变速直线运动如果 v 合 与 a 合 不共线，为匀变速曲线运动自测 4 教材 P7 第 2 题改编( 多选)跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图 1
4、 所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )图 1A.风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作B.风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害C.运动员下落时间与风力无关D.运动员着地速度与风力无关答案 BC命题点一 曲线运动的条件和特征1.条件物体受到的合外力方向与速度方向始终不共线.2.特征(1)运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动.(2)动力学特征：由于做曲线运动的物体所受合外力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上(做曲线运动的条件 ).合外力在垂直于速度方向上的分力
5、改变物体速度的方向，合外力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小.(3)轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合外力的方向与速度的方向之间，而且向合外力的一侧弯曲.(4)能量特征：如果物体所受的合外力始终和物体的速度垂直，则合外力对物体不做功，物体的动能不变；若合外力不与物体的速度方向垂直，则合外力对物体做功，物体的动能发生变化.例 1 下列说法正确的是( )A.做曲线运动的物体的速度一定变化B.速度变化的运动一定是曲线运动C.加速度恒定的运动不可能是曲线运动D.加速度变化的运动一定是曲线运动答案 A解析 做曲线运动的物体，速度方向一定改变，选项 A 正确；速度大小改变而方向不变的运动是直线运动，选
6、项 B 错误；平抛运动是加速度恒定的曲线运动，选项 C 错误；加速度大小改变，但加速度方向与速度方向始终相同，这种运动是直线运动，选项 D 错误.例 2 一个物体在光滑水平面上沿曲线 MN 运动，如图 2 所示，其中 A 点是曲线上的一点，虚线 1、2 分别是过 A 点的切线和法线，已知该过程中物体所受的合外力是恒力，则当物体运动到 A 点时，合外力的方向可能是( )图 2A.沿 F1 或 F5 的方向B.沿 F2 或 F4 的方向C.沿 F2 的方向D.不在 MN 曲线所确定的水平面内答案 C变式 1 如图所示， “嫦娥号”探月卫星在由地球飞向月球时，沿曲线从 M 点向 N 点飞行的过程中，
7、速度逐渐减小，在此过程中探月卫星所受合力方向可能是下列图中的( )答案 C命题点二 运动的合成与分解1.分析运动的合成与分解问题时，一般情况下按运动效果进行分解.2.要注意分析物体在两个方向上的受力及运动规律，分别在两个方向上列式求解.3.两个方向上的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点.例 3 (2015新课标全国16)由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道.当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行.已知同步卫星的环绕速度约为 3.1103m/s，某次发射 卫 星 飞 经 赤 道 上 空 时
8、的 速 度 为 1.55103 m/s， 此 时 卫 星 的 高 度 与 同 步 轨 道 的 高 度 相 同 ，转 移 轨 道 和 同 步 轨 道 的 夹 角 为 30， 如 图 3 所 示 ， 发 动 机 给 卫 星 的 附 加 速 度 的 方 向 和 大 小 约 为 ( )图 3A.西偏北方向，1.910 3m/sB.东偏南方向，1.910 3m/sC.西偏北方向，2.710 3m/sD.东偏南方向，2.710 3m/s答案 B解析 附加速度 v 与卫星飞经赤道上空时的速度 v2 及同步卫星的环绕速度 v1 的矢量关系如图所示.由余弦定理可知，v 1.910 3m/s，方向为东偏南方向，v
9、21 v2 2v1v2cos30故 B 正确，A、C、D 错误.变式 2 (2015广东理综14)如图 4 所示，帆板在海面上以速度 v 朝正西方向运动，帆船以速度 v 朝正北方向航行，以帆板为参照物( )图 4A.帆船朝正东方向航行，速度大小为 vB.帆船朝正西方向航行，速度大小为 vC.帆船朝南偏东 45方向航行，速度大小为 v2D.帆船朝北偏东 45方向航行，速度大小为 v2答案 D解析 以帆板为参照物，帆船具有正东方向的速度 v 和正北方向的速度 v，所以帆船相对帆板的速度 v 相对 v，方向为北偏东 45，D 正确.2变式 3 (多选)如图 5 甲所示，在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上
10、运动，其 vt 图象如图乙所示，同时人顶着杆沿水平地面运动的 xt 图象如图丙所示.若以地面为参考系，下列说法正确的是( )图 5A.猴子的运动轨迹为直线B.猴子在 2s 内做匀变速曲线运动C.t0 时猴子的速度大小为 8m/sD.猴子在 2s 内的加速度大小为 4m/s2答案 BD解析 猴子在竖直方向做初速度为 8m/s、加速度为 4 m/s2 的匀减速运动，水平方向做速度大小为 4m/s 的匀速运动，其合运动为曲线运动，故猴子在 2s 内做匀变速曲线运动，选项A 错误，B 正确；t0 时猴子的速度大小为 v0 m/s4 m/s，选项v0x2 v0y2 42 82 5C 错误；猴子在 2 s
11、 内的加速度大小为 4 m/s2，选项 D 正确 .命题点三 小船渡河模型1.船的实际运动：是水流的运动和船相对静水的运动的合运动.2.三种速度：船在静水中的速度 v 船 、水的流速 v 水 、船的实际速度 v.3.两类问题、三种情景渡河时间最短当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间 tmindv船如果 v 船 v 水 ，当船头方向与上游河岸夹角 满足 v 船 cosv 水 时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽 d渡河位移最短如果 v 船 v 水 ，当船头方向(即 v 船 方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于dv水v船4.分析思路例 4 小船在 200m 宽的河中横渡，水流
12、速度为 2m/s，船在静水中的航速是 4 m/s，求：(1)若小船的船头始终正对对岸行驶，它将在何时、何处到达对岸？(2)要使小船到达河的正对岸，应如何航行？历时多长？(3)小船渡河的最短时间为多长？(4)若水流速度是 5m/s，船在静水中的速度是 3 m/s，则怎样渡河才能使船漂向下游的距离最短？最短距离是多少？答案 见解析解析 (1)小船参与了两个分运动，即船随水漂流的运动和船在静水中的运动.因为分运动之间具有独立性和等时性，故小船渡河的时间等于垂直于河岸方向的分运动的时间，即t s50sdv船 2004小船沿水流方向的位移 x 水 v 水 t250m 100m即船将在正对岸下游 100m
13、 处靠岸 .(2)要使小船到达正对岸，合速度 v 应垂直于河岸，如图甲所示，则cos ，故 60v水v船 24 12即船的航向与上游河岸成 60角，渡河时间t s s.dv 2004sin60 10033(3)考虑一般情况，设船头与上游河岸成任意角 ，如图乙所示.船渡河的时间取决于垂直于河岸方向的分速度 v v 船 sin，故小船渡河的时间为 t .当 90，即船头与河dv船 sin岸垂直时，渡河时间最短，最短时间 tmin50s.(4)因为 v 船 3m/sv 水 5 m/s，所以船不可能垂直河岸横渡，不论航向如何，总被水流冲向下游.如图丙所示，设船头(v 船 )与上游河岸成 角，合速度 v
14、 与下游河岸成 角，可以看出： 角越大，船漂向下游的距离 x越短.以 v 水 的矢尖为圆心，以 v 船 的大小为半径画圆，当合速度 v 与圆相切时， 角最大.则 cos ，故船头与上游河岸的夹角 53v船v水 35又 ，代入数据解得 x267m.xd vv船 v水 2 v船 2v船变式 4 (2018云南保山模拟) 如图 6 所示，一艘轮船正在以 4m/s 的速度沿垂直于河岸方向匀速渡河，河中各处水流速度都相同，其大小为 v13 m/s，行驶中，轮船发动机的牵引力与船头朝向的方向相同.某时刻发动机突然熄火，轮船牵引力随之消失，轮船相对于水的速度逐渐减小，但船头方向始终未发生变化.求：图 6(1
15、)发动机未熄火时，轮船相对于静水行驶的速度大小.(2)发动机熄火后，轮船相对于河岸速度的最小值.答案 (1)5 m/s (2)2.4 m/s解析 (1)发动机未熄火时，轮船运动速度 v 与水流速度 v1 方向垂直，如图所示.故此时轮船相对于静水的速度 v2 的大小为 v2 m/s5 m/s.v2 v21 42 32(2)由(1)中，熄火前，设 v 与 v2 的夹角为 ，则 cos 0.8，轮船的牵引力沿 v2 的方向，vv2水的作用力与 v2 的方向相反，熄火后，牵引力消失，在水的作用力作用下，v 2 逐渐减小，但其方向不变，当 v2 与 v1 的矢量和与 v2 垂直时，轮船的合速度最小， ，
16、则vminv 1cos 30.8m/s2.4 m/s.命题点四 绳(杆)端速度分解模型1.模型特点沿绳(杆) 方向的速度分量大小相等.2.思路与方法合速度绳(杆)拉物体的实际运动速度 v分速度Error!方法：v 1 与 v2 的合成遵循平行四边形定则.3.解题的原则把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆) 和平行于绳(杆) 两个分量，根据沿绳( 杆)方向的分速度大小相等求解.常见的模型如图 7 所示.图 7模型 1 绳端速度分解模型例 5 如图 8 所示，人沿平直的河岸以速度 v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进，此过程中绳始终与水面平行.当绳与河岸的夹角为 时，船的速率为( )图
17、 8A.vsin B.vsinC.vcos D.vcos答案 C解析 将人的运动分解为沿绳方向的分运动(分速度为 v1)和与绳垂直方向的分运动(分速度为 v2)，如图所示.船的速率等于沿绳方向的分速度 v1vcos ，选项 C 正确.变式 5 A、B 两物体通过一根跨过光滑轻质定滑轮的不可伸长的轻绳相连放在水平面上，现物体 A 以 v1 的速度向右匀速运动，当绳被拉成与水平面夹角分别是 、 时，如图 9 所示，物体 B 的运动速度 vB为(绳始终有拉力)( )图 9A. B. C. D.v1sinsin v1cossin v1sincos v1coscos答案 D解析 设物体 B 的运动速度为
18、 vB，速度分解如图甲所示，则有 vB v绳 Bcos物体 A 的合运动对应的速度为 v1，它的速度分解如图乙所示，则有 v 绳 Av 1cos 由于对应同一根绳，其长度不变，故 v 绳 Bv 绳 A 联立式解得 vB ，选项 D 正确.v1coscos模型 2 杆端速度分解模型例 6 如图 10 所示，AB 杆以恒定角速度绕 A 点转动，并带动套在光滑水平杆 OC 上的质量为 M 的小环运动，运动开始时， AB 杆在竖直位置，则小环 M 的速度将( )图 10A.逐渐增大 B.先减小后增大 C.先增大后减小 D.逐渐减小答案 A解析 设经过时间 t，OABt ，则 AM 的长度为 ，则 AB
19、 杆上小环 M 绕 A 点运动hcost的线速度 v .将小环 M 的速度沿 AB 杆方向和垂直于 AB 杆方向分解，垂直于 ABhcost杆方向的分速度大小等于小环 M 绕 A 点运动的线速度 v，则小环 M 的速度 v vcost，随着时间的延长，小环的速度将不断变大，故 A 正确，B、C、D 错误.hcos2t变式 6 (2018吉林公主岭调研) 一轻杆两端分别固定质量为 mA和 mB的两个小球 A 和B(可视为质点)，将其放在一个光滑球形容器中从位置 1 开始下滑，如图 11 所示，当轻杆到达位置 2 时，球 A 与球形容器球心等高，其速度大小为 v1，已知此时轻杆与水平方向成30角，球 B 的速度大小为 v2，则( )图 11A.v2 v1B.v22v 1C.v2v 1D.v2 v112 3答案 C变式 7 两根光滑的杆互相垂直地固定在一起，上面分别穿有两个小球 a 和 b，小球 a、b间用一细直棒相连，如图 12 所示.当细直棒与竖直杆夹角为 时，求小球 a、b 实际速度大小之比.图 12答案 tan解析 根据速度的分解特点，可作出两小球的速度关系如图所示.由图中几何关系可得，a、b 沿棒方向的分速度分别为 vacos 和 vbsin，根据“关联速度 ”的特点可知，两小球沿棒的分速度大小相等，即有 vacosv bsin，解得： tan.vavb
